2025-2026学年安徽省潜山市高二上学期第二次教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省潜山市2025-2026学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.经过点，的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，设直线倾斜角为，则，所以，故选：C.2.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.3.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为共面，则存在实数，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模为.故选：B.4.已知平面的一个法向量为，为平面外一点，且，则点到平面的距离为（）A.4 B. C. D.【答案】D〖祥解〗根据点到平面的距离公式计算.【解析】由点到平面的距离公式得点到平面的距离为.故选：D.5.已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，令，得：，解得：或，因此可知：；又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最小项，所以，且，解得，且，即．故选：B.6.设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线距离最小即可，根据点到直线的距离公式可得，所以.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在椭圆C中，，，所以.由椭圆的定义，得.在中，由余弦定理，得.因为，所以，即，所以.所以的面积.故选：D.8.如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得圆的方程为，圆的方程为，圆的方程为；圆与圆的相交弦所在直线方程为；到直线的距离为，所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列，则下列结论正确的是（）A.等差数列的公差为B.等差数列的通项公式为C.等差数列是一个单调递增的数列D.若，则【答案】AC【解析】选项A，，则，所以，所以A正确；选项B，，则通项公式为，所以B错误；选项C，由选项A知，所以C正确；选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误.故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.直线倾斜角为B.若直线经过第三象限，则，C.存在使得直线与直线垂直D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ACD【解析】A选项，对于直线，将其化为斜截式，斜率,因为倾斜角,且，所以,故A选项正确；B选项，取，此时直线为，过第三象限，满足，，与矛盾，故B选项错误C选项，若直线与直线垂直，则，即，此时直线为与，满足题意，故C选项正确；D选项，对于点，，由于，，因为直线与线段有交点，且，所以直线的斜率的取值范围是，即，故D选项正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）A.抛物线的焦点坐标为B.若，则线段AB的中点到轴的距离为3C.以线段为直径的圆与轴相切D.以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切【答案】BCD【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误．对于B，设点，由抛物线的定义可得，可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确．对于C，因的中点为该点到轴的距离为，故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确．对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最大值为__________.【答案】〖祥解〗根据代数式的几何意义作图求解.【解析】表示点到点的距离与到点的距离之差.如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大，最大值为两点间的距离，即，所以函数的最大值为.故答案为：.13.已知数列满足，且为递增数列，则的取值范围是______.【答案】【解析】为递增数列，则，所以，即，所以.故答案为：.14.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为_____.【答案】【解析】因为双曲线的右焦点为,则,即,且双曲线C的渐近线方程为,设圆上一点,且圆心为,半径,则的中点在其渐近线上,可得,即,所以点P在直线上,因为圆心到直线的距离，因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点,所以,即,可得,可得,所以,又因为双曲线的离心率,所以,所以双曲线C的离心率的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在等差数列中，，．（1）求数列的第10项；（2）112是数列的第几项？解：（1）设等差数列公差为，，则，又，则，即，则，即；（2）根据（1），令，即，即112是数列的第39项．16.如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的四等分点，，．（1）证明:.（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：在直三棱柱中，平面平面，则，又平面，因此平面平面，所以.（2）解：由题意，平面，分别以所在直线为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，因为为棱上靠近点的四等分点，，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，平面的一个法向量为，平面与平面所成角，，所以平面与平面所成角的余弦值为.17.已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点.（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积.解：（1）直线的方程可化为，令，解得，即点的坐标为.（2）当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率与直线的斜率满足，因为，所以，即，所以直线的方程为，即.（3）令，可得，所以；令，可得，所以，且，可得，所以当且仅当时，等号成立，当时，直线的方程为，此时，可得的面积为；当时，直线的方程为，此时，可得的面积为，综上可得，的面积为或18.已知表示圆的方程．（1）求实数的取值范围；（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．解：（1）由题可知，该方程表示圆，则，即，解得，又由

则实数的取值范围为.（2）令，

函数开口向下，对称轴，

当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，当切线的斜率不存在时，满足题意；

当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．

圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，所以切线方程为，即，

综上所述，所求切线方程为和.19.已知双曲线的焦距为，且的焦点到渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）设的右顶点为，直线与交于点（都异于点），且，证明：直线过定点；（3）若动直线过（2）中的定点，且与的左､右支分别交于点，与直线交于点，证明：.（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，即由题有，又，所以，所以的方程为.（2）证明：设，由，消得，则，，因为，，所以，则，即，所以，整理得到，即，所以或，当时，直线方程为，直线过点，不合题意，当时，直线方程为，直线过定点.（3）证明：由（2）知，设，当时，，此时，所以，当时，设，由，消得，则，且，所以，因为，所以，即.安徽省潜山市2025-2026学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.经过点，的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，设直线倾斜角为，则，所以，故选：C.2.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.3.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为共面，则存在实数，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模为.故选：B.4.已知平面的一个法向量为，为平面外一点，且，则点到平面的距离为（）A.4 B. C. D.【答案】D〖祥解〗根据点到平面的距离公式计算.【解析】由点到平面的距离公式得点到平面的距离为.故选：D.5.已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，令，得：，解得：或，因此可知：；又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最小项，所以，且，解得，且，即．故选：B.6.设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线距离最小即可，根据点到直线的距离公式可得，所以.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在椭圆C中，，，所以.由椭圆的定义，得.在中，由余弦定理，得.因为，所以，即，所以.所以的面积.故选：D.8.如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得圆的方程为，圆的方程为，圆的方程为；圆与圆的相交弦所在直线方程为；到直线的距离为，所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列，则下列结论正确的是（）A.等差数列的公差为B.等差数列的通项公式为C.等差数列是一个单调递增的数列D.若，则【答案】AC【解析】选项A，，则，所以，所以A正确；选项B，，则通项公式为，所以B错误；选项C，由选项A知，所以C正确；选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误.故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.直线倾斜角为B.若直线经过第三象限，则，C.存在使得直线与直线垂直D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ACD【解析】A选项，对于直线，将其化为斜截式，斜率,因为倾斜角,且，所以,故A选项正确；B选项，取，此时直线为，过第三象限，满足，，与矛盾，故B选项错误C选项，若直线与直线垂直，则，即，此时直线为与，满足题意，故C选项正确；D选项，对于点，，由于，，因为直线与线段有交点，且，所以直线的斜率的取值范围是，即，故D选项正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）A.抛物线的焦点坐标为B.若，则线段AB的中点到轴的距离为3C.以线段为直径的圆与轴相切D.以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切【答案】BCD【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误．对于B，设点，由抛物线的定义可得，可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确．对于C，因的中点为该点到轴的距离为，故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确．对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最大值为__________.【答案】〖祥解〗根据代数式的几何意义作图求解.【解析】表示点到点的距离与到点的距离之差.如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大，最大值为两点间的距离，即，所以函数的最大值为.故答案为：.13.已知数列满足，且为递增数列，则的取值范围是______.【答案】【解析】为递增数列，则，所以，即，所以.故答案为：.14.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为_____.【答案】【解析】因为双曲线的右焦点为,则,即,且双曲线C的渐近线方程为,设圆上一点,且圆心为,半径,则的中点在其渐近线上,可得,即,所以点P在直线上,因为圆心到直线的距离，因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点,所以,即,可得,可得,所以,又因为双曲线的离心率,所以,所以双曲线C的离心率的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在等差数列中，，．（1）求数列的第10项；（2）112是数列的第几项？解：（1）设等差数列公差为，，则，又，则，即，则，即；（2）根据（1），令，即，即112是数列的第39项．16.如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的四等分点，，．（1）证明:.（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：在直三棱柱中，平面平面，则，又平面，因此平面平面，所以.（2）解：由题意，平面，分别以所在直线为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，因为为棱上靠近点的四等分点，，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，平面的一个法向量为，平面与平面所成角，，所以平面与平面所成角的余弦值为.17.已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点.（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线