实变函数期中试卷及答案_第1页
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实变函数期中试卷及答案1.单选题（每题4分，共20分）1.1设E⊆ℝ为Lebesgue可测集且m(|则下列哪一项结论一定成立？A.→0a.e.于B.→0依测度于C.存在子列使得→0a.e.于ED.|答案：C解析：由一致可积性及Vitali定理，存在子列几乎处处收敛到0。A、B、D均可在反例中否定：取(x)=1.2设f∈F则F在ℝ上A.处处可导且=B.几乎处处可导且=fC.仅连续但不可导D.有界变差但不一定连续答案：B解析：Lebesgue微分定理保证a.e.可导且导数等于被积函数。1.3若E⊆[0,1A.fB.fC.fD.f答案：A解析：m(1.4设(xA.→0B.→0C.→0在范数下D.无子列a.e.收敛到0答案：B解析：Riemann–Lebesgue引理给出测度收敛；取子列=可证a.e.不收敛到0。1.5设f为[0f则f必满足A.fB.f无界C.f有正测度集上大于2D.f必为简单函数答案：C解析：由Chebyshev不等式m2.填空题（每题5分，共20分）2.1设⊆[0,m答案：0解析：Borel–Cantelli引理。2.2若f∈(ℝ)且|答案：4解析：Plancherel定理给出‖^2.3设f(f答案：=。2.4设E⊆ℝ可测且inf答案：0解析：取=，其中⊆E且m3.判断题（每题4分，共12分，正确写“T”，错误写“F”）3.1若∈([0,1答案：F解析：缺控制条件，取=n3.2若f∈(ℝ答案：T解析：∫|3.3对任意可测集E⊆ℝ，存在集G⊇E答案：T解析：Lebesgue测度的正则性。4.计算与证明题（共48分）4.1（10分）设f((1)证明f∈(ℝ(2)问f是否属于(ℝ答案：(1)f(2)d故f∉4.2（12分）设(x(1)证明→0a.e.于ℝ(2)证明→0依测度于ℝ(3)计算dm答案：(1)固定x≠0，则(2)对任意ε>m(3)d故极限为π。4.3（12分）设f∈([f证明f=0a.e.于答案：令𝒜={E⊆[0,1]

可测:fdm=f从而f=4.4（14分）设(x(1)证明→0a.e.于[(2)证明在([0(3)问是否存在子列在中收敛到0？说明理由。答案：(1)固定x>0，则(2)d故‖=(3)不存在。若存在子列满足‖→05.附加题（10分，不计入总分，仅作区分）设f∈(ℝf证明d其中积分理解为Cauchy主

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