2024-2025学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）9的平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.±V3

2.（2分）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）

B.c

C.D.

3.的值为0，则x的值为（

x+2

A._2B.0C.D.±2

4.（2分）下列事件是随机事件的是（）

A.从分别写有2,4,6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除

B.用长度分别是2c/〃，3cm,6cm的细木条首尾相连组成一个三角形

C.投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球

5.（2分）下列各式从左到右变形正确的是（）

A.胆_=包B.a+b_1+b

mbbabb

,22

b-a,殳一式

Cr--------=a-bD.

2

a+bbb

6.（2分）下列运算正确的是（）

A.3W3=3V3B.V6-J-V2=3

C.MxV6=3V2D.（依+1）2=6

7.（2分）实数机，〃在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简麻-lm-nl的结果是（）

m—10n1

A.nB.-nC.2m-nD.-2m+n

第1页（共25页）

8.（2分）如图，在△48。中，ZACB=90°,CA=CB,CO是/力C8内部的射线且N8COV45°,过点

4作4E工CD于点、E,过点4作8-LCQ于点足给出下面三个结论：①/EAB=NFBA；@AB=

CF；®EF=AE-BF.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若A/U在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.（2分）写出一个比加大且比小的整数.

II.（2分）不透明的袋子中装有3个红球，4个黄球和2个绿球，除颜色外这些小球无其他差别.从中随

机摸出一个小球，恰好是红球的概率是.

12.（2分）如图，AB//CD,点、E,尸在BC上且8F=CE.请你只添加一个条件，使得△XEBg/V）”.

（1）你添加的条件是：

（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

（2）依据所添条件，判定与全等的理由是.

13.（2分）如图，RtZL48C中，ZC=90°，点。在8c上，DELAB于点、E.若DE=DC,N8=40°,

则NCW=0.

14.（2分）计算（2立W7）（2&W7）的结果是

第2页（共25页）

15.（2分）在△48。中，AB=AC,ZZ?JC=100°,。在8。之上，且△44。是等腰三角形，则N/1Q8

的度数为.

16.（2分）如图，△为8C是等边三角形，。是4C的中点，动点尸在4c边的中线力E上.若4B=2,则

PC+PD的最小值为.

三、解答题（共68分，第17・20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-25题，每题6分，

第26题5分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：4，^+（-V2）2+V18-我.

18.（5分）如图，△48。是等边三角形，。是△力8C内一点，连接40,将线段4。绕点4逆时针旋转

60°得到线段4E,连接8。，CE.求证：BD=CE.

19.（5分）计算：（1+7§）2版（证《）・

22

20.（5分）计算：区——之一.

x-yx-y

21.（6分）已知：如图，△力3。中，BOAB>AC.

求作；点〃，使得点八在"C边上口

作法：①作线段4月的垂直平分线，交于点P,交4B于点Q；②连接力P.点P即为所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：・・・P。是48的垂直平分线，

：.PA=®（②）（填推理的依据）.

：.ZB=@（0）（填推理的依据）.

第3页（共25页）

又VZAPC=ZB+ZPAB,

:.ZAPC=2ZB.

22.（5分）已知/-2.20=0,求代数式（乂-生）+卑”的值.

xv2

23.（6分）解分式方程：一^-总口.

x-3x

24.（6分）如图，在△48C中，N4CB=90°,CA=4,CB=6,。是6C的中点，E是/C边上一点，连

接。力，DE.将△QCE沿直线翻折，点。恰好落在D4上的点尸处.

（1）求力。的长；

25.（6分）列方程解应用题.

某工程队承担了75（）米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道

路的长度比原来增加了20%,结果共用22天完成了任务.求引进新设备前工程队每天改造道路多少

米？

26.（5分）如图，力。是△力8C的中线，E是4C边上一点、,连接BE交力。于/点，EA=EF.求证：FB

=AC.

27.（7分）在△48。中，ZJC5=90°,C4=C8,点尸是射线8c上的一个动点，过点〃作8力_1_力尸于

点。，射线8。交直线力。于点E,连接CD.

（1）如图1,当点P在线段6c上时（不与端点8,。重合）：

第4页（共25页）

①求证：ZCBE=ZCAP,

②求证：DA=DB+V2DC：

（2）如图2,当点尸在线段BC的延长线上时（QCV/C）,依题意补全图2并用等式表示线段。力,

DB,力。之间的数量关系.

28.（7分）对于线段48与点尸（点尸不在线段48上）给出如下定义：

。为线段43上任意一点，如果线段夕。的长度有最小值，那么称这个最小值为点尸与线段/出的“近

距”，记作山（点尸，线段43）；如果线段尸。的长度有最大值，那么称这个最大值为点尸与线段48

的“远距”,记作为（点尸，线段48）.

如图，。中，NCAB=3C,AB=4点，AC=2.

⑴山（点C，线段4?）=,d2（点C，线段43）=：

（2）点4关于直线力C的对称点为4,，连接力夕.若点尸在线段44,上，且也（点尸，线段月4）

是山（点P,线段48）的2倍，直接写出线段NP的长度；

（3）过点C作MN〃/瓦若点P在直线MN上，d\（点尸，线段45）<2,直接写出刈（点P,线段

AB）的取值范围.

第5页（共25页）

c

备用图2

第6页（共25页）

2024・2025学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）9的平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.±V3

【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±内=±3,据此解答即可.

【解答】解：9的平方根是±百=±3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两

个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

2.（2分）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由

此即可判断.

【解答】解：/、图形是轴对称图形，故力符合题意.

B、C、。中的图形不是轴对称图形，故8。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

2

3.（2分）若分式。上A的值为0,则x的值为（）

x+2

A.-2B.0C.2D.±2

第7页（共25页）

【分析】根据分式的值为零的条件即可求出X的值.

【解答】解：由题意可知：X-4=0

。:+240

解得：x=2

故选：C.

【点评】本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，木属于基础题型.

4.（2分）下列事件是随机事件的是（）

A.从分别写有2,4,6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除

B.用长度分别是2a*3c〃?，6c〃?的细木条首尾相连组成一个三角形

C.投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球

【分析】根据有理数的整除性和必然事件的定义对力选项进行判断；根据三角形三边的关系和不可能

事件的定义对8选项进行判断；根据随机事件的定义对。选项进行判断；根据不可能事件的定义对。

选项进行判断.

【解答】解：A.从分别写有2,4,6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除，此事件

为必然事件，所以A选项不符合题意：

B.用长度分别是2c〃?，3“〃，6c/〃的细木条首尾相连组成一个三角形，此事件为不可能事件，所以B

选项不符合题意：

C.投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，此事件为随机事件，所以。选项符合题意；

D.在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球，此事件为不可能事件，所以D选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件、称为随机事件.也考查

了数的整除和三角形三边的关系.

5.（2分）下列各式从左到右变形正确的是（）

A.9二包B,纪1=上也

mbbabb

【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可.

【解答】解：皿=且_则4符合题意:

mbb

第8页（共25页）

豆也无法约分，则8不符合题意；

ab

♦d=（b-a）（b+a）则C不符合题意；

a+ba+b

包二话，则。不符合题意；

bb2

故选：A.

【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键.

6.（2分）下列运算正确的是（）

A.3W3=3V3B.瓜+近=3

C.xV6=3V2D.（依+1）2=6

【分析】根据二次根式的加法运算对4选项进行判断；根据二次根式的除法法则对4选项进行判断；

根据二次根式的乘法法则对。选项进行判断；根据完全平方公式对。选项进行判断.

【解答】解：A.3与7与不能合并，所以4选项不符合题意；

B.&+2=«，所以4选项不符合题意；

C.如乂近=如义如又近=3啦,所以C选项符合题意；

D.（灰+1）2=5+2市+1=6+2代，所以。选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则

是解决问题的关键.

7.（2分）实数机，〃在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简丘-lm-nl的结果是（）

Il111A

m—10n1

A.nB.-nC.2m-nD.-2m+n

【分析】由数轴可知：mVTVOVhVL则〃l"VO,化简所求代数式即可.

【解答】解：由数轴可知；，〃V1<0<//<1,

,\ni-n<0,

~\m-川=-〃?+〃？-〃=_n.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到“是关键.

8.（2分）如图，在^力8。中，ZACB=90°,CA=CB,CO是N4C8内部的射线且N8COV45。，过点

第9页（共25页）

力作力£_LCQ于点£,过点、B作BF±CD于点、F.给出下面三个结论：①/EAB=/FBA；@AB=

CF；@EF=AE-BF.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】由4E_LCO于点E,BF工CD于点、F,证明力七〃8F,则NE/18=NFB.4,可判断①正确：再

证明△◊£❷△43,得4E=CF,CE=BF,由44>4C,BC>CF,推导出出9>。凡可判断②错误;

由七户二3一"力后-^凡可判断③正确，于是得到问题的答案.

【解答】解：VJ£±CD于点£,B卜13于点卜,

:・AE〃BF,/AEC=NCFB=90°,

；・NE4B=/FBA,

故①正确；

VZACB=90°,

・•・/CAE=NBCF=90°-NACF,

在△(?%后和△80中，

rZCAE=ZBCF

­NAEC=NCFB，

AC=CB

:•△CAE/ABCFCAAS),

；・AE=CF,CE=BF,

:.AB>BC,BOCF,

:.AB>CF,

故②错误：

,/EF=CF-CE,且CF-CE=AE-BF,

：.EF=AE-BF,

故③正确，

故选：B.

第10页（共25页）

【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,

证明△。£丝△46是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若共年在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是Q2.

【分析】根据二次根式有意义的条件得到x-220,解之即可求出x的取值范围.

【解答】解：根据题意得：尸220,

解得：x22.

故答案为：x22.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数.

10.（2分）写出一个比加大且比历小的整数，.

【分析】先估算出血、F5的大小，然后确定范围在其中间的整数即可.

【解答】解：V10>3,

.*.V2<2<3<A/10，

即比血大且比历小的整数芍两个是2和3.

故答案为：2或3.

【点评】本题考查无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键.

11.（2分）不透明的袋子中装有3个红球，4个黄球和2个绿球，除颜色外这些小球无其他差别.从中随

机摸出一个小球，恰好是红球的概率是1.

一3一

【分析】直接根据概率公式求解即可.

【解答】解：•・•袋子中装有3个红球，4个黄球和2个绿球，共有9个球，

・•・从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是3=1.

93

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了概率公式；随机事件4的概率〃（/）=事件/可能出现的结果数除以所有可能出

现的结果数.

12.（2分）如图，AB〃CD,HE,“在8c上且8/=C£请你只添加一个条件，使得△/EB也△。尸C.

（1）你添加的条件是答案不唯一）；

（要求：不再添加辅助线，只需填•个答案即可）

（2）依据所添条件，判定与全等的理由是SAS.

第11页（共25页）

AB

【分析】（l）由题意添加△。尸C的条件即可；

（2）先证明8E=C广，再由平行线的性质得N8=NC,然后证明△力所名△。/C（S4S1）,即可得出结

论.

【解答】解：（1）添加的条件是力8=。。（答案不唯一），

故答案为：AB=DC（答案不唯一）：

（2），：BF=CE,

:・BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

'JAB//CD,

:・/B=4C,

在△4E8和△D"C中,

rAB=DC

'ZB=ZC，

,BE=CF

:.△AEB94DFCCSAS）,

故答案为：SAS.

【点评】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题

的关键.

13.（2分）如图，RtAJ5C'I'»NC=90°,点。在8C上，DE上AB于点、E.若DE=DC,N8=40”,

【分析】由NC=90°,N8=40°,求得N84C=50°,再根据证明"△XCOWRtZUE。，则

NCAD=NEAD=L/BAC=25°,于是得到问题的答案.

2

第12页（共25页）

【解答】解：・・・/C=90°,/4=40°,

・・・N44C=90"-ZB=50°,

〈DELAB于点、E,

ZAED=90°,

在RtA^CD和RtA/4ED中，

（AD=AD,

lDC=DE，

ARtAJCD^RtA/lED（HL）,

：•NCAD=NEAD=L/B4c=25。,

2

故答案为：25.

【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角a余、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rtzx/ic。

^RtAJED是解题的关键.

14.（2分）计算（2粕W7）（2&W7）的结果是」.

【分析】利用平方差公式计算.

【解答】解：原式=（275）2-（V7）2

=20-7

故答案为：13.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、平方差公式是解决问题的关键.

15.（2分）在。中，AB=AC,Z5JC=100°,。在3C边上，且△48。是等腰三角形，则乙

的度数为40°或70°或100°.

【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：NB=NC=40°,然后分三种情况：

当月4=4。时；当B4=BD时;当。/时,：分别进行计算即可解答.

【解答】解：・.18=/1C,/胡。=100°,

:.NB=NC=1800-ZBAC^19Q

2

分三种情况:

当月8=4。时，此时点。与点。重合,

:・/ADB=/ACB=40°；

当从1=83时，如图：

第13页（共25页）

A

2

当QB=O/1时，如图:

••.N/Q4=180°--Z5JD=100°；

综上所述：N4O8的度数为40°或70°或100°,

故答案为：40°或70°或100°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键.

16,（2分）如图，△力4C是等边三角形，。是/1C的中点，动点尸在4。边的中线力£上.若48=2,则

PC+PD的最小值为.

【分析】如图，利用等边三角形的性质和轴对称的性质可以得到满足条件的Q点，然后利用勾股定理

即可求解.

【解答】解：如图，是等边三角形，动点P在8C边的中线/E上，

:B。关于ZE对称，

••・连接BD交4E于P即可满足PC+PD的最小.

是力。的中点，

・・.CO=LC=L8=1,

22

:.BD=a，

：.PC+PD的最小值=

第14页（共25页）

故答案为：

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关锭是利用轴对

称的性质确定满足条件的P点.

三、解答题（共68分，第17・20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23・25题，每题6分，

第26题5分，第27・28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：4出^+（-V2）-我.

【分析】先根据二次根式的性质、立方根的定义进行化简，再合并即可.

【解答】解：4患+（-V2）2+V18-娴

V2r

=4X^-+2+3V2-2

=2点+2+3&-2

=5也

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18.（5分）如图，△48C是等边三角形，。是△力8C内一点，连接40,将线段力。绕点力逆时针旋转

60°得到线段4E,连接8。，CE.求证：BD=CE.

【分析】由旋转的性质可得40=//。力七=6（）°,由“S4r可证△84。g△C4E,可得BD=CE.

【解答】证明：•・•将线段力。浇点力逆时针旋转60°得到线段力应

；.AD=AE,DAE=60°,

是等边三角形，

：,AB=AC,ZBAC=60°=ZDAE,

第15页（共25页）

：,ZBAD=ZCAE,

••.△BADg/\CAE（SAS）,

：.BD=CE.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形的全等是

解题的关键.

19（5分）计算：（1+V3）2-V2（V6-V8）-

【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式，最后合并即可.

【解答】解：原式=1+2a+3-。2><6+72义8

=1+2A/§+3-2V§+4

=8.

【点评】本题考杳了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题

的关键.

20.（5分）计算：

x-yx-y

【分析】利用分式的加减法则计算即可.

【解答】解：原式=2（乂2-y2）

x-y

2（x+y）（x-y）

x-y

=2（.x+y）

=2x+2y.

【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

21.（6分）已知：如图，中，BC>AB>AC.

求作：点P，使得点P在8C边上且N4PC=2N8.

作法：①作线段48的垂直平分线，交8c于点P,交AB于点Q；②连接4P.点P即为所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成卜.面的证明.

证明：•・•尸。是力3的垂直平分线，

・••吁①PB（②线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）（填推理的依据）.

/PAB（⑷等边对等角）（填推理的依据）.

第16页（共25页）

又VZAPC=ZB+ZPAB,

:.ZAPC=2ZB.

【分析】（1）根据要求作出图形;

（2）利用等边对等角以及三角形的外角的性质证明即可.

・••4=①P8（②线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等），

,\ZB=@ZPAB（④等边对等角），

又VZAPC=/B+NPAB,

:.NAPC=2NB.

故答案为：PB,线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，/PAB,等边对等角.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作出图形.

22.（5分）已知X2-2X-20=0,求代数式（乂-生）+卑”的值.

XX2

【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据F-2X-20=0,可以得到F-2X=20,

最后代入化简后的式子计算即可.

【解答】解：（x-生）・里亚

XX2

22

=x-4A.x

x5（x+2）

（x+2）（x-2）.J

x5（x+2）

x（x-2）

5

第17页（共25页）

5

Vx2-2x-20=0,

・4-Zv=20,

工原式=22=4.

5

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

23.(6分)解分式方程：-总口.

x-3x

【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即灯.

【解答】解：原方程去分母，得.d+6(x-3)=x(x-3),

解得：x=2,

检验：当x=2时，x(x-3)W0,

••・x=2是原分式方程的解.

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

24.(6分)如图，在△/BC中，ZJC5=90°,CA=4,CB=6,。是8C的中点，E是AC边上一点,连

接D4,QE.将△QCE沿直线QE翻折，点。恰好落在。4上的点尸处.

(1)求力。的长；

【分析】(I)勾股定理求出4。的长；

(2)根据折叠得到CO=OF,CE=EF,NEFD=90°,设CE=x,在心中，利用勾股定理进

行求解即可.

【解答】解：(1)•:/ACB=90°,C4=4,CB=6,。是边8C的中点，

，CO=LC=3,

2

AJZ)=VAC2-*CD2=5;

(2)•・•将△COE沿OE翻折，点。落在力。上的点尸处，

第18页(共25页)

:・CD=DF=3,CE=EF,/EFD=90：

：,AF=AD-DF=2,AAFE=W,

设CE=x,则七尸二》，AE=AC-CE=4-x,

在中，由勾股定理，得：(4-x)2=X2+22,

解得x=g，

2

/.CE=X

2

【点评】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解迎的关键.

25.(6分)列方程解应用题.

某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道

路的长度比原来增加了20%,结果共用22天完成了任务.求引进新设备前工程队每天改造道路多少

米？

【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米.根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工

程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%,结果共用22天完成

了任务.列出分式方程，解方程即可.

【解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米.

根据题意得：210

+750-210=22>

x(1+20%)x

解得x=3O,

经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，

答：引进新设备前工程队每天改造道路30米.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

26.(5分)如图，/。是△/18C的中线，E是力。边上一点，连接8E交力。于/点，EA=EF.求证：FB

=AC.

【分析】延长力力至点G,使DG=O力，连接8G,证明△GBDg/X/CQ(S/S),得G8=/C,4BGD=

/CAD,再由等腰三角形的性质得//收进而证明N8GO=N8/7),然后由等腰三角形的判

定得尸B=GB,即可得出结论.

第19页(共25页)

【解答】证明：如图，延长力。至点G,使。G=O/L连接8G,

•••/I。是△川北的中线，

:,BD=CD,

在△G8。和△AC。中，

BD=CD

,ZBDG=ZCDA*

DG=DA

:./\GBDm4ACD(SAS),

:.GB=AC,Z8GD=ZCAD,

•:EA=EF,

:.NAFE=NCAD,

♦：NBFD=NAFE,

:"BGD=/BFD,

:.FB=GB,

：,FB=AC.

G

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角

形的判定与性质是解题的关健.

27.（7分）在△力灰?中，ZACB=9O0,C4=CB,点尸是射线8c上的一个动点，过点4作8Q_L/1。于

点。，射线，。交直线4C于点£,连接CZX

（1）如图I,当点夕在线段5c上时（不与端点8,。重合）：

①求证：NCBE=NC4P；

②求证：DA=DB+V2DC：

（2）如图2,当点P在线段BC的延长线上时（PCV4C）,依题意补全图2并用等式表示线段。4,

DB,之间的数量关系.

第20页（共25页）

A

【分析】(1)由N4C3=N4O8=90°,N/1PC=NBPD得出NCBE=NG4P；

(2)作b_LCO交力。于E可证得N4CT=NPC。，NCBE=NC4P,进而得出△力/。丝△AOC,从

而CF=CD,AF=BD,从而得出。尸=&DC,进一步得出结论；

(3)作CE_LCO交8。于尸，同理(2)得出△4CO之△4CF,从而CO=CRDA=FB,进而得出。尸

=V2DC,进一步得出结论.

【解答】(1)证明:®VBD_LJP,

工404=90°,

•；N4CB=9Q0,

ZACB=ZADB,

NAPC=/BPD,

；・NCBE=/CAP；

②如图1，

作B_LCQ交4。于R

AZDCP=90°,

VZJC5=90",

ZACB=NDCP,

：.ZACB-4PCF=NDCP-乙PCF,

第21页(共25页)

/.ZACF=ZPCD,

由（1）知/CBE=/CAP,

又*：AC=BC,

:./XAFC乌△BDC（ASA）,

:,CF=CD,AF=BD

：,DF=42DC,

，AD=AF+DF=DB+aDC；

（3）解：如图2,

图2

作CF上CD交BD于F,

同理（2）得,

ZACD=ZBCF,ZDAC=ZBCE,

，：AC=BC,

:,AACD也AACF（ASA）,

:・CD=CF,DA=FB

:.DF=MDC,

，DB=FB+DF=DA+y/2DC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线,

构造全等三角形.

28.（7分）对于线段/也与点尸（点户不在线段/以上）给出如下定义：

。为线段48上任意一点，如果线段尸。的长度有最小值，那么称这个最小值为点尸与线段/出的“近

距”，记作小（点P，线段月3）；如果线段尸。的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段48

的“远距”,记作（点P，线段M）.

如图，△/4C中，NC4B=30°,AB=4E，AC=2.

（1）山（点C,线段44）=1,d2（点C，线段48）=2右