2026年高考数学二轮复习专题02 三角函数与解三角形（高频考点）（天津）（解析版）

专题02三角函数与解三角形

内容概览

01命题探源·考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点·妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考·（19-24）分）

考点一三角函数

命题点1三角函数的图象与性质

命题点2ω参数范围

高考预测题3道

考点二解三角形

命题点1正余弦定理边角互化

命题点2面积公式（结合角度/边长）

高考预测题3道

04好题速递·分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）

考点考向命题特征

三角函数的图象与性质（小1.2023第6题考奇偶性、周期性；2024第7题考值域与最值；

题核心）：ω参数范围（单2025第8题考图象性质（ω参数），多为中档，偶作小压轴。

三角函数调、对称、零点、最值）；2.ω范围仍是难点，可能结合零点、对称、单调求参数；复合

（3年3考）单调性、周期、对称、奇偶型最值（二次/分式结构）与图象变换大概率出现，难度稳中

判断；图象变换（平移/伸有升

缩）；由图求解析式与复合3.专项练ω范围（单调/对称/零点）；换元法解复合型最值；图

型最值（换元转化）象特征快速定位解析式。

解三角形解三角形（大题核心）：正1.2023-2025连续考查三角恒等变换+解三角形，常结合和差

（3年3考）余弦定理边角互化；面积公角、二倍角公式，用正余弦定理求边角、面积，有时与图象性

式（结合角度/边长）；多质融合。

解判断（角的范围取舍）；2.恒等变换+解三角形保持融合；可能加入几何分析，减少单

偶与平面向量、几何图形综纯化简；与向量、解析几何简单交汇，强调建模与运算。

合3.步骤分意识（公式→代入→化简→结论）；多解讨论（边长

/角度范围）；几何分析辅助建模。

综合：做近5年天津真题与优质模拟，归纳解题模板，提升

限时正确率。

【三角函数常用结论】

1.（1）函数ysinx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k.0)(kZ)；

2

（2）函数ycosx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函数ytanx函数无对称轴，对称中心为(,0)(kZ)；

2

（4）求函数yAsin(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

k

x2(kZ)；对称中心的求取方法；令wxk(kZ)，得x，即对称中心为

ww

k

(，b).

w

k

（5）求函数yAcos(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)得x2，

w

k

即对称中心为(2,b)(kZ)

w

2.因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数f(x)为奇函数；若函数图像关于y轴对称，

T

则函数f(x)为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的

2

TT

距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数f(x)

24

单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设

f(x)Asin(wx),A0,w0f(x)[1,2]0[1,2]

T

max,，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）

124

3.形如：asinbcos

第一步：asinbcosa2b2sina2b2cos

第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.

第三步：的求算，只需在第一象限标明点a,b寻找夹角即可达到秒杀的境界.

注意：若果a＜0，则需提负号，继续遵循以上步骤

【解三角形常用结论】

1．《正弦定理》

abc

①正弦定理：2R

sinAsinBsinC

sinAasinBbsinCc

②变形：,,

sinBbsinCcsinAa

③变形：a:b:csinA:sinB:sinC

abcabc

④变形：

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

⑤变形：asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB

《余弦定理》

222222222

①余弦定理：bca2bccosA,acb2accosB,abc2abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

②变形：cosA,cosB,cosC

2bc2ac2ab

什么情况下角化边?什么情况下边化角?

⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角

⑵当每一项都有角《sin》且次数一样时，采用角化边

⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题

⑷当每一项都有角《sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可

2.三角形中定值面积求算

三角形面积公式

111

①SabsinC,SacsinB,SbcsinA

ABC2ABC2ABC2

11

②Srabcrl其中r,l分别为ABC内切圆半径及ABC的周长

ABC22

推导：将ABC分为三个分别以ABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法

即可得到上述公式

2abc

③S2RsinAsinBsinC（R为ABC外接圆的半径）

ABC4R

12sinBsinC2

推导：将a2RsinA代入Sa可得S2RsinAsinBsinC

ABC2sinAABC

将代入2

a2RsinA,b2RsinB，c2RsinCSABC2RsinAsinBsinC

abc

可得S

ABC4R

12sinBsinC12sinAsinC12sinAsinB

④Sa,Sb,Sc

ABC2sinAABC2sinBABC2sinC

1

⑤海伦公式Sppapbpc（其中pabc）

ABC2

a2b2c2

推导：根据余弦定理的推论cosC

2ab

2

111a2b2c2

2

SABCabsinCab1cosCab1

2222ab

1221

2aba2b2c2abcbcacababc

44

1

令pabc，整理得Sppapbpc

2ABC

3.三角形中特殊形式面积求算

高端结论：

a2b2c2a2c2b2b2c2a2

StanC,StanB,StanA

ABC4ABC4ABC4

推导过程：

1a2b2c22aba2b2c2

SabsinCsinCtanC

ABC24a2b2c24

4.三角形中面积最值求算

正规方法：面积公式+基本不等式

12

SabsinC222c

①2ab2abcosCc2abab

22221cosC

abc2abcosC

12

SacsinB222b

②2ac2accosBb2acac

22221cosB

acb2accosB

12

SbcsinA222a

③2bc2bccosAa2bcbc

22221cosA

bca2bccosA

考点一三角函数

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.ω参数范围求解

解题模板：先确定函数单调区间/对称轴/零点的通用表达式→结合题目给定的区间条件列不等式→求解

ω的取值范围（注意ω>0的隐含条件）。

常用技巧：利用整体换元法，将ωx+φ看作一个整体，代入正弦/余弦函数的性质中分析。

2.图象变换问题

解题原则：“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”的区别，平移量由φ/ω决定（伸缩后x的系数变为ω，平

移量需除以ω）。

快速判断：对比变换前后的解析式，锁定φ和ω的变化，避免平移方向和幅度的混淆。

3.值域与最值求解

常规题型：通过三角恒等变换将函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式，结合定义域求最值。

复合型题型：出现sinx+cosx与sinxcosx时，令t=sinx+cosx，转化为二次函数y=at²+bt+c求解（注意t的

范围）。

易错提醒：ω参数范围求解忽略ω>0的隐含条件；区间端点取舍错误解题时先标注ω>0；结合函数图象验

证区间端点是否满足条件

三角恒等变换二倍角公式符号错误；开方时忽略角的范围先确定角所在的象限，再判断三角函数值的符

号；公式记忆时结合图象

解三角形多解问题遗漏“两边及其中一边的对角”的多解情况用正弦定理求出sinB后，对比sinB与1的大

小，再结合大边对大角判断角的个数

图象变换平移方向和幅度错误；混淆“左加右减”的对象牢记“左加右减”是对x本身的操作，伸缩后平移量

需除以ω；可代入特殊点验证变换结果

复合型最值问题忽略换元后t的取值范围换元后先确定t的范围，再求二次函数的最值，避免直接用顶点

式忽略定义域限制；

命题点01三角函数的图象与性质

π

【典例01】（2025·天津河西·模拟预测）函数fx3sinx(0)的部分图象如图所示，A为图象

3

431

的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为等边三角形.若fx，且x00,1，则fx0

053

的值为（）

633

A．

510

433

B．

510

633

C．

510

433

D．

510

【答案】C

【分析】由函数fx的部分图象知等边ABC底边上的高和边长，求出fx的最小正周期和，根据fx0

ππππππ

求出sinx0，利用x00,1，结合正弦函数的图象与性质，得出x0的范围，求出cosx0

232323

1

即可计算fx0的值．

3

π

【详解】由函数fx3sinx的部分图象知，等边ABC底边上的高为3，所以边长AB2，

3

2ππ

所以fx的最小正周期为T2AB4，所以，

T2

ππππ4

所以，由ππ43，得，

fx3sinxfx03sinx0sinx0

23235235

πππ5π

又x00,1，所以x0,，

2336

ππ2π5π

由π1ππ43π，得，

sinsinx0sinx0,

62235232336

所以ππ423，

cosx01()

2355

1π1ππππ

所以

fx03sinx03sinx0

3233236

ππππππ

3sinx0coscosx0sin

236236

4331

3

5252

633

.

510

故选：C.

ππ

【典例02】（2025·天津·二模）已知函数fx2sinx0，对任意xR，恒有fx≤f，

63

π

且fx在0,上单调递增，则下列选项中不．正．确．的是（）

4

A．2

π

B．yfx为奇函数

12

π1

C．函数fx图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数gx，函数gx的

62

πkπ

对称轴方程为x，kZ

124

ππ

D．fx在,上的最小值为3

44

【答案】D

【分析】由题意先求，再逐项验证即可.

ππ

【详解】因为对任意xR，恒有fxf，所以x为fx的一条对称轴，

33

πππ

所以kπ,kZ,3k2,kZ，

362

ππππ8

又fx在0,上单调递增，所以，

44623

π

所以当k0时，2，故A正确；所以fx2sin2x，

6

πππ

由yfx2sin2x2sin2x为奇函数，故B正确；

12126

π1π

由函数fx图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数gx2sin4x，

626

πππkπ

令4xkπ,kZ，解得x，kZ，故C正确；

62124

ππ2ππππππ

由x2x，所以fx2，当2x，即x时，故D错误；

44363min626

故选：D.

命题点02ω参数范围

2π2π

【典例01】（2025·天津和平·三模）设定义在R上的函数fxsinxsinx0，

44

ππ

ffπ，且fx在区间,π上有最大值，无最小值，则当取最小值时，fx的最小正周期为（）

22

A．4πB．3πC．2πD．π

【答案】B

【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简原函数，得到fxsin2x，再结合题意并利用正弦函数的对

12

称性得到k，进而求出的最小值，检验其符合题意，最后利用正弦函数的最小正周期公式求出结

33

果即可.

2π2π

【详解】因为fxsinxsinx，

44

ππ

1cos2x1cos2x

所以由二倍角公式得22，

fx

22

1sin2x1sin2x

结合诱导公式得fxsin2x，

22

π3

因为ffπ，所以fx关于xπ对称，

24

3π12

令2πkπ,kZ，则k,kZ，

4233

12

因为0，所以当k0时，最小，此时，fxsinx，

33

π2π2

因为x,π，所以x,π，

2333

2π22

令tx,π，则fxsinx变为g(t)sint，

3333

πππ2

由正弦函数性质得g(t)在,上单调递增，在,π上单调递减，

3223

ππ

则此时g(t)最大值为g()sin1，g(t)无最小值，

22

得到此时fx有最大值，无最小值，符合题意，

2π

T3π

由正弦函数的最小正周期公式得2，故B正确.

3

故选：B

2π2π

【典例02】（2025·天津·模拟预测）已知fxsinxcosx(0)．给出下列判断：

33

π

①若fx1,fx1，且xx，则2；

1212min2

5359

②若f(x)在0,2π恰有9个零点，则的取值范围为,；

2424

π

③存在(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

6

ππ

④若f(x)在,上是增函数，则的取值范围为(0,1]．

63

其中，判断正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性

等性质和条件列出式子求解，判断正确性.

2π2π

【详解】根据二倍角余弦公式cos2cos2sin2，对fxsinxcosx进行化简可得：

33

2ππ

fxcos2xsin2x.

36

对于①：

πTπ

已知f(x)1，f(x2)1，且|xx|，则，T为函数f(x)的周期.

112min222

2ππTπππ

根据正弦函数周期公式T，由可得，解得1，所以①错误.

22222

对于②：

ππkππ

令fxsin2x0，则2xkπ（kZ），解得x（kZ）.

66212

9ππ

2

212

若f(x)在0,2π恰有9个零点，令k1,2,,9，则.

10ππ

2

212

9ππ

解第一个不等式2π：

212

54ππ53π53

2π，2π，53π24π，解得.

121224

10π

解第二个不等式2π：

212

60ππ59π59

2π，2π，59π24π，解得.

121224

5359

所以的取值范围是[,)，②正确.

2424

对于③：

πππππ

f(x)的图象向右平移个单位长度后得到ysin2xsin2x的图象.

66636

πππ

若该图象关于y轴对称，则kπ（kZ），

362

k，13k（kZ）。

33

当k1时，2，不存在0,2满足条件，所以③错误。

对于④：

πππ

令2kπ2x2kπ（kZ），解关于x的不等式得：

262

πkππkπ

x（kZ）.

36

ππ

ππ36

若fx在,上是增函数，则

63ππ

63

ππ11

解第一个不等式得：，36，2；

3636

ππ111

解第二个不等式得：，63，，又0，

63632

1

所以的取值范围是0,，④错误.

2

综上，只有②正确，正确的个数是1个，答案是A.

故选：A.

高考预测题

1．已知函数fx3sin2xcos2x(0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是（）

A．2

π

B．将函数fx图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称

6

π

C．fx关于点,0对称

6

ππ

D．fx在区间,上的最大值为2

44

【答案】D

π

【分析】由辅助角公式可得fx2sin2x，然后由正弦函数最小正周期，图像变换，对称性，单调

6

性可判断选项正误.

π

【详解】fx2sin2x.

6

2π

对于A，由题可得π，则1，故A错误；

2

ππ

对于B，由A分析，fx2sin2x，将fx图象向左平移个单位，

66

ππππ

对应的解析为fx2sin2x2sin2x2cos2x，

6662

则得到的新函数为偶函数，图像不关于原点对称，故B错误；

πππππ

对于C，代入x，得f2sin2sin2，

66362

ππ

则fx在x时取得最大值，图像关于x对称，

66

π

不关于,0中心对称，故C错误；

6

ππππ2π

对于D，x,时，2x,，

44633

πππ2π

注意到ysinx在,上单调递增，在,上单调递减，

3223

ππ2ππ

则fx2sin2，fxmin2sin,2sin2sin3，故D正确.

2333

故选：D

2．已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x，有下列命题：

5π

①x为函数f(x)图象的一条对称轴；

8

π

②将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在[0,t]上的最大值为g(0)，则t的最大

4

3π

值为；

4

9π13π

③f(x)在[0,a]上恰有3个零点，则实数a的取值范围是,；

88

ππ

④函数f(x)在,上单调递减，其中错误的命题个数为（）

42

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

π

【分析】根据三角恒等变换化简fx2sin2x，根据对称轴处取得最值判断①；先求出

4

π

gx2cos2x，再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间判

4

断④.

【详解】由fxcos4x2sinxcosxsin4xcos2xsin2xcos2xsin2xsin2x

π

cos2xsin2x2sin2x.

4

5π5ππ

对于①，f2sin22，

884

5π

则x为函数f(x)图象的一条对称轴，故①正确；

8

ππππ

对于②，gxfx2sin2x2cos2x，

4244

πππ

当x[0,t]时，2x,2t，

444

π7π3π

由于g(x)在0,t上的最大值为g(0)，所以2t+£，则t£，

444

3π

所以t的最大值为，故②正确；

4

πππ

对于③，当x[0,a]时，2x,2a，

444

因为f(x)在[0,a]上恰有3个零点，

π11π15π

所以3π2a4π，解得£a<，故③错误；

488

πππ3π5π

对于④，当x,时，2x,，

42444

3π5π

因为ysinx在,上单调递减，

44

ππ

所以函数f(x)在,上单调递减，故④正确.

42

故选：A.

π

3．已知函数fxAsinxA0,0,的部分图象如图所示，给出下列结论：

2

①f03；

π

②当x,0时，fx3,3；

2

5ππ

③函数fx的单调递增区间为kπ,kπ，kZ；

1212

π

④将fx的图象向右平移个单位，得到y2sin2x的图象；其中正确的结论个数是（）

3

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案．

Tπππ2π

【详解】由图象可知：A2，Tπ2，

43124

ππππ

由f22sin22，又，所以.

121223

π

所以fx2sin2x，

3

π

因为f02sin3，故①正确；

3

π2ππππ3

当x0时，2x，所以1sin2x，所以2fx3，故②错误；

233332

πππ5ππ

由2kπ2x2kπ，kZkπxkπ，kZ，

2321212

5ππ

所以函数fx的单调递增区间为kπ,kπ，kZ.故③正确；

1212

πππ

将的图象向右平移个单位，得到y2sin2x2sin2x的图象，故④错误．

333

故选：B．

考点二解三角形

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.正余弦定理选用技巧

已知两角一边或两边及其中一边的对角：用正弦定理（注意多解情况的判断）。

已知两边及夹角或三边：用余弦定理（常用于求边或角，或结合面积公式）。

2.面积公式的灵活运用

基础公式：S=1/2absinC，结合余弦定理可实现“边”与“角”的互化，解决边角混合的最值问题。

3.解题步骤规范：先写公式，再代入数值，最后化简计算，确保步骤分不丢失。

命题点01正余弦定理边角互化

π

【典例01】（2025·天津·二模）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2acosC．

3

(1)求A；

(2)若b23c，且ABC面积23，

（ⅰ）求a的值；

（ⅱ）求cos2BA．

π

【答案】(1)

6

33

(2)（ⅰ）27（ⅱ）

14

3

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA，结合范围A0,π，

3

可求A的值．

（2）（ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值；（ⅱ）由

余弦定理求得cosB，进而可得sinB，再根据两角差余弦及二倍角公式求解即可.

π

【详解】（1）因为b2acosC，

3

ππ

所以b2acosCcossinCsin，可得：bacosC3asinC，

33

由正弦定理可得：sinBsinAcosC3sinAsinC，

可得：sinACsinAcosCcosAsinCsinAcosC3sinAsinC，

因为C0,π，所以sinC0，

3

所以cosA3sinA，即tanA，

3

π

因为A0,π，所以A

6

1

（2）（ⅰ）因为b23c，且SbcsinA23，

ABC2

解得：c2，b43，

3

由余弦定理可得：a2b2c22bccosA484243228，解得：a27；

2

a2c2b22844827

（ⅱ）由余弦定理可得cosB，

2ac22727

212143

所以sinB，cos2B2cosB1，sin2B2sinBcosB，

777

1343133

所以cos2BAcos2BcosAsin2BsinA.

727214

【典例02】（2025·天津·二模）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，acosCccosA2bcosB，

sinB23cosA．

(1)求sinA的值；

(2)若a23，求c的值．

1515

【答案】(1)(2)3

45

1

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得cosA，再由同角三角函数的基本关系即可得出

4

答案；

（2）由正弦定理可求出b，再由两角和的正弦公式求出sinC，最后由正弦定理即可得出答案.

【详解】（1）因为acosCccosA2bcosB，

由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，

即sin(AC)2sinBcosBsinB2sinBcosB．

1π

因为B(0,π)，sinB0，所以cosB，B．

23

31

由23cosAsinB，得cosA，

24

15

因为A0,π，所以sinA1cos2A．

4

asinB415

（2）由正弦定理，可得