2024年河北省中考数学试题（解析版）

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试

数学试卷

一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1~6小题各3分，7〜16小题各2分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）

星期一X星期才星期三M星期四X星期五

C.

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键.

由五日气温为-2C-4coe1C-1C得到-2＞-4,则气温变化为先下降，然后

上升，再上升，再下降.

【详解】解：由五日气温为-纥-41；℃工,-1℃得到_2＞_4,-4＜。＜1,1＞一1

•••气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降.

故选:A.

2.下列运算正确的是（）

13433233

A.a-a=aB,3a-2a=6aQ（-2a）=-8drD.

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，枳的乘方，同底数昂的除法依次对

各选项逐一分析判断即可.解题的关键是掌握整式运算的相关法则.

【详解】解：A.a“不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B.-2^=6?,故此选项不符合题意；

C.，故此选项符合题意；

D.+/=故此选项不符合题意.

故选：C.

3.如图，HD与交于点。，AHB。和ACDO关于直线即对称，点A,B的对称点分别是点c,

。.下列不一定正确的是（）

P

AC

B\QD

ADIBCBAC1PQc^ABO^£iCDOD.ACHBD

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D.

【详解】解：由轴对称图形的性质得到LPQtBDLPQt

..AC//BD,

••・B、C、D选项不符合题意，

故选：A.

4.下列数中，能使不等式5.1-1<6成立的X的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

7

XV-

【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键.解不等式，得到5,

以此判断即可.

【详解】解：v5x-l<6,

7

x<—

・・.5.

・•・符合题意的是A

故选A.

5.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段8。一定是、45°的（）

A.角平分线B.高线C.中位线D.中线

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得从而可得答

案.

【详解】解：由作图可得：BDlACf

.•.线段3Z）一定是d4SC的高线;

故选B

6.如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）

正面

A.耳.JD.

【；】DB

【解析】

【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数,由该方向上的小正方体个数最多

的那个来确定，通过观察即可得出结论.掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键.

【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有3歹ij,每列上小正方体个数从左往右分别为3、1

故选:D.

7.节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买50（）度电，若平均每天用电x度，则能使用），天.下列说

法错误的是（）

A.若工=5,则J=100B,若丁二125,则：v・4

C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可.

【详解】解：•・,淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用），天.

.=500

500

当丁=5时，J=100,故A不符合题意;

500_

当"125时，、=五T

,故B不符合题意;

K>0,J'>0,

・••当x减小，则），增大，故C符合题意；

若x减小一半，则），增大一倍，表述正确，故D不符合题意；

故选：C.

2fl+2fl+.■+2-=?x?x...x2>

8.若小匕是正整数，且满足$行相U讣于相弟，则。与〃的关系正确的是（）

A.+3=8bB.3。=8bC.a+3=68D.3a=8+6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了同底数累的乘法，累的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得：8X¥=（‘），利用同底数塞的乘法，幕的乘方化简即可.

a

Qx^=（2中

【详解】解：由题意得：-1,

-A--1,

9.•3+a=Sb9

故选：A.

9.淇淇在计算正数。的平方时，误算成。与2的积，求得的答案比正确答案小1,则°=（）

A.1B.万一1C.6+1D.1或/+】

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得方程2々+1=〃'，利用公式法求解即可.

【详解】解：由题意得：1=

解得：1=1+75或1=1-J5（舍）

故选：C.

io.下面是嘉嘉作业本上的•道习题及解答过程：

已知：如图，d4SC中，AB=ACt公平分~4SC的外角NC4N,点入，是2c的

中点，连接区W并延长交451于点。，连接°。.

求证：四边形/近°。是平行四边形.

记明：-AB=ACf-.ZABC=Z3.

-ZCAN=ZABC+Z3,NCW=N1+N2,Z1=Z2,

二①.

A.N1=N3,AASB/1=N3,ASA

c./2=/3,AASD,Z2=Z3,ASA

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得乙四0二/3,根据

三角形外角的性质及角平分线的定义可得=证明△M4Q2ZXMC8,得到=再结

合中点的定义得出M=MC,即可得证.解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

[WJijEHIJ：-AB=ACf.-.Z^5C=Z3.

•心AN=NABC+N3,NW1+N2,Z1=Z2,

X7Z4=Z5,MA=MCf

・・.MZ）=MB..•.四边形HBCZ）是平行四边形.

故选：D.

II.直线/与正六边形尸的边加，射分别相交于点M,N.如图所示，则4+尸=（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关

键.

先求出正六边形的每个内角为120°,再根据六边形"BCDEN的内角和为720°即可求解

ZENM+ZNMB的度数,最后根据邻补角的意义即可求解.

（6-2）x180°

-----------------=120°

【详解】解：正六边形每个内角为：6,

而六边形的内角和也为（6-2）*18。°=7W

•.•ZB+NC+ZD+NE+4NM+乙NMB=720°，

♦.♦ZENM+z™=720°-4xl20°=240°，

../+ZSRM+a+=180。x2=360。，

...a+p=360°-2400=120。，

故选:B.

12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形

/妙0°位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）

D.------------.C

41------------卜

■qx

A.点AB.点8C.点CD.点D

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设'S'LAB=m,

心;凡可得O（a»+"）,8（。+加力），C（a+mtb+n）f再结合新定义与分式的值的大小比较即可

得到答案.

【详解】解；设力（°朽），AB=mtAD=nf

・・.矩形a5c0,

：.AD=BC-n,AB=CD=m,

.Z）（a,b+〃）+C（a+mb+n）

••'，9t9

bbb+nbb+〃

-----<—<----------<------

Vaaa,而a+ma^m,

・.・该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点小

故选:B.

Ayx-y

13.己知A为整式，若计算甲'十"/十个’的结果为耳’，则力=()

A.xB.yC.l+J'D.'-J'

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的

关键.

—Iv----1---x---—v=----A-----：v---+—x-—v

由题意得？+耳，耳，g+jJ,对/+??进行通分化简即可.

AWvx-•<v

【详解】解：••・？+『F+V的结果为,

y,x-y力

------+------=-------Y

•.•A-+m•・m"XF+yv,

y3(x-y)(x+y)x2xA

"।,---------=।।=------j-=------r

.”(x+y)◎(:r+y)y(i+y)炉+了aj'+j'

a=x,

故选：A.

14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为1二°°

加=_S2“,

时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为冏。时，扇面面积为若S,则加与〃关系的图象大致

是()

【答案】C

【解^5]

【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为五，根据扇形的面积公式

凡=迎_=任优总

表示出迅°=35,进一步得出-360120,再代入一S即可得出结论.掌握扇形的面积公式

是解题的关键.

【详解】解：设该扇面所在圆的半行为R,

r120位211R2

3=------=----

3603,

工必、3S,

:该折扇张开的角度为〃。时，扇面面积为s”

C〃兀炉nnnS

氏=-----=——XKRdJ3=-----x3S=

360360360120,

nS

m——―--------n

SS120120,

・••加是方的正比例函数,

・.・力20,

・•・它的图像是过原点的一条射线.

故选：C.

15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和径单的加法运

算,淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132x23,运算结果为3036.图2表示

一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是

3036

图1图2

A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“口”表示5

C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为4100。+1025

1D

【解析】

【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键.

设一个三位数与一个两位数分别为二和10所+凡则a二二?0,忙=5,d=2,九x=。，即

加=4〃，可确定力=1，J'=2时，则加=4二=5,、=白，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结

出土一口1000(4a-»-l)-l-100a+25=4100a+1025认一r必［前「、江行

果可以表不为："'，故可判断C、D选项.

【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为二和10所+方

如图：

xV

「小方格中的数据是由K32□□□

所对的两个数相乘得到

一的,如:2=1凡

42f\20DW

4+9=13

6

满卜进1

则由题意得：

w:=20,nz=5,m,=2,wx=fl

­=4

nz,即加=4〃，

...当力=2尸=1时，==2.5不是正整数，不符合题意，故舍:

当"=L】'=2时，则力=4,二=5,i=4,如图:

6

I

V

6

断

・・・A、“20”左边的数是-x4=8,故本选项不符合题意:

B、“20”右边的“口”表示4,故本选项不符合题意；

・・.a上面的数应为4°,如图：

a25

Ia25

图2

・•.运算结果可以表示为：l0°"4"+D+l°M+”=4100a+1025,

・・・D选项符合题意，

当。=2时，计算的结果大于6000,故C选项不符合题意，

故选：D.

16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某

“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为。时，向右平

移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.

例：“和点"PC'”按上述规则连续平移3次后，到达点4G'2）,其平移过程如

P（2,1）•更，1\（3,1）"幺P2（3,2）兰1（2,2）

下：余0余1余2

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达!宗、^^16（,,则点Q的坐标为（）

A.（61）或（7,1）B.”-7）或（8,0）A（6.0）或（8,0）D.（刈或

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键.

先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为（）时，先向右平移1个单位，之后按照向上、

向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照0仍的反向运动理解去分类讨论：①&先向右1个单位，

不符合题意；②&先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移

了7次，此时坐标为（6,），那么最后一次若向右平移则为（Z1）,若向左平移则为（51）.

【详解】解：由点AO可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位得到

月U）,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位得到与"3）,此时横、

纵坐标之和除以3所得的余数为1,又要向上平移1个单位....，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标

之和除以3所得的余数为。时，先向右平移I个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律

平移,

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点016.19）,则按照“和点”&反向运动16次求点

。坐标理解.，可以分为两种情况：

①先向右1个单位得到015（°9）,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,应该是0向右平移1

个单位得到&,故矛盾，不成立；

②Q16先向下1个单位得到215（-1，8）,此时横.纵坐标之和除以3所得的余数为I,则应该向上平移1

个单位得到Ck,故符合题意，那么点&先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移

了8次，向右平移了7次，此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),那么最后一次若向右平移则为。，1),

若向左平移则为(5，L),

故选：D.

二、填空题(本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18〜19小题各4分，每空2分)

17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89,

73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为.

【答案】89

【解析】

【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数.

根据众数的定义求解即可判断.

【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89,73,90,86,75,86,89,95,89,

,•,89出现的次数最多,

..以上数据的众数为89.

故答案为：89.

18.已知小江〃均为正整数.

(1)若力＜如＜〃+1,则〃=；

(2)若力-1＜而＜4〃＜扬'＜"+1,则满足条件的〃的个数总比。的个数少个.

【答案】①.3②.2

【解^5]

【分析】本撅考杳的是无理数的估算以及规律探究问颍，掌握探究的方法是解本撅的关键：

(1)由3＜如＜4即可得到答案；

(2)由n-1,〃，〃+1为连续的三个自然数，而＜扬*＜力+1,可得

J.-1)＜而＜",,再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即

可得到答案.

【详解】解：＜1)・・・3＜如＜4,而“＜+

r

・•・"=)；

故答案为：。;

(2)・・・小江〃均为正整数.

r.n-1,〃，力+1为连续的三个自然数，而〃一1＜而＜〃/＜而＜〃+1,

.“刀-1「＜4a＜＞/n^4^?＜Jb＜+1:

观察口，1,2,3,4,5,6,7,8,9,・・・・・・,

而0'=0,12=1,22=4,3、9,4:16,

・•・伊一1）与〃'之间的整数有（%一?）个，

/与（〃+1）之间的整数有2%个，

.•・满足条件的。的个数总比〃的个数少+（个），

故答案为：

19.如图，d4SC的面积为2,M为BC边上的中线，点A,C,%C是线段℃4的五等分点，点

A,A,0：!是线段的四等分点，点A是线段3%的中点.

（1）乙4。】。1的面积为

（2）△4—劣的面积为.

【答案】①.1②.7

【解析】

S/an=S&MD=大${=1

【分析】（1）根据三角形中线的性质得一-，证明

△'G4ga'°z）（SAS）,根据合等三角形的性质可得结论;

（2）证明△期4g△MRSAS）,得S/卬=S&®=1,准出4、D1、用三点共线，得

S“q=S,ABD+S“H=2,继而得出S.、QC=4&典q=8,凡.期口=38岬）=3,证明

4、

%"得般皿=9£?皿=9,推广*q-弓最后代入

&CR=S&AC4+S/他.5匕4c即可.

【详解】解：⑴连接即、BR、5A、BG、C3D3,

的面积为2,加为边上的中线,

£.皿=S,ACD=7S.w=-x2=1

・.•点A,C,g,C是线段℃4的五等分点,

.AC=AC.=C^J=CC=CC=-CC

••2233454

•••点A,%4是线段的四等分点，

AD=ADX=DR1=D]D、=^-DD3

・•.4,

•・•点A是线段BB]的中点，

AB=ABl=?%

••1,

在△AGA和A4CD中，

ACX=AC

<Ng徵=ACAD

g=AD

,^AC1D1^ACD(SAS)f

...SQ,M。=S/CD=1,NqRH=Z.CDA,

•••△，01。】的面积为1,

故答案为：1;

(2)在△阴和一>1即中,

ZB]=AB

,NB]ADi=ABAD

ADX=AD

・△阴

••4%MD(SAS9)

...=1,ZB[D[A=Z.BDA

・.・ZBZM+N皿=180。，

o

.Z51D1Z+ZqZ)/=180

・•・1、4、Bi三点共线,

.・.£SG=+Sggq=1+1=2,

..xc1=c1c3=c3c3=c3c4>

.・.S△期q=4s△偌q=4x2=8

..AD1=RD1=D)D§S—4BD=1

.・.SJ.心口-3s△阴D=3x1=3,

在△'03。3和“CD中，

AC3.AD.

：^C3AD3^CAD

S-CM

=f=9

0.CAD

...“c皿=9Sc=9x1=9

..MCI=C£=CC=G(?4,

44

SJUD=T^/OM>=-X9=12

...S/遇CR=S.R+Sq&/.”=12+3・8=7,

...△第：。3的面积为7,

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面枳.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2（）.如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为一4,2,32,乙数轴上的三点

D.E,产所对应的数依次为0,112.

DEF

乙0X12

AB

（1）计算A,B,。三点所对应的数的和，并求4c的值；

（2）当点A与点7）上下对齐时，点B,。恰好分别与点氏下二下对齐，求k的值.

1

【答案】(1)30,6

(2)K・2

【解析】

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，•元•次方程的应用，理解题意是解本题的关键;

(I)直接列式求解三个数的和即可，再分别计算从而可得答案；

(2)由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即司;

【小问।详解】

解：•・•甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为一4,2,32,

•.•-4+21+321=30，/=2-(-4)=2+4=6，AC=32-(-4)=324-4=36，

AB_6

；.AC~36~6.

【小问2详解】

解：•・•点A与点。上下对齐时，点从C恰好分别与点£,尸上下对齐，

DE_DF

=

:.ABACt

x12

:.636,

解得：、=2；

21.甲、乙、丙三张卡片正面分别写有4+6,2a+6,4-瓦除正面的代数式不同外，其余均相同.

a+b2a+ba-b

1第二

2^+252a

2a+6

a-b2a

(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当"二L"=一？时，求取出的卡片上代数式的值

为负数的概率；

(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中

补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率.

1_

【答案】（1）3

4

（2）填表见解析，9

【解析】

【分析】（1）先分别求解三个代数式当4=1乃=-2时的值，再利用概率公式计算即可；

（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.

【小问1详解】

解:当。=3=-2时,

2a+b=0,j=l十2）=3,

・••取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：3；

【小问2详解】

解：补全表格如下：

a+b2a+ba-b

a+b2a+2b3a+2b2a

2a+64a+2h3a

a-b2U73/72a-2b

・••所有等可能的结果数有9种，和为单项式的结果数有4种，

4

・•・和为单项式的概率为

【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事

件的概率，掌握基础知识是解本题的关键.

22.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星

星，此时淇淇距窗户的水平距离=4m,仰角为“；淇淇向前走了3m后到达点。，透过点p恰好看

到月亮，仰角为尸，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面EQ的距离HE=1.6m,点P

到BQ的距离尸。=>6m,2。的延长线交也于点£（注：图中所有点均在同一平面）

（1）求尸的大小及tana的值；

（2）求0尸的长及sin/APC的值.

1_

【答案】（1）45°,4

3用

⑵Wm,34

【解析】

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关

键：

（1）根据题意先求解CE二产8二1m,再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

（2）利用勾股定理先求解b=/m,如图，过C作CH_L/1F于目，结合

/3CH1

tailex=tan==—

AH4,设CH=xm,则47=4xm,再建立方程求解、即可得到答案.

【小问1详解】

解；由题意可得：PQ工AE，PQ=-6m,M=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4（m）,AC=BD=3（^）f

・・.0E=4-3=l(m),PE=26-16=l(m),ZCEP=90。,

•-•CE=PE，

PE\

tan

Q/MLa=tanZPAff=——=-

:J=^PCE=45°fAE4；

【小问2详解】

解：・.・CE=M=lm,NCE尸=90。,

CP=Jr+F=

如图，过c作CH~L/P于丹,

/…CH1

taila=tan£PAE=---=———rT

；•AH4,设CH=xm,则⑷/=4.vm,

.N+(4h)2=402=9

一3国

解得：.一17.

改噜m,

3折

/』P「_CH_3用

sinZ-AP^----——尸~-----

CP拒34

23.情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心。为顶点的等腰直角三角形后得到的.

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作嘉嘉将图I所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.

如图3,嘉嘉沿虚线总尸，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉

嘉的剪拼过程，解答问题：

BBC

图3图4

（1）直接写出线段3月的长；

（2）直接写出图3中所有与线段比相等的线段，并计算成的长.

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.

请会按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的8。边二找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画

出裁剪线（线段尸Q）的位置，并直接写出8尸的长.

图5

【答案】（1）E尸=1；⑵BE=GE=AH=GH,BE=]-拒；8P的长为W或2-0.

【解析】

【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合

运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度.

（1）如图，过G'作GK1用'于左,结合题意可得：四边形斤°GK为矩形，可得F°=KG',由拼

接可得：HF=FC=KG',可得AAHG,AH'G'D,乙4所为等腰直角三角形，为等腰直角

三角形，设HK=KG=x,则HG=HD=6,再进一步解答即可；

（2）由△⑷国为等腰直角二角形，EF=AF=]；求解=2-产，再分别求解GE,4H,GH；可

得答案，如图，以B为圆心，8。为半径画弧交8C于尸'，交于0’,则直线DQ'为分割线，或以

C圆心，CO为半径画弧，交8C于P，交CD于2,则直线尸。为分割线，再进一步求解AP的长即

可.

【详解】解：如图，过（T作G'K上FH'于K,

结合题意可得：四边形尸°GK为矩形，

•・•F0=KG1，

由正方形的性质可得：乙4=45°,

.“AHG,AHGD,A41国为等腰直角三角形，

・•・©阳为等腰直角三角形，

设HK=KG=x,

：HG=HD=&

...AH=HG=&,HF=FO=x,

•••正方形的边长为2.

，对角线的长‘2'+P=

:.OA=W,

.・.x+x+Sx=75,

解得：i二g一L

.EF=/F=（7：+l）x=（j2+1）（72-11=1

（2）•.•△⑷用为等腰直角三角形，EF-AF-X-,

:.AE=gEF=a,

・・・BE-—也

..GE=m7=岱=0(61)=2-75

AH=GH地X-也,

•.•BE=GE=AH=GH;

如图，以B为圆心，5°为半径画弧交8C于P',交43于2'，则直线PQ'为分割线,

此时即=0,尸。=斥=；符合要求，

或以c圆心，co为半径画弧，交BC千p,交C。于2,则直线也为分割线,

此时c尸=CQ=J5,尸2=斤=2,

综上：3尸的长为乃'或？一0.

24.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩

x（分）换算为报告成绩），（分）.已知原始成绩满分150分，报告成绩满分10（）分、换算规则如下：

当00<p时，.p；

20（x-p）OA

/v------------F80

当p4l&150时，.150-p

（其中〃是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）

公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为〃及〃以上）为合格.

（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若P=l0°,求甲、乙的报告成绩；

（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩二匕丁的原始成绩高40分，请推算〃的值:

（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：

原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150

人数12不5810716201595

①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；

②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.

【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76,92分

（2）125（3）①130；②95%

【解析】

80x95”

„_innv=-------=76

【分析】（1）当P=时，甲的报告成绩为：”100分，乙的报告成绩为:

150—100分;

（2）设丙的原始成绩为'分，则丁的原始成绩为（8-40）分，①04近<p时和②”』-40&150时

v="I"一0十30....（5）

均不符合题意，③°"』一40<，夕，』§50时，“闪150-p一，

（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50,51名员工成绩的平均数，由表格得第

80x130

50,51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当P>1次时，贝p,解得

104090=日22

P<1-80

~9’,故不成立，舍；当P413°时，则150-p,解得P=11°,符合题

意,而由表格得到原始成绩为Iio及110以上的人数为100-5:95,故合格率为:

—xl00%=95%

100

【小问I详解】

80x95”

---------=76

解；当p=10°时，甲的报告成绩为:100分,

V=20X(130-100)+80=92

乙的报告成绩为："150-100分;

【小问2详解】

解：设丙的原始成绩为七分，则丁的原始成绩为（2-40）分,

”80x,80(x-40)

Jym=92=--........①V=64=--------②---------

①"时，内P，一P

蟠=28

由①一②得P

800

昨〒,

92x理

T-_____2__

_

l807,故不成立，舍;

1，=9，二+90........(3)

②pg』-404150时「一150-p'

20(x1-40-p)

Vj=64=4-80……④

150-p

由③一⑷得:

850

p=----

¥7

850、

20

92=—1-80

850

150-

7

970

Al=—,

E690850

x-40=—<p=—

7,故不成立，舍;

r

③0011・40<，90$0150时,—150-p

y产64=叫演-4。）⑥

p,

联立⑤⑥解得：

上

P=125.140且符合题意,

综上所述户=13；

【小问3详解】

解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，

中位数是第50,51名员工成绩的平均数，

由表格得第50,51名员工成绩都是130分，

.•.中位数为13()：

90^80x1301040…

"一口=—<1^0

②当p>l川时，则p,解得9,故不成立，舍;

「9屋"*80

当PWIDO时，则150-，,解得P=ll°,符合题意,

•••由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为1°°一(1+2+2)=*,

—xl00%=95%

.•.合格率为：100

【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，

正确理解题意是解决本题的关键.

.已知°。的半径为中，在平面上，先

253,弦MN=2下,~4SCZABC=90°tAB=3.5C=372.

将〜4BC和0°按图1位置摆放(点B与点N重合，点A在。。上，点。在°。内)，随后移动

使点〃在弦上移动，点A始终在°。上随之移动，设BN=x.

(1)当点8与点N重合时，求劣弧加的长:

(2)当Q4//M"时，如图2,求点B到04的距离，并求此时x的值；

(3)设点。到的距离为止

①当点A在劣弧上，且过点A的切线与ac垂直时，求d的值；

②直接写出d的最小值.

【答案】(1)兀

(2)点3到0/的距离为2；3

一9

(3)①d=3-y/3.②3

【解析】

【分析】(1)如图，连接。4,0B,先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长

公式可得答案；

(2)过B作B1~LQ4于/,过。作oy_LMV干H,连接“°,证明四边形是矩形，可得

BH=OIfBI=OHf再结合勾股定理可得答案；

(3)①如图，由过点A的切线与垂直，可得ZC过圆心，过。作°J~LBC于J,过。作

0K工AB于K,而乙可得四边形KQ/B为矩形，可得=再进一步利用勾股定

理与锐角三角函数可得答案；②如图，当B为胸中点时，过。作。。夕。'于上，过。作

于J,OL>OJt出:时0J最短，如图，过A作于2,而48=40=3,证明

BQ=0Q=l,求解闱=方式=力5,再结合等角的三角函数可得答案.

【小问।详解】

解：如图，连接04,0B,

-0A=0B=AB=3,

・♦・"5为等边三角形,

•・•/A0B=60°，

60nx3

,丽的长为18。一

【小问2详解】

解：过B作月于/,过。作0/1例于H,连接“0,

•••0A〃MN，

•.•乙IBH=2BH0=AH0I=ABI0=90°，

・•・四边形B/°H是矩形，

vAW=2x/5,CHLMV,

工MH=NH=®而皈=3,

...OH=ylOM2-MH2=2=BI,

.♦•点8到C4的距离为2；

・.・加・3,BI10At

:,0I=0A-AI=3-45=