2024-2025学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）

A.在数轴上取一个点，它表示的数是实数

B.画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合

C.画一•个三角形，它的内角和是180°

D.把长度分别是6,8,9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形

3.（2分）分式」«有意义，实数。的取值范围是（）

a-3

A.g3B.aWOC.〃V3D.心3

4.（2分）若三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是（）

A.3B.6C.9D.12

5.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V073B・祗C.^/18D.A/10

6.（2分）下列计算正确的是（）

A.V2W3=V5B.3V2-V2=3C.V2xV3=V6D.折小赤=2

7.（2分）如图，在△48C中，边上的高线是（）

第1页（共32页）

8.（2分）如图，已知Rta/IBC中，ZC=90°,ZJ=30°,在直线3C上取一点P,使得是等腰

三角形，则符合条件的点尸有（）

A

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.（2分）16的算术平方根是.

10.（2分）若二次根式/启在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

11.（2分）如图，在△"C中，乙4=80°,点。在8c的延长线上，乙48=140°,则N8=

12.（2分）已知|x-5|+Vy^=0，则x+y=.

13.（2分）一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球,

摸到红球的可能性大小毡.

14.（2分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全

等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体'移'到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如

下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒力C,8。的中点O固定，只要测得C,。之间的距离，就可知道

内径的长度.此方案中，判定△力O40Z\COQ的依据是.

15.（2分）如图，在川入48。中，/8=90°,，'。平分乙/。3,力。=4,4力=1,则44。。的面积是

第2页（共32页）

A

16.（2分）如图，△力8C是等边三角形，力。是△48C的中线，点。关于直线4C的对称点为£.连接

BE,交AC于点凡交力。于点G,连接片区DE.

有下面四个结论：

①点A在线段DE的垂直平分线上；

②△力。£是等边三角形；

③△ABGqAAEF：

④点P是线段AE上的一个动点，PF+PC的最小值等于BF.

其中所有正确结论的序号是

三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题8分；27题7分；28题5分）

17.（8分）计算:

1)V12-V27+IW3卜

⑵(V5-V2)2W20X

18.（8分）解分式方程:

(I)-^+1=-^-；

x+12x+2

(2)-^―+片=_g_

x+2x2-4x-2

19.(5分)如图，AB=CD,BELAC于点、E,DF工AC于点F,AF=CE.

(1)求证：/\ABE/4CDF；

(2)求证：AB//CD.

第3页（共32页）

AB

20.（5分）在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如图所示:

等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.已知：如图,

在△48C中，AB=AC.

求证：N4=NC.

乙同学的方法:丙同学的方法:

证明：作/从的平分线交8C于点。.证明：作力E_LBC于点及证明：取8C的中点E连接XE

请选择一种方法补全证明过程.

2

21.（5分）先化简，再求值：（亘—1）+aYa+4,其中。=a+2.

a+2a+2

22.（5分）计算：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：-工，甲、乙两位同学的解

x*2-le

答过程分别如下:

甲同学：

2.1

x2-lx-l

第4页（共32页）

=2'Tl®

(x+l)(x-l)

=_______2_______-________1______0

(x+1)(x-l)(x+1)(x-1)

(x+1)(x-l)J

=-------------④

(x+1)(x-l)

乙同学：

2_1

x2-lx-l

=2

(X+1)(X-1)

=--------2---------——x+1——②

(x+1)(x-l)(x+1)(x-l)

=2-(x+1)③

=1-x@

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.

(1)我选择同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)

(2)该同学的解答从第步开始出现错误(填序号),错误的原因是

(3)请写出正确解答过程.

23.(5分)如图，△川气?是等边三角形，D是4B上一点,过点。作4c的平行线交力。于点£.

(1)依题意补全图形；

(2)判断△4OE的形状，并证明.

24.(5分)如图，0C是N/08的角平分线，点。在射线0/1上，点£在射线04上，点尸在射线。C上，

连接。R七月请你添加一个条件，使△。尸。安△(万•£

小明同学写出以下条件：①OD=OE,②4ODF=4OEF,③4OFD=4OFE,@FD=FE,⑤乙4。尸

=/BEF,⑥/7)”1=NEFC.他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△0/7)丝△0心.”

(1)小明的说法(填“正确”或“错误”)：

第5页(共32页)

（2）从小明写出的条件中选择一个（填写序号），使得补全图形，并写出

证明过程.

远大中学组织学生到距离学校20千米的农耕园体验农耕劳动.有一部分学生骑自行车前往，另一部分

学生在骑自行车的学生出发50分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生

同时到达农耕园.已知汽车速度是臼行车速度的3倍，求自行车的速度.

26.（5分）尺规作图:

己知：如图1,直线和直线外一点P.

P

M

图1

求作：直线夕。，使直线Q0〃,“N.

小智的作图思路如"

①如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中

有“内错角相等，两条直线平行”.

②如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角

相等.小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的

定理.最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.

③画出示意图:

第6页（共32页）

④根据示意图，确定作图顺序.

在直线MV上取,田~»|作射线.而__，作角平分线铝(尺规作图)

----►作出P°=内交洒于点q---U作直线PQ

(1)使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹)；

(2)完成卜面的证明：

证明：・・・48平分NPZM

:./PAB=NNAB.

•:PA=PQ,

：.ZPAB=^PQA().

，NNAB=NPQA.

：,PQ//MN().

(3)参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成.

(温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明)

•P

MN

图2

27.(7分)如图，在Rt△48C中，NB4C=90°，AB=AC,NO是△44C的高，点上是的中点，连

接CE交4。于点凡过点E作GE_LCE于点E,交D4的延长线于点G,交BC于袅H.

(1)依题意补全图形；

(2)判断NEC”和NEGE的数量关系，并证明；

28.(5分)我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”.例

如，图中的两个三角形是“关联三角形”.

第7页(共32页)

已知：在Rt△48c中，ZC=90°,ZA=300,BC=2,AB=4.

（1）下列三角形中，为△48。的“关联三角形”是（填序号）;

（2）若Rt△48C的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以

是;

（3）若△£>•是RtZk/8C的“关联三角形”，且尸的面积是S,直接写出S的最大值.

第8页（共32页）

2024・2025学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）卜.列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做釉对称图形,

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：&C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，便图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

力选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叁后可重合.

2.（2分）下列事件中，随机事件是（）

A.在数轴上取一个点，它表示的数是实数

B.画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合

C.画一个三角形，它的内角和是18（）°

D.把长度分别是6,8,9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

第9页（共32页）

【解答】解：力、在数轴上取i个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意：

4、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意；

C、画一个三角形，它的内角和是180°,是必然事件，不符合题意；

。、把长度分别是6,8,9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意;

故选：B.

【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定

条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.（2分）分式」_有意义，实数。的取值范围是（）

a-3

A.aW3B.aWOC.aV3D.“23

【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可.

【解答】解：若分式意义，

a-3

则实数。的取值范围是a-3H0,

所以4H3,

故选:A.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键.

4.（2分）若三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是（）

A.3B.6C.9D.12

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的

取值范围，即可得出结果.

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

第三边应大于6-3=3,而小于6+3=9,

故第三边的长度3Vx<9,这个三角形的第三边长可以是6.

故选：B.

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确

定取值范围即可.

5.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.VolB.c.VisD.Vw

【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母：②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像

这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可.

第10页（共32页）

【解答】解：A.被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意;

从被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意：

C'、被开方数含有能开得尽方的因数9,不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

。、是最简二次根式，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键.

6.（2分）下列计算正确的是（）

A.V2W3=V5B.3V2-V2=3C.V2xV3=V6D.Vw4-V5=2

【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：力、血与«不能合并，故4不符合题意；

B、用-近=2啦，故4不符合题意；

C、亚义迎=a，故C符合题意：

。、415。布=&，故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

7.（2分）如图，在^力^。中，边上的高线是（）

A.线段4。B.线段C.线段8GD.线段C£

【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形

的高）得出答案.

【解答】解；如图，•・・C77_L4.4延长线于£,

二△ABC中AB边上的高线是线段CE.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形角平分线、中线和高，正确把握相关定义是解题关键.

8.（2分）如图，已知RtZ\?18。中，ZC=90°,ZA=30°,在直线6C上取一点P,使得△P48是等腰

三角形，则符合条件的点。有（）

第11页（共32页）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】分三种情况，AP=AB,BA=BP,PA=PB.

当时，以8为圆形，84长为半径画圆，交直线8c于8，P2两个点，

♦：BA=BP?,ZABC=60°,

•••△44P2是等边三角形，

:.AB=BP2=AP?,

当月4=4。时，以力为圆形，力4长为半径间圆，交直线于心，

当时，作力8的垂直平分线，交直线AC于尸2，

综上所述，在直线8c上取一点P,使得△P4?是等腰三角形，则符合条件的点尸有2个，

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，根据题目的已知画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论

的数学思想.

二、填空题（共16分，每小题2分）

第12页（共32页）

9.（2分）16的算术平方根是4

【分析】运用算术平方根知识进行求解.

【解答】解：•・•42=16,

••・16的算术平方根是4,

故答案为：4.

【点评】此题考查了算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识.

10.（2分）若二次根式//在实数范围内有意义，则x的取值范围是田9.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：・・"-920,

故答案为：x29.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

11.（2分）如图，在△/18C中，24=80°,点。在8c的延长线上，ZACD=140°,则/8=60°

【分析】根据外角的性质可得N/CO=N4+N8,代入已知解答即可.

【解答】解：是△4BC的外角，

J/ACD=/A+/B,

VZJ=80°,ZJCD=140°,

・・・N4=140°-80°=60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的却.

12.（2分）已知|x-5|+77^=0，则x+v=2.

【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可.

【解答】解:,・・|x-5|-h/y+3=0»

.*.x-5=0,jH-3=0,

，x=5,y=-3,

：.x+y=5-3=2.

故答案为：2.

第13页（共32页）

【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于0,并正确得

出未知数的值是解题的关键.

13.（2分）一个不透明的口袋中装有2个红球和I个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球,

摸到红球的可•能性大小是2.

一3一

【分析】用红球的个数除以球的总个数即可.

【解答】解：从口袋中随意摸山个球共有3种等可能结果，其中摸到红球的有2种结果，

所以摸到红球的可能性大小是2,

3

故答案为：2.

3

【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法.

14.（2分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全

等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移'到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如

下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒/C,8。的中点O固定，只要测得C,。之间的距离，就可知道

内径的长度.此方案中，判定△XOB的△CO-的依据是SAS.

【分析】根据S/1S公理解答即可.

【解答】解：在△COO和△力08中,

OC=OA

ZC0D=ZA0B*

OD=OB

•••△COQg△408(SAS),

:.AB=CD,

,此方案依据判断三角形全等的S4s1公理，

故答案为：S4S.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握S4S公理是解题的关键.

15.（2分）如图，在Rt△48c中，N8=9（）°,CO平分N/C8,JC=4,BD=l,则△/CQ的面积是

2

第14页（共32页）

A

【分析】过。作O〃_L4C于〃，由角平分线的性质推出。〃=。3=1,于是得到△/1C。的面积=工4。・

2

DH=2.

【解答】解：过。作。，_L4C于“，

VZ5=90°,

:.DB1BC,

〈CO平分N4C8,

:.DH=DB=\,

:.AACD的面积=L。・。〃=LX4X1=2.

22

故答案为：2.

【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出。"=。氏

16.（2分）如图，△川气?是等边三角形，力。是△/4C的中线，点。关于直线4c的对称点为£.连接

BE,交/C于点凡交，。于点G,连接力区DE.

有下面四个结论：

①点A在线段DE的垂直平分线上；

②△力力七是等边三角形；

③△/18Gg△彳ER

④点P是线段AE上的一个动点，PF+PC的最小值等于BF.

其中所有正确结论的序号是①②⑷.

第15页（共32页）

A

【分析】根据等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质求解..

【解答】解：•••△48C是等边三角形，力。是△44。的中线，

：.D八BC,ZCAD=^ZBAC=30°,AB>AD,

2

•・•点D关于直线AC的对称点为E,

：.AE=AD,ACtDE,

：.ZDAE=2ZDAC=60°,

为等边三角形，

・•・①②都是正确的；

*：AB>AD=AE,NBAD=/EAC=30°,

:.AABG和△4EF不全等，

故③是错误的；

•・ZC垂直平分4C,

设点M在AD上且M与P对称，

,：AD垂直平分BC,

则PF+PC=MF+MC=MF+MB2FB,即M,G重合，

:.PF+PC的最小值等于BF,

故④正确，

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，找到最小值是解题的关键.

三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题8分；27题7分；28题5分）

17.（8分）计算:

⑴V12-V27+I-V3|：

⑵（V5-V2）2W20X栏.

【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、绝对值的性质计算，再合并即可；

第16页（共32页）

(2)先根据完全平方公式、二次根式的乘法法则计算，再合并即可.

【解答】解：(1)标-晒+|SI

=2百-3+73

=3V3-3：

⑵(V5-V2)2W20

=5-2>/i0+2W10

=7-2ViO4-Vio

=7-^/W.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.(8分)解分式方程:

(1)-A_+l=-^-：

x+12x+2

(2)

x+2x2-4x-2

【分析】(1)(2)按求解分式方程的一般步骤，求解即可.

【解答】解：(1)去分母，得2x+2(x+1)=5,

去括号，得2x+2x+2=5,

移项，得2x+2t=5-2,

合并同类项，得4x=3,

系数化为1,得乂=3.

4

检验：当乂=却，2x+2=2^W0.

所以原分式方程的解为x=S.

4

(2)方程两边同时乘以(x+2)(x・2),得x-2+4x=2(x+2),

去括号，得x-2+4x=2x+4,

移项并合并，得3x=6,

解得x=2.

检验：当x=2时，Cv+2)(x-2)=0.

所以原分式方程无解.

【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步獴是解决本题的关键.

第17页(共32页)

19.(5分)如图，AB=CD,BELAC于点E,DF工AC于点、F,AF=CE.

(1)求证：△ABEgACDF；

(2)求证：AB//CD.

【分析】（l）由力/二=可得力石=。凡利用，£可证明△48后9/\62

（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论.

【解答】证明：（1）;BEL4c于点E,DQAC于点F,

:・NAEB=/DFC=90°,

，：AF=CE,

:.AE=CF,

在RtA/IBE和RtACDF中，

（AB=CD,

[AE=CF'

ARtAJ5E^RtACDF（HL）；

（2）♦:△ABESACDF,

:.NA=NC,

C.AB//CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由证明三角形全等是解决问题的关键.

20.（5分）在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如图所示：

等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.已知：如图,

在△46C中，AB=AC.

求证：ZB=ZC.

第18页（共32页）

乙同学的方法:丙同学的方法:

证明：作N历的平分线交8C于点。.证明：作力E_L4C于点瓦证明：取4c的中点尸，连接4立

请选择•种方法补全证明过程.

【分析】甲同学的证明方法是：作/从1C的平分线交4C于点。，则NA4Q=NC4。，进而可依据

“S4r判定△48。和△/CO全等，然后根据全等三角形的性质可得出N8=NC；

乙同学的证明方法是：作于点E,进而可依据判定RlZ\"E和RtZX/C石全等，然后根

据全等三角形的性质可得出/8=NC；

丙同学的证明方法是：取8c的中点尺连接力凡则8/=CR进而可依据"SSS"判定和△4CF

全等,然后根据全等三角形的性质可得出/8=NC.

【解答】解：甲同学的证明方法如下：

证明：作NZMC的平分线交4。于点。，如图1所示：

ffll

第19页（共32页）

：,ZBAD=ZCAD,

在△44。和△力。中，

rAB=AC

'ZBAD=ZCAD»

AD=AD

:,/\ABDmAACD(SAS),

，N8=NC；

乙同学的证明方法如下：

证明：作力£_L8C于点E,如组2所示:

图2

：・NAEB=NAEC=90°,

在Rt△44E和RtAJCE中，

fAB=AC,

IAE=AE，

ARtA/l^^RtAJCE(/〃)，

:・NB=NC.

丙同学的证明方法如下：

证明：取8C的中点儿连接.4/，如图3所示:

图3

:・BF=CF,

在ZVIB厂和△/。尸中,

第20页(共32页)

'AB=AC

BF=CF，

AF=AF

:.AABF0AACF(SSS)

:・/B=NC.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关

键.

2

21.（5分）先化简，再求值：（乡一i）.aYa+4,其中。=&+2.

a+2a+2

【分析】先根据分式的混合运算法则计算，再代入求值即可.

2

【解答】解：（红-1）.a—4a+4

a+2a+2

_/2aa+2）二a、-4a+4

T厂a+2

_a-2.a2-4a+4

a+2'a+2

a-2a+2

2

a+2,a-4a+4

_a~2a+2

a+2.Q-2）2

=1

c

当a=%+2时，原式=丁」—二3二近.

V6+2-2V66

【点评】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键.

22.（5分）计算：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：一*工，甲、乙两位同学的解

x2-lX-1

答过程分别如下：

甲同学:

_2_.

X2-1x-l

2

(x+1)(x-1)

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

-③

(x+1)(x-1)J

-(x-+-1)1(_x_-1_1④

乙同学:

第21页（共32页）

_2--

x2-lx-l

(x+l)(x-l)X-i°

=--------2--------,——X+l____@

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

=2-(x+1)③

=1-x④

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.

(1)我选择甲同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)

(2)该同学的解答从第②步开始出现错误(填序号)，错误的原因是通分时，第二个分式，

根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘以(x+l)；

(3)请写出正确解答过程.

【分析】(1)分析甲或乙同学的解答过程均可；

(2)根据分式的基本性质分析甲同学的错误，根据同分母分式加减法运算法则分析乙同学的错误；

(3)先通分，然后再计算.

【解答】解：(1)选择甲同学或乙同学均可；

故答案为：甲(答案不唯一，也可以填乙)；

(2)甲同学从第②步开始出现错误，

其错误原因是：通分时，第二个分式，根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘以(x+l);

故答案为：②，通分时，第二个分式，根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘以(x+l)；

乙同学从第③步开始出现错误，

其错误原因是：同分母分式相减，分母不变，把分子相减：

故答案为：③，同分母分式相减，分母不变，把分子相减；

(3)原式=-；---3-----------——-

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

-2-X-1

(x+l)(x-l)

Vl-X

(x+l)(x-l)

x+l

【点评】本题考查异分母分式的加减，掌握通分和约分的技巧是解题关键.

第22页(共32页)

23.（5分）如图，△48。是等边三角形，D是48上一点,过点。作灰?的平行线交力。于点£

（1）依题意补全图形；

（2）判断△4OE的形状，并证明.

【分析】（1）根据题意直接作图即可.

（2）由等边三角形的性质以及平行线的性质可得N4=N6=NC=60°,ZADE=ZB=6^,ZAED

=ZC=60°,则N4=N4QE=N』ED,即△力力E是等边三角形.

【解答】解：（1）补全图形如图所示.

（2）△/。七为等边三角形.

证明：是等边三角形，

二/4=/5=/C=60°.

,JDE//BC,

：,/ADE=/B,ZAED=ZC,

/.ZA=ZADE=ZAED=60a,

•••△/。£为等边三角形.

【点评】本题考查作图一夏杂作图、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解

答本题的关键.

24.（5分）如图，OC是的角平分线，点。在射线。力上，点石在射线08上，点尸在射线OC上，

连接。兄EF.请你添加一个条件，使△。心且△。氏E.

小明同学写出以下条件：①OD=OE,②40DF=40EF,③4OFD=4OFE,®FD=FE,®ZADF

=/BEF,®ZDFC=ZEFC.他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△O"）丝△0匹£.”

（1）小明的说法错误（填“正确”或“错误”）；

（2）从小明写出的条件中选择一个②（填写序号），使得△（方•。乌△（〃「£,补全图形，并写出

第23页（共32页）

证明过程.

A

【分析】(1)由全等三角形的判定方法，即可判断；

(2)由44s1判定△OP'OgZXOEE.

【解答】解：(1)平分乙408,

工NAOC=/BOC,

®OD=OE,由S4s1判定氏E；

@ZODF=ZOEF,由44s判定△。尸。经△OEE：

③NO底。=ZOFE,由ASA判定△OFDgAOFE；

④FD=FE,N/OC和N4OC分别是FQ和此的对边，不能判定△3'。0△。心:

⑤由NADF=NBEF,得到ZODF=NOEF,由AAS判定△。内。义△()尸E；

⑥由NOR7=ZEFC.,得到/O尸。=40FE,由ASA判定AOFDgAOFE.

工小明的说法是错误的.

故答案为：错误；

(2)如图，选择②使得△OFO四△OFE,理由如下：

・・・oc是乙〃力的角平分线，

ND()F=/EOF,

在和△(7庄中，

rZDOF=ZEOF

­NODF=NOEF，

OF=OF

:.△OFD9XOFE(AAS).

第24页(共32页)

【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA.AAS.SSS、

HL.

25.（5分）列方程解应用题：

远大中学组织学生到距离学校20千米的农耕园体验农耕劳动.有一部分学生骑自行车前往，另一部分

学生在骑自行车的学生出发50分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生

同时到达农耕园.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度.

【分析】设自行车的速度为y千米/时，则汽车的速度为箫，千米/时，利用时间=路程+速度，结合乘汽

车的同学比骑自行车的同学少用50分钟，可列出关于I，的分式方程，解之经检验后，即可得出结论.

【解答】解：设自行车的速度为丫千米/时，则汽车的速度为3V千米/时，

根据题意得：型・型=典，

v3v60

解得：i，=16,

经检验，v=16是所列方程的解，且符合题意.

答：自行车的速度为16千米/时.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

26.（5分）尺规作图：

已知：如图1,直线"N和直线MN外一•点P.

P

求作：直线尸0,使直线00〃MV.

小智的作图思路如下：

①如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中

有“内错角相等，两条直线平行”.

②如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角

相等.小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的

定理.最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.

③画出示意图：

第25页（共32页）

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：・・・/14平分N21N,

:,NPAB=NNAB.

*：PA=PQ,

：.^PAB=ZPQA（等角XT等边）.

：・/NAB=/PQA.

:・PQ〃MN（内错角相等两直.线平行）.

（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成.

（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

•P

MN

图2

【分析】（I）根据要求作出图形即可；

（2）利用角平分线的定义以及等腰二角形的性质解决问题即可；

（3）在直线上请有DV4连接尸儿作线段"的垂直平分线交于点8,垂足为7,在直线87

上取一点。，使得07=87,作直线P0即可.

【解答】（1）解：如图，直线尸。即为所求；

第26页（共32页）

（2）证明：平分NR4N,

:"PAB=/NAB.

〈PA=PQ,

：.ZPAB=ZPQA（等角对等边）.

:,NNAB=NPQA.

・・・P0〃MN（内错角相等两直线平行）.

故答案为：等边对等角，内错角相等，两条直线平行;

【点评】本题属于三角形粽合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质角平分线的定义

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

27.（7分）如图，在Rt△48c中，/BAC=90°,AB=AC,NO是△力8c的高，点£是48的中点，连

接CE交力D于点F,过点E作GELCE于点E,交的延长线于点G,交8C于点

（1）依题意补全图形：

（2）判断NEC"和NEG/的数股关系，并证明：

【分析】（1）根据题意直接画图即可.

（2）由题意得，ZECH+ZGHD=90°,/EGF+/GHD=90°,则NEC"=ZEGF.

第27页（共32页）

(3)结合题意证明即可得出结论.

证明：:力。是△49C的高，

AZADB=W.

：・NEGF+NGHD=90°.

'；G£±C£,

:,NGEF=NCEH=90°.

:"ECH"GHD=90°.

:"ECH=/EGF.

(3)证明：连接。E,

•・・N4/1C=9O°,AB=AC,

:・NB=NACB=450.

,:AD是4ABC的高，

：,ZDAC=ZDAB=45°,

：・/B=/DAB.

：,DA=DB.

•・•点£是48的中点，

/.ZAED=9G0,NADE=NBDE=45°.

ZADE=ZEAD.

：.EA=ED.

■:NGEF=/AED=90°,

・•・/AEG=/DEC.

在△£QC与△£4G中，

第28页(共32页)

rZECD=ZEGA,

<ZDEC=ZAEG,

DE=AE,

:./\EDC/4EAG（44S）.

:・EC=EG.

【点评】本题考查作图一复杂作图、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三

角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

28.（5分）我们给出如下定义：有一条边及这条边所对•的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”.例

如I,图中的两个三角形是“关联三角形”.

已知：在。中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,AB=4.

（1）下列三角形中，RtZ\/18C的“关联三角形”是①⑶（填序号）;

（2）若RtZ\48C的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是