2024-2025学年广州九年级数学上册期末复习《圆章节近三年组题汇编》

广东省广州市2024-2025学年九年级上学期期末数学复习

（圆章节近三年组题汇编）

一、单选题

1.（23・24九年级上•广东广州期末）在RA4BC中,乙4cB=90。，AC=5,AB=\0f以点C为圆心,BC

为半径作。C,则点力与0c的位置关系是（）

A.点力在O。内B.点力在O。上C.点力在OC外D.无法确定

2.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图,OC是。。半径，48是。。的弦，且于点。，若

OA=\0,CO=4,贝IJ弦48的长是().

A.8B.12C.16D.20

3.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，点?是外一点，尸4分别切0。于4B两点.若

A.60°B.70C.80D.90,

4.（23-24九年级上•广东广州期末）在V/18C中，ZC=90°,4C=4,BC=3,将V44C绕/出所在直

线旋转一周.所得几何体的表面枳为（）.

84

A.15乃B.—7tC.204D.35兀

5.（23・24九年级上•广东广州•期末）如图,RI△48。的内切圆分别与48、8c相切于。点、E点,若

BD=\,力。=4,则"=()

6.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图,正方形力的边长为2,4。是以点8为圆心，力4长为半

径的一段圆弧，则荔•的长为（）

AD

□

BC

A.兀B.2nC.3JiD.4H

7.（23・24九年级上•广东广州•期末）如图,已知四边形力8c。是。。的内接四边形，若407）=150。，则

N8CO的度数为（）

A

C

A.75°B,90°C.105°D.120°

8.（23・24九年级上•广东广州•期末）如图,四边形力BC。内接于。0,£为4c延长线上一点，若

4=70。，则N7）CE的度数为（）

3

A.110°B.120°C.70°D.60°

9.（23-24九年级_L•广东广州•期末）如图，月6是OO的直往,P是延长线_L一点，过『作的切线,

切点为点C，点。是劣弧蓝上一点，连接力。、BD、CD,若NOPC=20。，则N8OC的度数为（）

A.110°B.135°C.145°D.160°

10.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，四边形488内接于0O,E•为8c延长线上一点，连接ODOB,

初中

港QD〃RC、且则N2OO的度数是（

C.130°D.120°

二、填空题

11.（23-24九年级上•广东广.州•期末）如果。4的直径为6cm,且点8在。，上，则二cm.

12.（23-24九年级上•广东广州•期末）已知圆锥的侧面积为20%,底面半径为4,则圆锥的高是.

13.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面,半径。4=10m,地面宽力8=16m,

则高度为.

14.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，。。是V4?。的外接圆，力。为。O直径，若408=50。,

那么NC=.

15.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，正方形为8CQ的外接圆的半径为4,则它的内切圆的半径

为.

16.（23-24九年级上广东广州•期末）如图，在V/108中，/力OR=9（T,/048=30'，以。力为轴将V/1OB

初中

旋转一周得到一个圆锥，则该圆谁侧面展开图的扇形圆心角。的度数是.

17.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，48是。。的直径，弦平分圆周角/4C8,则下列结论:

①花二砺

②△48。是等腰直角三角形

@CA+CB=y/3CD

④Spq边形=5

正确的有.

18.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图,在RtZ\42C中,乙4BC=90°,ZBAC=30°,BC=4,点、D

是半径为4的。力上一动点，连接8,点七是C。的中点，当点。落在线段力。上时，则CE的长度

为;若点。在。力上运动，当8E取最大值时，CE的长度是.

三、解答题

19.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图,在平面直角坐标系中,V/5C的三个顶点坐标分别为

4(-1,0),以-2,-2),C(-4,T).将V"C绕点A顺时针旋转90。得到△[4G，

⑴画出△破G；

(2)求点8在旋转过程中运动的路径长.(结果保留兀)

2().(23-24九年级上•广东广州・期末)如图，48是。。的直径，。为。。上一点，力。和过点C的直线互

相垂直，垂足为。，ZJEC=90°,CD=CE.求证：直线CQ是。。的切线.

21.(23・24九年级上•广东广州•期末)如图，力〃是OO的直径,点C在。O上，fiJC=8,8c=6.

(1)尺规作图：过点。作/C的垂发，垂足为以交劣弧介于点Q,连接CQ(保留作图痕迹.不写作

法)；

(2)在(1)所作的图形中，分别求。七和C。的长.

22.(23・24九年级上•广东广州•期末)如图，己知点£在直角V48c的斜边上，以力E为直径的。。与

直角边8C相切于点。

初中

A

Dc

(1)求证：4。平分/A4C；

(2)若4E=4,BD=8,求OO的半径

23.(23-24九年级上•广东广州•期末)如图，。0是V/5C的外接圆，力4是。。的直径，/A4C=6O。，I

(1)尺规作图：作/A4C的角平分线力。，交BC于点、D,交直线/于点E.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若BD=BE,求证：/是。。的切线.

24.(23-24九年级上广东广州•期末)如图,四边形48CQ中，AB=CD,/ABC+/BCD=270。,

(1)求/4+N。的度数；

(2)连接力C,若乙4。=45",求证：BC2+2AC2=AD2;

(3)点£/分别为线段8C和力。上的点，点G是线段M上任意一点且△G48和△GCO的面积相等，过点

D作DH上EF,DH交直线EF于贵H,连接力〃.若/。=4,求线段的最小值.

25.(23-24九年级上•广东广州・期末)人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中48

与半圆O的直径3C在同一直线匕且48的长度与半圆的半径相等；与力。垂直于点从。8足够长.

使用方法如图2所示，要将三等分，只需适当放置三分角器，使。4经过NMEN的顶点E,点A落

在边上，半圆与另一边EN恰好相切时，切点为尸，则有/1=N2=N3.

若NM£V=90。，半圆。的半径为2,与半圆交于点7,求流的长.

初中

I)D

ffil

26.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，川？为。。的直径，CO为。。的弦，且COl/月，点E为劣

弧於上一点，RCE=CB，力月与交于点尸.

（1）尺规作图：作出点E,并连接。E.（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接CE,〃为CE延长线上一点，求证：力E平分NO£M；

（3）求证：FD-FE=EC.

27.（23-24九年级上•广东广州•期末）已知一直线/与。。，川?是。。的直径，4DAJ于点D.

ffil图2

⑴如图1,当直线/与O。相切于点。时，求证：4C平分

（2）如图2,当直线/与。。相交于点后,厂时，若NO力£=工。（0。<30）,NBOF=y。,求》关于x的函数解

析式.

28.（23-24九年级上•广东广州•期末）如图，已知矩形48CZ）中，AB=a（a>\）,8C=2,点。是8c边

的中点，点石是矩形内一个动点，且。£=1.

初中

(1)当OE_L9C时，连接"、CE,直接写山“"EC的度数;

(2)当。=百时，连接。石，若DELOE,求8£的长;

(3)当。=2时，将线段QE绕点。逆时针旋转90。后，得到线段D/，点尸是线段。尸的中点，当点£在矩

形力改刀内部运动时，求点尸运动路径的长度.

29.(23・24九年级上•广东广州•期末)是。。上的一条不经过圆心的弦，MN=4,在劣弧和优弧MN

上分别有点48(不与〃，N重合)，且加=丽，连接4W,BM.

⑴如图①，44是直径，AB交MN于点C,NMOC=60。，求/CMO的度数；

(2)如图②，连接4B,过点。作。。〃48交于点力.求证：NMOQ+2NOMO=90。；

⑶如图③，连接力N,BN,试猜想+的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是,

请说明理由.

30,(23-24九年级上•广东广州期末)己知。。是V相。的外接圆，且筋=前，乙48c=60。，D为OO

上一动点

(1)如图1,若点。是筋的中点，则/。84=°；

(2)如图2,点。是前上一动点，过点8作直线4。的垂线，垂足为点石，求证：CD=DE+AE；

(3)如图3,NQ=30。，连接力。，探究4),BD,。。三者之间的数量关系，并说明理由

初中

参考答案:

1.A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得8C边的长，然后通过比较/C与半径8c的长

即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系.

【详解】解：•••在Rt△4中，N8=9()。，AC=5,AB=\O,

-BC=y/AB2-AC2=^102-52=573，

•：AC=5<BC,

点4在。C内，

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，先求出。。=6,由垂径定理可得力。=3。，由勾股定理

得出4。=8,即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键.

【详解】解：

/.OC=OA=\0,

:.OD=OC-CD=\0-4=6f

•••力4是。。的弦，且0C」48于点。，

/.AD=BD,//。0=90。，

/.AD=ylOA2-OD2=V102-62=8，

/.AB=2AD=\6f

故选：c.

3.B

【分析】本题考查了圆周角定理，切线的定义，先连接OB,得N/fO4=140。，结合同弧所对圆周角

是圆心角的一半，即可作答.

【详解】解：,••连接04、0B,

・“4P8分别切。。于48两点

.•.NO"=NOAP=90°

••♦"-40'

.•.403=140。

AB=AB

.-.ZC=70°

故选：B

4.B

【分析】本题考查求圆锥的表面枳.根据题总，得到上下两个底面相同的圆锥，勾股定理求出圆锥的底面

圆的半径，求出两个圆锥的侧面积，求和即可.解题的关键是确定几何体的形状，掌握圆锥恻面积的计算

方法.

【详解】解：vZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=<32+4?=5»

将V"C绕"所在直线旋转一周，得到如图所示的上下两个底面相同的圆锥的组合体，

B

A

设8。=、，则：AD=5-x,

：,CD~=BC2-BD2=AC2-AD2,

.♦.16-（5-X）2=9-X2,

9

A=—,

CD=>JBC2-BD2=y,

121284

•••组合体的表面积为：+=

故选:B.

5.D

【分析】设CK=x,根据切线长定理得出==1,AC=AD+BD=4+xf进而勾股定理，即可求解.

【详解】解：设CE=x,

初中

•••为△42。的内切圆分别与48、〃。相切于。点、E点,

：.BD=BE=1,BC=.v+1,AC=AD+BD=4+x,

在RtZ\/i8C中，AB2+BC2=AC2,

.♦.52+(1+X)2=(X+4)2

解得x=

即”的长度为

故选D.

6.A

【分析】本题考查了弧长公式，由题意可得：死所在圆的半径为2,圆心角为90。，再由弧长公式进行计

算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键.

【详解】解：由题意可得：然所在圆的半径为2,圆心角为90。,

90x2兀

「•行的长为=71

180

故选:A.

7.C

【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理，求出/力的度数，根据圆内接四

边形的对角互补，求出的度数即可.

o

【详解】解：由圆周角定理得，/A=^BOD=^x\50=75°f

••明边形力8C。是。。的内接四边形，

NBCD=180°-ZJ=l80°-75°=105°,

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了圆内接四边形，根据题意得乙肝/8。。=180。，可得/4。=110。，即可得答案；掌握

圆内接四边形的性质是解题的关键.

【详解】解：•••四边形力8CO内接于。O,乙4=70。，

.•.N/+N8CQ=180°,

/BCD=180°-Z/l=l80°-70°=110°,

:.ZDCE=180°-ZBCD=180°-110°=70°,

故诜：C.

初中

9.C

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接0C,则可以求出NPOC的度数,

进而求出N4,再根据圆内接四边形的对角互补解题即可.

【详解】解：连接。C,

•••PC是。。的切线，

.•.NO"=90。，

APOC=90°—4P=900-20°=70°,

.•.ZJ=-ZPOC=-x70°=35°,

22

NBDC=180°-ZJ=180o-35o=145°,

【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接。C,由OD//8C,OD=BC

证明四边形08co是平行四边形，由08=0。可证明四边形O6CO是菱形，得OB=BC,NBOC=NDOC,

再证明△O8C是等边三角形即可得出结论.

二四边形OBCD是平行四边形，

又OB=OD,

.•里边形OBCQ是菱形，

OB=BC,NBOC=/DOC,

•：()B=OC,

：.OB=BC=OC,即△O8C是等边三角形,

上BOC=600,

初中

£BOD=2ZBOC=120°,

故选：D

11.3

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系即可求解，解题的关键是正确理解：点和

圆心的距离为d半径为〃，点尸在OO外，则点?在。。上，则d点尸在。。内，则dvr.

••.A8为半径，

AB=—x6cm=3cm,

2

故答案为：3.

12.3

【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键.

设圆锥的母线长为/,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到;,2乃x4/=20i,然后求出/,再利用勾股定理计算圆堆的高即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为/,

根据题意得;-2乃乂4/=20乃，解得/=5,

所以圆锥的高=J5?-4?=3-

故答案为：3.

13.4m

【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

【详解】解：根据题意得，在Rt△力。。中，AB=16m,半径。4=10m,

2122

AOC=(9/1=1Om,AD=BD=^AB=^-xl6=8(m),OD=yJOA-AD=>/10-8=6(m),

/.CZ)=OC-Or>=IO-6=4(m),

故答案是：4m.

初中

14.25。/25度

【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.根据圆周角定理可得出答案.

【详解】解：•••408=50°,

4。8=25。，

2

故答案为：25°.

15.2&

【分析】本题考查了正方形和圆、勾股定理、正方形的性质等知识，根据题意画出图形并利用勾股定理是

解答本题的关键，属于中考常考题型.

【详解】解：如图，连接。力、0E,根据题意知0/1=4,

•.F4是小圆的切线，

•••囚边形48CO是正方形，

•••△47石是等腰直角三角形，AE=OE,

.•.在RtAJOE中根据勾股定理得：

AE2+OE2=OA2,

•••206=42,

解得0E=26或0E=-2亚(舍去)，

故答案为：2vL

16.180°

【分析】本题考查了扇形圆心角，先设=则/4=2x,底圆周长为2.4,则。二名£乂360。=180。,

2AB兀

即可作答.

【详解】解：•••，在V4O8中，NAOB=90=ZOAB=3()

.•.设O8=x,48=2x

那么底圆周长为2.”

故。=也也x360°=出x360°=180。

2ABTT4工乃

故答案为：180。

17.①②④

【分析】本题主要考查圆的性质，弦、弧和角度之间的关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键.根据圆的

相关性质进行求解即可.

【详解】证明：:弦CO平分圆周角/月。8,

Z.ACD=/DCB,

<"AD=BD，故。）正确；

/.AD=BD,

•••力〃是。。的直径，

.•ZQ8=90。，

二•△48。是等腰直角三角形，故②正确；

作DM1.G4的延长线于点“，DN上BC于点、N,

：./DMA=ZDNB=900,

•.•乙4c8=90。，

二•四边形CWON是矩形，

:.KMDN=90。，

即4ON+4QA/=90°,

「弦CO平分圆周角/ACB=90°,

:"DCA=ZDCB=45°,DM=DN,

：./DBN=ZMDA,

在△。.”力和△DN8中，

上DM=ABON

<DN=DM,

/DMA=NDNB

NDMA^JDNB,

/.AM=BN,

:.CA+CB=CM+CN+BN-AM=CM+CN,

在RsCA/Z）中，

CM=CD-cosZDCM=—CD,

2

同理可得cv=¥。），

/.CM+CN=#CD+与CD=亚CD，

故③错误；

QS=SvcDB+SYACD,

=-CADM+-DNCB,

22

二；（CA+CB）DM=；xyfiCDx与CD=1CD2,故④正确.

初中

c

故答案为：①②④.

18.22不

【分析】由含30。角的直角三角形的性质可得AC=8,得出。=4C-力。=4,即可得出工的长，取/C

的中点尸，连接力。、EF、BF,则网=4,由三角形中位线定理可得所=；/。=2,由BE4EF+BF得

到当8、E、尸三点共线，且点尸在8E上，8E有最大值；如图所示，设8E有最大值时点E运动到？，延

长。£交。力于G,过点G作6〃_1_。4交。/延长线于，，连接4G,证明5=8产=8C=4,得到△。心

是等边三角形，则N4/E=NC7必=60。；再证明此时点。于点G重合，得到点£为或7的中点，则EE

为A/ICG的中位线，4G〃七户，求出乙4G"=30。，得到H"=!dG=2,则

CH=AC+AH=\(lGH7AG，-AH?=2百，由勾股定理得到CG=而二砺7=4疗，则

CE，=gcG=2五,即当8E取最大值时，CE的长度是26.

【详解】解：:在中，48c=90。，Z5/1C=30°,BC=4,

:.AC=2BC=8,

•••点D是半径为4的。力上一动点，

.♦..40=4,

・二当点。落在线段4c上时，CD=AC-AD=S-4=4；

•••点E是CD的中点,

:.CE=-CD=2-

如组，取4C的中点厂，连接力。、EF、BF,

初中

•••在RtZ\,48。中，ZJ5C=90°,AC=8,

：.BF=-AC=4,

2

•••点E是CO的中点，

.•.即是“8的中位线，

:.EF=-AD=2,

2

•••点E在以点尸为圆心，半径为2的圆上运动,

•/RE<F.F+RF.

:.3E<EF+BF=2+4=6,

.••当8、E、尸三点共线，且点尸在跖上，此有最大值；

如图所示，设8E有最大值时点£运动到灯，延长CE'交GM于G,过点G作G“1C4交。延长线于，,

连接4G,

•••】C=8,尸为4。的中点，ZABC=90°f

.'.CF=BF=-AC=4,

2

:.CF=BF=BC=4,

必是等边三角形,

.-.zcra=60°,

:"AFE'=/CFB=60。；

••・E为。。的中点，点。在CM上，且C、E；。、G四点共线,

•••应时点。于点G重合，

•・・点£为06的中点，

.♦.£户为"CG的中位线，

AG〃E'F,

••.NF4H=NE'F/i=60。，

.'.ZAGH=30°,

初中

:.AH=—AG=2,

2

•-CH=AC+AH=\(),GH=>1AG2-AH2=2>/5»

:CG=>/CH2+GH2=477，

.­.CF=-CG=2V7,

2

.•.当BE取最大值时，CE的长度是2々，

故答案为：2,25.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，含30。角的直角三角形的性质、三角形斜边

上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，确定点上的运

动轨迹，进而确定当8、E、尸三点共线，且点尸在8E上,8E有最大值是解题的关犍.

19.(1)画图见解析

【分析】本题考查的是画旋转图形，勾股定理的应用，求弧长，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关

键；

(I)先确定A,C关于A旋转后的对应点⑸，C，再顺次连接即可：

(2)先利用勾股定理求解48的长，再利用弧长公式计算即可.

【详解】(1)解：如图，△力用。即为所求作的三角形;

初中

.瓯的长为胆正=叵；

1802

2(),证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边对等角，连接

OC,证明Rt“C0gRt"CE(HL)得出NC4O=/C力E,由等边对等角得出NO/C=NOC4,从而得出

ZDAC=ZOCA,推出力。〃。。，由平行线的性质得出OC_LC。，即可得出答案，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，连接OC,

ICD=CE

\AC=AC/

.•・Rt△/。。gRt△力CE(HL),

二ACAD=ZCAE,

•/OA=OC,

/OAC=ZOCA,

:"DAC=NOCA,

:.AD//OC,

初中

0C1CD,

•.•oc是半径，

・•・直线co是的切线.

21.(1)见解析

(2)。。=3,CD=2y/5

【分析】

本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质.解题的关键在于对

知识的熟练掌握与灵活运用.

(I)如图，作力。的垂直平分线，与圆的交点即为。，连接CQ即可；

(2)由题意可知点E为4c的中点，可知OE为V/8C的中位线，进而可得OE=；8。=3,由圆周角定理

可知4c8=90。，再利用勾股定理可得48=10,则。。=08=348=5,^DE=OD-OE=2,再结合

勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：分别A、C以为圆心，大于g4c的长为半径画弧交于点尸，连接。尸，与圆的交点即为

D,则OO即为4C的垂线，连接CQ,如图即为所求；

(2)由(1)可知，ODLAC,WiJJE=CE=^JC=4,即点E为4C的中点,

•：OA=OB,

・••OE为VA8C的中位线，

.,.OE=LBC=3,

2

••・/4是。。的直径，

.-.ZJC5=90°,

由勾股定理可得：AB=y]AC2+BC2=10-

：.OD=OB=-AB=5,则。后=0。-OE=2,

2

初中

由勾股定埋可得：CD=®=2指.

22.(1)证明见解析

(2)。。的半径为6.

【分析】本题考查圆的切线的性质以及勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，理解并熟练运用切线的性

质是解题关键.

(1)连接。。，根据切线的性质可得到=90。，从而再结合平行线的性质以及圆的性质

推出结论即可；

(2)设。。的半径为八则。。=1，OB=4+r,由0炉=8。2+。。2,再建立方程求解即可.

Zl=Z3,

•••8c为为。的切线,

/ODB=90。,

ZC=90°,

乙ODB=ZC,

：.OD//AC,

Z3=Z2,

/I=N2,

.•.4。是/8力。的平分线.

(2)vBF=4,BD=8

设。。的半径为/•，则0。=，08=4+〃,

在RS4OO中，OB?=BD°+OD：，

.,.(r+4)2=r24-82,

解得：r=6,

即。。的半径为6.

初中

23.（1）作图见解析

（2）证明见解析

【分析】本题考杳了基本作图•作角平分线和切线的判定：

（1）根据角平分线的基本作法作图；

（2）根据“过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明.

【详解】（1）解：如图：力。即为所求；

(2)证明：设力上交于点产，

•.Y8是直径，

.♦.ZC=ZJra=90°,

•.•NG44=60。，

.♦.NC8/=30°,

•••/产平分/C/4,

:.NFBC=NCAF=-Z.CAB=30°,

2

,:BD=BE,Z.AFB=90°,

••./EBF=NFBD=3。。,

.•.ZJ5E=90°,

•：AB是直径，

・••/是。。的切线.

24.（1）90°

（2）见详解

⑶AH=如-6

【分析】（1）根据四边形内角和为360。，列式计算，即可作答：

（2）依题意，由8c2+24。2=力。2变形得8。2+（应力。了=4。2,通过旋转4C构造出&4C，并将

BC、五AC、AC转化到一个直角三角形中可■证：将“8绕点。顺时针旋转90。，得到△£，'尸，如图，连

接力石、AF,则花=拉力。，EF=AD,CF=CDx第（1）中己证/历1。+/。=90。，又

NCGD+ND=90°,得NBAD=NCGD,B4\[CF,又BA=CD=CF,则四边形/18C/是平行四边形，

初中

BC||AF,BC=AF；由4C〃力产知/，产=N夕。1=45°得N£■（产=NE4CINO产=45°I45。=90。，故在

心△£4/中，AF2+AE1=EF1,即8c?+24C?=力》；

（3）分析题意，点G在直线48、直线CO夹角的角平分线上，又因为点G是线段印上任意一点，由此

可知线段E/为直线48、直线CD夹角的角平分线被线段8C、.4。所截的线段，延长线段月反。。交

由第（1）问中结论知/41〃）=90。，取/。中点/,连接W,则M/=4=O/=2,点M在以/为圆心以

2为半径的圆上运动，连接MG并延长，交圆/于点M易证点N大直径下方弧力。的中点，则

NAMN=/DMN=45。连接DN,取。N中点O,连接“O,易班OH=OD=ON=&，则点〃在以O

为圆心2长为半径的圆上运动，连接力MAOAN.AO,则力（）一OHW/1H,当〃运动到力。上时，AH

最小，且4H=4O-OH.

【详解】（1）解：-ZABC+ZBCD=21Q°

:.44+N。=360°-（N48C+NBCD）=90°:

（2）解：连接4C,将△力C力绕点C顺时针旋转90。，得到△£（7,如图，连接力£、AF,

:，AE=五AC,EF=AD,CF=CD：

•:NB4D+ND=90。

.•./CGO+/O=90。

则N8/1Q=NCG。，BA||CF,

vBA=CD=CF

••必边形力8。b是平行四边形，

.­.2?C||JF,BC=AF

；CB=45。

：.ZCAF'=ZBCA=45°

・•・NEAF=ZEAC+/CAF=450+45°=90°

则在中，AF2+AE2=EF2

,:AE=JiACEF=AD,CF=CD

初中

.•.8。2+（加力C）2=力。2

即BC2+2AC2=AD2;

（3）解：依题意,如图:

•••点£/分别为线段BC和力。上的点，点G是线段石/上任意一点且△Q48和AGCO的面积相等,

AB=CD

•••点G在直线力8、直线8夹角的角平分线上，

・.・•・・点G是线段所上任意一点，且

.•・线段E/为直线48、直线C。夹角的角平分线被线段4C、力。所截的线段，如图所示：

依题意，延长线段力乐DC交于M,由第（1）问中结论知/⑷〃）=90。，取/。中点/,连接

vAD=4

贝1］历/=4/=。/=2,

故点M在以/为圆心以2为半径的圆上运动，为

连接MG并延长，交圆/于点M

vNAMD=90。且平分ZAMD=90°

.-.Z£>M/=45°

为直径，且俞=丽

:.NNAD=45。

则点N为直径下方弧AD的中点，

即NAMN=NDMN=45°

初中

连接。N,取。N中点O,连接〃O,

在RI△力NQ中，AN=ND,AN%ND、心=16

:•ND=AN=2叵

：.OH=OD=ON=0

则点〃在以O为圆心2长为半径的圆上运动，连接4N、AOAN.AO,如图:

且力〃=40—0〃.

"AO=yjAN1+NO2=V10,CH=V2

:.AH=M-应

【点睛】本题考查了圆综合：角平分线的判定与性质，圆周角性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定,

综合性强，难度大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

259

3

【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，熟练掌握相关知识点和熟记弧长的计算公式是解题的关键.

【详解】VZl=Z2=Z3,NMEN=90°,

.-.Zl=Z2=Z3=30°,

是半圆的切线，

.••"80=90。，

£BOE=60°,

.♦.ZTOC=120°,

•••半圆。的半径为2,

初中

120°x^-x24万

•••TFC的长为

180°3

26.（1）见详解

（2）见详解

（3）见详解

【分析】（1）以点C为圆心，CB为半径，画弧交。。于一点，即为点E,并连接。E.即可作答.

（2）先由垂径定理得无=无=而，结合圆周角定理和三角形的内角和，得

ZCED=2x,/CAB=x,/AHE=NDHB=90一,在dHE,WZJF//=180°-x-x-（900-x）=90°-x,

结合平角性质，即可作答.

（3）先由等腰三角形的三线合一，得EF=HF,由垂径定理，即C'Z）_L48,则HQ=8。，即可作答.

【详解】（1）解：如图:

"CD1AB,

-CB=DB^

•&=为，

•&=&=坊,

：.ZCED=2x,NC4B=x,NAHE=NDHB=90。-x,

则在WZ^//=180O-X-X-（90O-A）=90°-A-,

^ZMEJ=180°-2x-（90o-x）=90°-x,

初中

AE平分/DEM；

(3)解：连接60,如图所示:

由(2)知力£=///,Z.EAF=Z.HAF=x,

:、EF=HF,

,•-CE=CB=5^>

CE=BD,NCDB=x=NCDH,

'.'CDA.AH,

:.HD=BD,

则FD=FH+HD=EF+BD=EF+CE,

:.FD-FE=EC.

【点睛】本题考查了等腰T角形的三线合一以及等腰三角形的判定、圆周角定理、垂径定理。三角形内角

和等知识内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

27.(1)见解析

(2)y=2x,见解析

【分析】(1)先证明力O〃OC,得到N£UC=N/CO,再根据。4=0。得到NA4C=N4CO,继而得到

/84C=/£UC即可.

⑵连接8£。/，由44是。。的直径，ADW,得至1」乙4/8=/4。七=90。，根据圆的内接匹边形的性质,

得到乙4£。=/48/，继而得到“历ib=N40£=x,根据圆周角定理，得/B0F=2NBAF,代换计算即

可.

【详解】(1)•.F8是。。的直径：AD^U于点D,直线/与。。相切于点C.

•.0C11,

:.AD//OC,

ZDAC=ZACO,

-OA=OCt

N3AC=/ACO，

初中

:.ZBAC=/DAC,

•••4。平分/。力4.

(2)关系是y=2主，理由如下：

连接5£。尸，是。。的宜径，ADLI,

••,NAFB=/ADE=90°,

,•叫边形力EF8是0。内接四边形，

•••^AED=/ABF，

/BAF=ZADE=x,

根据圆周角定理，得NBOF=2NBAF,

:.NBOF=2/DAE,

故y=2x.

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆的内接四边

形的性质，熟练掌握情形的性质，圆的性质，圆周角定理是解题的关键.

28.(1)90°

(2)1

⑶%

【分析】(1)证出V8EC是等腰直角三角形，从而得出结果；

(2)连接OO,可证得RtAOEO@Rta。。。，从而得出/OOE=/QOC,可求得NCOZ)=60。，进而推出

△80£是等边三角形，进一步得出结果；

(3)连接O。，将』＞。£绕点。逆时针旋转90。至△。。下，取。。的中点/,连接/P,可得出

O'F=OE=\,进而得出户=(o^=T，从而推出点尸的运动轨迹是在以/为圆心，；为半径的半圆，从

而得出点P运动路径的长度=9.

【详解】(1)如图1,

初中

a

••・0是8c的中点，

.•.O4=OC'=1,

•••0E=\,

：.OB=OC=OE,

:.£BEO=NEBO,/CEO=NECO,

•；0EIBC,

：.NBOE=/COEW,

:.NBEO=NEBO=/CEO=/ECO=45°,

NBEC=90°；

连接O。，

•：NDEO=NC=90。,OE=OC=1,OD=OD,

.•.Rt△。石OGRIAOCO(HL),

ZDOE=ZDOC,

•••囚边形48c力是矩形，

：＜D=AB=®，C=9。。,

vOC=l,

:，tanZ.COD==出，

OC1

/.ZCOD=60°,

ADOE=60°,

1BOE=1800-NCOD-NDOE=60°,

'：OB=OE=\,

.•.△4。£是等边三角形，

：.BE=OE=T；

(3)如图3,

图3

连接O。，将S0E绕点。逆时针旋转90。至A。。户，取O'。的中点/,连接/P,

：.O'F=OE=l,

■:箴P是DF的中点，

...7P=1OT=-,

22

•••点P的运动轨迹是在以/为圆心，；为半径的半圆，

•••点P运动路径的长度=；4.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，三角形的中位线性质，

弧长公式等知识，解决问题的关健是利用旋转作辅助线.

29.⑴"00=15。

(2)证明见解析

(3)是定值16,理由见解析

【分析】(1)如图1,根据圆周角定理得到N4W8=90。：由圆周角、瓠、弦的关系和等腰三角形的性质推

初中

知ZAMN-/BMN-45°,/OMB=")BM=30°,即可求出结论;

(2)如图2,连接04,OB,0N,利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：ZZX?.V=90°；根

据等腰△MOV的性质知：NOMN=NONM；结合AOW的内隹和定理得到：

N0MN+/ONM+4MOD+4DON=180°,即/MOD+2/DMO=90°；

(3)设4W=a,BM=b.如图3,延长至点M',使"W=44/，连接MW',作NE上MM于点

E.构造全等三角形："MNA3MN年网,则该全等三角形的对应边相等MN=NW,BM,=AM=a,

由勾股定理知，河6+(8十