人教版2025年高中数学联赛预选赛试题及答案

人教版2025年高中数学联赛预选赛试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：人教版2025年高中数学联赛预选赛试题及答案考核对象：高中数学联赛预选赛考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f⁻¹(x)在对应区间上单调递增。2.设集合A={x|sinx>0},B={x|cosx<0},则A∩B={x|π/2<x<3π/2}。3.若复数z满足|z|=1，则z²必为纯虚数。4.等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，若a₃+a₈=12，则S₁₀=5S₅。5.直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²=1。6.极限lim(x→0)(sinx/x)=1是利用了洛必达法则。7.空间中三个平面α,β,γ若两两相交，则它们的交线必交于一点。8.概率P(A|B)=P(A)⇔事件A与B相互独立。9.函数f(x)=x³-3x+1在(-∞,∞)上存在唯一一个极值点。10.正四棱锥的体积公式为V=(1/3)×底面积×高。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.0D.22.若α为锐角，且tanα=√3，则cosα的值为（）A.1/2B.√2/2C.1/√3D.√3/23.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，公比q≠1，则其前n项和Sn与aₙ的比值极限为（）A.0B.1C.qD.∞4.抛掷两枚均匀骰子，点数之和为7的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/185.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)6.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值等于（）A.eB.e-1C.1D.ln27.若向量a=(1,2),b=(3,-4)，则向量a+b的模长为（）A.5B.√5C.10D.√108.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，且f(0)=1，则f(2025)的值为（）A.2025B.2026C.1D.09.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域面积等于（）A.1B.2C.πD.410.已知直线l₁:ax+by+c=0与l₂:2x-y+1=0垂直，则a的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2三、多选题（每题2分，共20分）1.下列命题中为真命题的是（）A.若a>b，则a²>b²B.若f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称C.若数列{aₙ}单调递增，则其极限存在D.若直线l与平面α平行，则l与α内的任意直线都平行2.函数f(x)=sin²x+cos²x的图像特征包括（）A.周期为πB.图像关于x=π/2对称C.在区间[0,π/2]上单调递减D.最大值为13.已知三角形ABC中，角A=60°，边a=3，边b=5，则角B的取值范围是（）A.0°<B<90°B.30°<B<150°C.B=120°D.B=60°4.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是（）A.f(x)=ln(1+x)B.f(x)=x²-2x+1C.f(x)=e^(-x)D.f(x)=1/x5.已知直线l₁与l₂的斜率分别为k₁和k₂，则l₁与l₂垂直的充要条件是（）A.k₁k₂=1B.k₁+k₂=0C.k₁k₂=-1D.k₁²+k₂²=16.极限lim(x→∞)(3x²+2x-1)/(5x²-3x+2)的值为（）A.0B.1/5C.3/5D.∞7.已知函数f(x)=x³-ax²+bx+c在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则a,b的取值可以是（）A.a=3,b=2B.a=2,b=3C.a=4,b=3D.a=3,b=48.下列命题中正确的是（）A.偶函数的图像必过原点B.若f(x)在区间I上连续，则其在该区间上必有界C.若A⊆B，则P(A)≤P(B)D.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)9.已知圆C₁:x²+y²=1与圆C₂:(x-1)²+(y-2)²=r²相切，则r的取值可以是（）A.1B.√2C.√5D.210.下列不等式成立的是（）A.e^x>1+x(x>0)B.ln(1+x)<x(x>0)C.√(x²+y²)≥|x|+|y|D.sinx<x(x>0)四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差为6，求[a,b]的可能取值。2.在△ABC中，角A=45°，角B=60°，边BC=6，(1)求边AC的长度；(2)若△ABC的面积为9√3，求边AB的长度。3.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)若Sₙ为数列前n项和，求lim(n→∞)Sₙ。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明：若函数f(x)在区间I上连续且单调，则f(x)在区间I上必存在反函数。2.设A,B为两个非空集合，证明：若A⊆B，则P(A)≤P(B)，并举例说明该结论在概率论中的应用。---标准答案及解析一、判断题1.√；反函数单调性与原函数一致。2.√；sinx>0对应(0,π),cosx<0对应(π/2,3π/2)。3.×；z=±i时z²=1为实数。4.√；a₃+a₈=2a₁+10d=12⇒a₁+5d=6⇒S₁₀=5S₅。5.×；应满足k²+b²=r²=1。6.×；该极限是基本极限，非洛必达法则。7.×；三个平面可交于一直线。8.√；P(A|B)=P(A)⇔P(AB)=P(A)P(B)。9.√；f'(x)=3x²-3=0⇒x=±1，f(-1)>f(1)。10.√；正四棱锥体积公式标准。二、单选题1.B；f(x)在x=-2处取最小值3。2.D；tanα=√3⇒α=60°⇒cosα=√3/2。3.B；lim(Sₙ/aₙ)=lim(1/(1-q))=1。4.A；点数和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。5.C；圆心(2,-3)，由(x-2)²+(y+3)²=16得到。6.B；平均值为(e-1)/2≈0.35。7.A；|a+b|²=1²+2²+3²+(-4)²=30⇒|a+b|=√30≈5.48≈5。8.A；f(x+1)=f(x)+1⇒f(2025)=f(0)+2025=2026。9.B；表示菱形，面积为2。10.A；2a-b=0⇒a=1/2，2×(1/2)-1=-1≠0，故a=-2。三、多选题1.B,D；A错：a>b且同号时成立；B对：奇函数图像关于原点对称；C错：单调数列极限可能不存在（如发散）；D对：l与α平行⇒l与α内任意直线平行。2.A,B,D；A对：周期为2π/1=π；B对：关于x=π/2对称；C错：在[0,π/2]上单调递增；D对：最大值为1。3.A,B；由正弦定理a/sinA=b/sinB⇒sinB=sinA×b/a=5/3×√3/2≈1.44>1，矛盾，故B>90°；又sinB=sinA×b/a⇒B≈150°。4.A,C；A对：ln(1+x)在(0,1)上递增；B错：x²-2x+1在(0,1)上递减；C对：e^(-x)在(0,1)上递减；D错：1/x在(0,1)上递减。5.C,D；C对：k₁k₂=-1⇒tanα×tanβ=-1⇒α+β=π/2；D对：k₁²+k₂²=1⇒(tanα)²+(1/tanα)²=1⇒tan²α=1⇒α=π/4。6.B；分子分母同除x²⇒3+2/x-1/x²÷5-3/x+2/x²=1/5。7.A,C；f'(x)=3x²-2ax+b⇒f'(1)=0⇒3-2a+b=0⇒b=2a-3；A对：a=3⇒b=3；C对：a=4⇒b=5。8.D；A错：偶函数图像不过原点（如f(x)=x²）；B错：连续函数未必有界（如f(x)=1/x在(0,1)上）；C错：P(A)≤P(B)需A⊆B且P(A)+P(B)有意义；D对：互斥事件P(A∪B)=P(A)+P(B)。9.B,C；两圆相切⇒|C₁C₂|=r+1⇒√((-1-1)²+(-2-0)²)=r+1⇒√10=r+1⇒r=√10-1≈2.16，故B,C符合。10.A,B,C；A对：e^x>1+x⇒e^x/e^(x-1)>1+x/e^(x-1)⇒e>1+x/e^(x-1)，当x>0时成立；B对：ln(1+x)<x⇒1+x>1+ln(1+x)⇒x>ln(1+x)；C对：√(x²+y²)≥|x|+|y|⇒x²+y²≥x²+2|xy|+y²⇒0≥2|xy|⇒xy≤0，显然成立；D错：sinx<x在x=π/2处不成立。四、案例分析1.(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，单调增区间：(0,2)，(2,+∞)；单调减区间：(-∞,0)。(2)f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，f(-1)=-4，最大值2，最小值-4，差为6⇒[a,b]可取[-1,3]或[0,3]。2.(1)sinC=sin(180°-105°)=sin75°，AC=BC×sinB/sinA=6×√3/2÷√2=3√6/2。(2)S=1/2×6×AC×sin60°=9√3⇒AC=3√2⇒AB=6。3.(1)aₙ₊₁-1=2(aₙ-1)⇒{aₙ-1}是首项为0，公比为2的等比数列⇒aₙ=2ⁿ-1。(2)Sₙ=2ⁿ-1-1÷(2-1)=2ⁿ-2⇒lim(n→∞)Sₙ=∞。五、论述题1.证明：(1)若f(x)在区间I上单调递