2023-2024学年北京石景山高一年级上册期末数学试卷（含答案）

石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷

数学

本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

「匚华人A=(xlx>0)B=fx|-l<x<2).Jn,

1.已知集合11J,11J,则川1»一()

A.{x|x<2}B.|x|0<x<2}C.{x[l<x<2}D.|x|-l<x<2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的定义，即可判断选项.

【详解】集合/=卜卜>0},B={x\-\<x<2}t由交集的定义可知，

/cB={x[02}.

故选：B

2.已知命题p：“1¥£凡/一1+1<0，，,贝|J「，为()

A.BXER,x2-x+\>0B.3xR,x2-x+\>0

C.VXG7?,x2-x+1>0D.VxeR,x2-x+1<0

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的否定的定义判断.

【详解】特称命题的否定是全称命题.

命题p：“HxcR,/-工+1<0”，的否定为：V.re/?,x2-x+1>0.

故选：C.

3,下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=(―)'B.y=(x-l)~C.y=r+1D.y=x3

2

【答案】D

高中

【解析】

【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.

【详解】函数》=（3）、在R上单调递减，A不是；

函数y=（X—l『在（-8,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，则在（0,+8）上不单调，B不是；

函数），=一工+1的R上单调递减，C不是；

函数y=d在R上单调递增，在（0,+8）上单调递增，D是.

故选：D

4.已知关于x的不等式r+G+bcO的解集是（一2,1）则4十力=（）

A.0B.-1C.1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解.

【详解】由题意一2和1是方程/+⑪+/,=0的两根，所以―2+1=-〃，a=l,—2xl=b=—2,

*.a+b=-\.

故选：B.

〈1”是“工＜1”的（）

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

«

件

【答案】A

【解析】

【分析】首先求解2、＜1的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.

【详解】由2'＜1，得x＜0，

因为｛小＜。｝口｛小＜1｝,

所以"2、＜1”是“X＜1”的充分不必要条件.

故选：A

6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为4（）

的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人

A.220B.225C.580D.585

高中

【答案】C

【解析】

【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.

【详解】依题意，设高三男生人数为〃人，则高三女生人数为(800-〃)人，

由分层抽样可得空了=?，解得〃=580.

80040

故选：C.

7.若。</?<0则()

A.a2Vb2B.ab<b2C.2“〉2“D.y+->2

ha

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.

【详解】A.因为则忖>网，则/>〃，故A错误：

B.因为。<6<0,所以故B错误；

C.y=2x在R上单调递增，当。〈人<0时，2“<2"，故C错误：

D.因为。所以一和7都大于0,则,+』N2Jg2=2,

abba\ba

当2=f时，即。=〃<0时等号成立，所以“=''不能取到，所以色+2>2,故D正确

abha

故选：D

/.[2-logx,x>1((1

8.已知函数/(x)=14,2,则/1()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.

【详解】函数={,则//-=/4-=/(2)=2-log22=l.

4,x<1I<2〃I,

故选：C

9.已知函数〃X)=bg2XT+l,则不等式/(x)<0的解集是()

A.(0,1)B.(T,1)U(2,+CO)C.(1,2)D,(0,1)U(2,-HX)

高中

【答案】D

【解析】

【分析】由/(x)<()可得10g2X<X-l,即P=X-1的图象在，=log2X图象的上方，画出

y=log2X,y=x-l图象，即可得出答案.

【详解】因为/(X)=log2x-x+l的定义域为(0,+8),

因为/(l)=k)g21-1+1=0,/(2)=log22-2+l=0,

由/'(x)<0可得log2x<x-l，即y=x—1的图象在y=bg2》图象的上方，

由国可知：不等式/(力<0的解集是(0,l)u(2,+b).

故选：D.

10.已知非空集合A,B满足以下两个条件：

(I)4U4={1,2,3,4,5,6},AnB=0；

(2)A的元素个数不是A中的元素，8的元素个数不是〃中的元素.

则有序集合对(44)的个数为()

A.12B.10C.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】首先讨论集合48中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.

【详解】若集合A中只有1个元素，则集合8只有5个元素，1£彳，5任8,

即5E4,此时有C”1个；

若集合A中只有2个元素，则集合8只有4个元素，2任4,4任8,

即4c4,2wB,此时有C；=4个：

若集合A中只有3个元素，则集合8只有3个元素，3任4,3更B,不满足题意；

高中

若集合A中只有4个元素，则集合3只有2个元素，［史B,

即2w/，4wB,此时有C：=4个；

若集合A中只有5个元素，则集合8只有1个元素，5史4,1任8,

即Id5wB,此时有C：=l个；

故有序集合对（45）的个数是1+4+4+1=10.

故选：B

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.函数歹=lg（x-2）+：的定义域为.

【答案】（2,+8）

【解析】

【分析】利用函数有意义列式求解即得.

【详解】函数y=lg（x-2）+L有意义，则工一2>0且工工0,解得x>2,

入

所以函数^二吆（》一2）+1的定义域为（2,+8）.

X

故答案为：（2,+8）

12.已知y=x'+2x+4（x〉0）,则当时，）,取得最小值为

【答案】①.2②.6

【解析】

【分析】由基本不等式求解即可.

【详解】因为x>0,->0,所以丁二元十NX十一二.丫+2+之巳2］£2+2

XXX\X

4

=4+2=6,当且仅当工二一，即x=2时取等，

x

所以当工=2时,，P取得最小值为6.

故答案为：2；6.

13.不等式上；W1的解集为

x-2----------

【答案】［-2,2）

高中

【解析】

【分析】将分式不等式转化成整式;不等式求解即可得出答案.

9Y2x

【详解】根据不等式一W1整理可得------1<0,

x-2x-2

x+2(x+2)(x-2)<0

即<0,等价于

7^2x—2w0

解得—2Wx<2；

2V

所以不等式一的解集为12,2)

x-2

故答案为：［-2,2)

14.写出一个值域为［1,+8)的偶函数/(x)=.

【答案】2W(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解了(x)的解析式.

【详解】设/(x)=2叫

函数的定义域为R,且/'(-x)=f(x)，即函数为偶函数，

|x|>0,所以/(力=2)之1,即函数的值域为［1,+8),

所以满足条件的一个函数/(、)=2忖.

故答案为：2国

,,”\［-x2+ax-i-l,x<1

15.已知函数，

ax,x>1

(1)若4=0,则/(X)的最大值是；

(2)若./")存在最大值，则。的取值范围为.

【答案】①.1②.(f,。］

【解析】

【分析】(1)若4=0,则/(工)二1八/-，由二次函数的性质可得出答案;

0,x>1

高中

（2）当4=0时，由（1）知，/（X）存在最大值，当QW0时，若/（X）存在最大值，/（x）=QX在

。,+8）应单调递减，所以〃<0,即可得出答案.

,/\~x~+l,x«1

【详解】（1）若4=0,则/（X）"，

0,x>1

当时，/（x）=-x2+i,所以

则/（x）的最大值是1.

（2）当。=0时，由（1）知,/（%）存在最大值,

当4/0时，若/（x）存在最大值，/（X）=M在（1,+8）应单调递减，

所以"0,且当X〉1时，/（X）=4X<Q<O,无最大值，

/\22

当尢41时，f（X）=-A2+UX+1=-X---H------h1，

k2J4

则/（x）在卜。身上单调递增，在仁』上单调递减，

故。的取值范围为：（-oo,0].

故答案为：1；（-8,。].

三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知集合4={x/-3工一4>01,集合4={HQ-XW0}

（I）当。=2时，求4u8；

（2）若。cQ/#0,求实数。的取值范围.

【答案】（1）4u8="k<—1或x22}；

（2）a<4

【解析】

【分析】（1）分别求集合44,再求

（2）根据（1）的结果，首先求，力,再根据集合的运算结果，求实数a的取值范围.

高中

【小问1详解】

当。=2时，^={x|x>2},

X2-3X-4>0»得X>4或X<-1,即4="卜<-1或X>4},

所以478=“,<一1或xN2}；

【小问2详解】

由（1）可知，={x|-l<x<4},B={x\x>a},

若8c44工0,则〃04.

17.已知中投篮命中的概率为06乙投篮不中的概率为（）.3,乙、丙两人都投篮命中的概率为（）.35,假设

甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.

（I）求丙投篮命中的概率：

（2）甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中.丙不中的概率：

（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.

【答案】（1）0.5

（2）0.21

（3）0.29

【解析】

【分析】（1）百先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件C,根据独立事件概率公式，即可求解；

（2）根据（1）的结果，根据公式尸（力8C）=P（4）P（8）P（C）,即可求解；

（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.

【小问1详解】

设甲投篮命中为事件A,乙投篮命中为事件〃，丙投篮命中为事件C,

由题意可知，P（4）=0.6,尸（月）=0.3,P（RC）=P（B）P©=035,

则P（8）=l-0伍）=0.7,P（C）=—=0.5,

所以丙投篮命中的概率为0.5；

【小问2详解】

甲和乙命中，丙不中为事件。，

则P（Q）=尸（力30=尸（力）尸伊）尸（C）=0.6x0.7x0.5=0.21,

所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；

高中

【小问3详解】

甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E,

则尸（£）=P[ABC+ABC+ABC）,

=P（4）尸⑻P传）+P⑷尸⑻P©+P⑷P（耳）P（C）

=0.6x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.4x0.3x0.5

=0.29

7

18.已知函数/（x）=士生的图像过点0,1）.

2x"I"2

（I）求实数〃？的值；

（2）判断/（x）在区间（-%-1）上的单调性，并用定义证明；

【答案】（1）加=-1

（2）/（X）在区间（-8,-1）上单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）将。,1）代入解析式，得到用的值；

（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.

【小问1详解】

3x-rn3—m

将点（M）代入函数/"）=中,可得1==7,解得小=-1.

2x+22+2

【小问2详解】

单调递增，证明如下.

“、3x+l3(x+l)-231

由可得/(x)=E=K=2

1rx+I

2____

任我X|《工2W(一8,-1),则/(%)-/(七)二

J演+”〔2x2+\>

11X.-x2..

---(x]+^x2uy因为芭<“(—)，

则不一工2<0，%+1<0,x2+1<0,即(内+1)(%+1)>°，

所以（再恭；+1）肛即

高中

所以/(x)在区间上单调递增.

19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下:

甲队88919396

乙队89949792

(I)在4次比赛中，求甲队的平均得分；

(2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概

覆

(3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为S：,S3试判断S；与£的大小(结论不要求证明)

【答案】(1)92

5

(2)——

16

⑶=

【解析】

【分析】(1)根据平均数公式，即可求解；

(2)利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解;

(3)结合方差的定义和公式，即可判断.

【小问1详解】

设甲队的平均分为

山―88+91+93+96”

=92

则&=-------4------

所以甲队的平均分为92；

【小问2详解】

分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有

(88,89),(88,94),(88,97),(88,92),(91,89),(91,94),(91,97),(91,92),

(93,89),(93,94),(93,97),(93,92),(96,89),(96,94),(96,97),(96,92),共包含16个基本事件，

这2个比赛得分之差的绝对值为1包含(88,89),(91,92),(93,94),(93,92),(96,97),共5个基本事件,

所以这2个比赛得分之差的绝对值为I的概率夕=盘；

16

【小问3详解】

高中

—89+94+97+92

乙队的平均分为x2=-----『--=93,

则s?=网-92『+(91-92『十⑼-92『+(96-92『=

1~4

(89-93)2+(94-93『+(97-93)2+(92-93『

=8.