2023-2024学年广州市各区高一数学上册期末试题汇编《解答题》含答案

2023-2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：解答题

（原卷版）

一、集合与常用逻辑用语

1.（2024年广东省广州市天河区）己知集合4=卜,2-71+10<0},4=卜|。-2<]<4+2},全集

U=R.

（1）求名/；

（2）若4=求实数。的取值范围.

2.（2024年广东省广州市九区）设全集为R,集合力={闻一一5尤一6>0},B={x\a+\<x<2a-]}

（1）若。=4,求AuB,

（2）若（Q4）。8=0,求实数。的取值范围.

二、一元二次函数、方程和不等式

1.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数/（X）=5—X—9（X>0）.

X

（1）求函数/（X）的最大值；

（2）求不等式步（[）<0的解集.

2.（2024年广东省广州市番禺区）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方

体况淀箱.设箱体的长度为4米，高度为6米.现有制箱材料60平方米.问当〃，人各为多少米时，该沉淀箱

的体积最大，并求体积的最大值.

高中

3.（2024年广东省广州市天河区）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设

备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产X（单位：百台）另需投入成本C（X）（万元），当年产

量不足50（百台）时，C（x）=10?+200x（万元；当年产量不小于5（）（百台）时，

00

C（x）=602x4-^O^-4500（万元），据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫

2x—50

情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.

（1）求年利润£（%）（万元）关于年产量x（百台）的函数解析式：（利润=销售额一投入成本一固定成本）

（2）当年产量为多少时，年利润£（工）最大？并求出最大年利润.

4.（2024年广东省广州市九区）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促俏

活动，已知该款食品年销量x吨与年促销费用，万元之间满足函数关系式X=2--工（攵为常数），如果

不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需

再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”

与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.

（1）求〃值；

（2）将下一年的利润V（万元）表示为促销费/（万元）的函数；

（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

5.（2024年广东省广州市越秀区）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万

人，第2年参观人数为14万人.某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会

逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人.该兴趣小组想找一个函数J=/（x）来拟合该文化馆

对外开放后第x（xNl）年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系.

（1）若选函数/（x）="I〃（，〃工0）,试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；

x

高中

（2）若选函数/（x）=c/6+ce〉0,bwl）,要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定b的取值范

围.

三、函数的概念与性质

1.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数/（X）是定义在R二的奇函数，当xWO时，/（X）=X（X+2）.

（1）画出函数/（x）的图象，并写出/（x）的单调区间;

（2）求出/（X）的解析式.

2.（2024年广东省广州市天河区）已知函数/=

广+]

（1）判断了（X）的奇偶性，并根据定义证明；

（2）判断函数y=/（x）在区间口,+8）上单调性，并根据定义证明.

3.（2024年广东省广州市九区）已知函数/。）=1+黄、为奇函数.

（1）求。的值；

（2）判断函数"X）在（0,+8）内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

高中

4.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数=———•

\+x2

（1）判断函数./V）的奇偶性，并说明理由；

（2）讨论函数/（X）在（1,+8）上的单调性，并加以证明.

四、指数函数与对数函数

1.（2024年广东省广州市番禺区）（1）根据定义证明函数/（x）=log,6在区间（L+8）上是单调递减;

（2）比较下列三个值的大小：logo/,logo.36,唳46.

五、函数类压轴题

1.（2024年广东省广州市九区）已知函数/（x）=2sin（s+8）（3>0,|°|<-|-）图象的对称轴与对称中心

之间的最小距离为四，且满足""-x）.

121

（1）求/⑴的解析式；

7T7T

（2）己知函数/心）=戊2+21+3,若有且只有一个实数。，对于7x£[五,申，业£[0,2],使得

力（%）=2。-/（*）,求实数/的值.

x,-l<J<0

2.（2024年广东省广州市天河区）定义在R上的奇函数，当x<0时，/（"=<…”其中

。>0,。工1,且/（l）=e,其中&是自然对数的底，e=2.71828….

（1）求。的值;

（2）当工20时，求函数/（x）的解析式；

（3）若存在匕>须20,满足/（々）=”'（玉），求不・/（%2）的取值范围•

高中

3.(2024年广东省「州巾越秀区)己知函数八x)的定义域为R,VQ/ER,

〃a+b)+〃j)=3/(a)/0),且/⑴=；,/(%)在区间［0,3］上单调递减.

(1)求证：/(x)+/(0)>0；

(2)求/⑴+f(2)+L+/(2023)的值;

(3)当xwR时,求不等式3/(2%)+449/(x)的解集.

v

4.(2024年广东省广州市番禺区)已知函数/(x)=/-〃a+4(mwR),g(x)=log2(2+l).

(1)若对任意x4l,2],不等式g(O)〉/(x)恒成立，求〃?的取值范围；

⑵若对任意玉41,2],存在了2e[log231og27],使得〃K])=g(X2),求"?的取值范围.

高中

2023-2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：前四个解答题

（解析版）

六、集合与常用逻辑用语

1.（2024年广东省广州市天河区）已知集合4={目/-71+10<0},4={$4-2<%<4+2},全集

U=R.

（1）求立/；

（2）若4=B,求实数。的取值范围.

【答案】（1）Q,/=（-8,2]D[5,+8）

（2）[3,4]

【解析】

【分析】（1）先求出集合,再由补集的定义求解即可：

（2）根据子集的关系建立不等式求解即可.

【小问1详解】

由题意，解得：/二（2,5）,则亳/=（-8,2]35,+8）.

【小问2详解】

由题意，可知4=（〃-2,〃+2）

a+2>5[a>3

因为所以〈c解得：{，，即3Wa«4,

a-2<2[67<4

实数。的取值范围[3,4].

2.（2024年广东省广州市九区）设全集为R,集合力={目/一5%一6>（）},B={x[a+l<xv2〃-1}

（1）若。=4,求AuB,4c43；

（2）若（\4）n8=0,求实数。的取值范围.

【答案】（1）=卜卜（一1曲）5}；4c*4={小<一1系N7}

（2）（-oo,2]u[5,+oc）

【解析】

【分析】（1）求出集合A,8,再利用交并补运算求解即可:

高中

（2）讨论〃=0和4K0两种情况，再利用交并补运算求解即可.

【小问1详解】

A=|x|x2-5x-6>O}=卜|<（一1或不）6},

当。=4时，3={x[5<x<7},/8=卜,《5垢27},

/.=卜卜{-1或r）5},4c*8={x[x<-l或7}；

【小问2详解】

%4={止1<x<6},

当B=0时，a+l>2a-l,即“W2,符合（备力）08=0；

a+1<2a-I,。+1<2。-1,

当3H0时，＜,，或V

。+126,2«-1<-1,

解得〃之5.

综上aW2或a＞5.

「•实数。的取值范围为（-吗2]u[5,+oo）.

七、一元二次函数、方程和不等式

1.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数/*）=5-]一色。＞0）.

x

（1）求函数/V）的最大值：

（2）求不等式切（外〈0的解集.

【答案】⑴5-276

（2）卜|0＜工＜2或x〉3}

【解析】

【分析】（1）借助基本不等式即可得;

（2）解一元二次不等式即可得.

【小问1详解】

当且仅当x=6,即尤=后时，等号成立,

x

高中

故函数/（X）的最大值为5-2后；

【小问2详解】

即（x-2）（x-3）>0,解得x<2或x>3,又x>0,故0cx<2或x〉3,

即不等式V（-v）<0的解集为k|0vx<2或x>3}.

2.（2024年广东省广州市番禺区）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方

体沉淀箱.设箱体的长度为。米，高度为8米.现有制箱材料60平方米.问当。，人各为多少米时，该沉淀箱

【答案】。=6米，b=3米；36立方米

【解析】

【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.

【详解】由题意，2ab+4/?+2a=60,即。8+28+。=30,a>0^>0,

所以30—。b=Q+2bN2^^，即30—。622>/^，

解得0<（力<18,当且仅当。=2〃，即。=6/=3时等号成立，

因为P=2M,所以曦x=2x18=36.

即当。，力各为6米，3米时，该沉淀箱的体枳最大，最大为36立方米.

3.（2024年广东省广州市天河区）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本230（）（万元）引进先进设

备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产x（单位：m台）另需投入成本c（x）（万元），当年产

量不足50（百台）时，C（X）=10X2+200X（万元；当年产量不小于50（百台）时，

C（x）=602x+将为-4500（万元），据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫

情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.

高中

（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（百台）的函数解析式：（利润=销售额一投入成本一固定成本）

（2）当年产量为多少时，年利润“X）最大？并求出最大年利河.

-1Ox2+400x-2300,0cxe50

【答案】（1）£（x）=<5000

'-2X-^^-4-2200,X>50

x-25

（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为195（）万元.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分0<x<50与XN5O两种情况，求出年利润£（%）（万元）关于年产量x（百台）

的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出0<x<50与x250时的年利润最大值，通过比较，最

终求得结果.

【小问1详解】

当0VKV50时，A（x）=600x-（10x2I200x）2300=-10x2I400x2300；

当xN50时，£（x）=600x-[602x+10000-4500|-2300=-2x-+2200,综上：

'）\2x-50Jx-25

-10x2+400A:-2300,0<x<50

=<5000

'7-2x--——+2200,xN50

x-25

【小问2详解】

当0cx<50时，L（x）=-10x2+400x-2300=-10（x-20f+1700,当20时，〃工）取得最大

值为1700万元，

当」之50时,

力）=一2%一名”+2200=-2（x-25）一名叫+2150（-2^2（x^25）理电+215（）=195（）,当

x25x25Vx25

且仅当2（x-25）=2半，即x=75时，等号成立，此时最大利润为1950万元，

因为1950>1700,所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.

4.（2024年广东省广州市九区）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销

活动，已知该款食品年销量x吨与年促销费用1万元之间满足函数关系式工=2———（〃为常数），如果

t+2

不开展促销活动，年销量是1吨.己知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需

再投入32力兀的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”

高中

与“每吨食品平均促俏费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能俏售完.

（1）求）值;

（2）将下一-年的利润〉（万元）表示为促销费/（万元）的函数；

（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】（1）k=2

（2）y=------z+—（/>0）

-£+222'）

（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

【解析】

【分析】（1）依题意当f=0时,x分代入计算可得;

（2）依题意求出当年生产x吨时，求出年生产成本和为年俏售收入，从而可表示出食品的利润;

（3）由（2）可得y=（或+孚）卜绘，利用基本不等式计算可得.

U+22J2

【小问1详解】

由题意可知，当/=0时，x=l,所以1=2-&,解得％=2：

2

【小问2详解】

由于A=2,故x=2—,

t+2

（2、

由题意知，当年生产x吨时，年生产成本为：32x+3=322——-+3,

I/+2J

2、1

当销售x吨时，年销售收入为:322+3+-/

E+2,2

332（2一2)、12、、

由题意，y=-——+3+-/-322--------+3

/+2y21/+2y

即一舍会叫.

【小问3详解】

由⑵知：尸一吾一夕+当（拈°）’

32t+269(32t+269

即八----+-----+一

Z+222卜+222

高中

321+2

<-2-----x-------+—=26.5,

1+222

当且仅当卫二上2,又£+222,即y6时，等号成立.

f+22

此时，歹2=26.5・

该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

5.(2024年广东省广州市越秀区)某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万

人，第2年参观人数为14万人.某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会

逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人.该兴趣小组想找一个函数歹=/(X)来拟合该文化馆

对外开放后第HxNl)年与当年参观人数y(单位：万人)之间的关系.

(1)若选函数/(、)=%+〃(加/0),试确定〃?，〃的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；

x

(2)若选函数/(外=a-bx+c(b>0,6*1),要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定力的取值范

围.

【答案】(1)m=-4,〃=16,函数符合预测①与预测②，证明见解析

(2)0<Z><-

2

【解析】

【分析】(1)分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得〃〃

的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可；

(2)同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得

22

。二寸1不,c=12-「，再结合对数函数的性质分力>1,0<力<1两种情况判断函数是否符合预测①与

预测②，进而求得〃的取值范围.

【小问1详解】

由于函数f(x)=—+n(m^0),

x

nj

第1年参观人数为12万人，即/(1)=1+〃=〃?+〃=12；

第2年参观人数为14万人，BP/(2)=y+«=14；

联立可得:m=-4,w=16,

高中

4

所以，(x)=---卜16，

x

4(X1X2)

设1《苦<3，/(XI)-/(X2)=(--^16)-(--+16)=-,

X,x2X1》2

且1«.土<工，得凡一工2<0，X\X2>0»所以/区)一/(工2)<0，即/(芭)</(工2)，

4

所以八刈二一一+16在区间［1,+8)上单调递增，符合预测①，

X

4

同时xw［l,+8),f(x)=一一+16<16,符合预测②；

X

【小问2详解】

由于函数/(X)=abx+c(b>0,b*1)，

第1年参观人数为12万人，即/(1)=。/+。=12；

第2年参观人数为14万人，即/(2)=2+。=14；

22

联立可得：a=,c=12-；-

b(b-\)b-\

由指数函数的性质可知：当0<力<1时，函数y=//在R上单调递减：当。〉1时，函数y=在R上单

调递增；

fO</><l\b>\

若符合预测①，则《八或〈八，

a<0>0

2

当0<人<1时，a=<0,符合预测①,

此时xe[l,+oc),bxG(0,Z)],a-bxe[ab,0),f(x)e[ab+c,c),

21

再符合预测②，只需cW16即可，由c=12-----＜16,且0＜分＜1,得：0＜6(一;

b-\2

当人＞1时，a=d-k＞。，符合预测①，

b(b-\)

此时函数/(X)在区间［1,+8)上单调递增，

222c

同时Q=-----,c=12------,f(x)=-------bx+l2——

h(b-\)b-\b(b-\)b-\

22

解方程777—+12----=16,可得x=-b),

—I)b—1

高中

具44b>1,2b2-b=b(2b-l)>2b-l=b+(b-l)>b,log,(2Z?2-Z?)>1,

即当4>1%(2/一彷时，不符合预测②；

综上所述，方的取值范围是：

2

八、函数的概念与性质

1.(2024年广东省广州市番禺区)已知函数/'(X)是定义在R二的奇函数，当xKO时，/(x)=x(x+2).

(1)画出函数/(x)的图象，并写出/(X)的单调区间；

(2)求出/(X)的解析式.

【答案】(1)图象见解析•：增区间为［一1川，减区间为(7>,-1］中,+8);

\x2+2x,x<0

(2)/(%)=《、

—x2+2丫,X>0

【解析】

【分析】(1)先作出函数y=/(x)在区间(-8,0］上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间

(0,+。)上的图象，根据图象可得出函数y=/(x)的单调递增区间和递减区间；

(2)设％>0,可得出—x<0,由奇函数的性质得出/(力二一/'(—x),可得出函数y=/(x)在(0,+s)

上的解析式，进而可得出该函数在RU勺解析式.

【小问1详解】

・••函数y=/(x)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，且当XW0时，/(X)=X(X+2)=X2+2X,

则函数y=/(x)的图象如下图所示：

高中

由图象知,/（X）增区间为卜15，减区间为（-8,-

【小问2详解】

设x＞0,则一x＜（）,贝ij/（工）=一/（一x）=x（—工+2）=——+2了.

因比，%>()时，/(X)=-X2+2X,

x2+2x,x<0

所以函数/（x）在R上的解析式为/"）=•

-X2+2X,X>0

Y

2.（2024年广东省广州市天河区）已知函数/（x）=工^

（1）判断/‘（X）的奇偶性，并根据定义证明；

（2）判断函数歹=/（》）在区间［1,+8）上单调性，并根据定义证明.

【答案】（1）奇函数，证明见解析.

（2）减函数，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可;

（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可.

【小问1详解】

/（X）为奇函数，证明如下:

X

函数/（1）二定义域为R,所以xwR,一xwR,

X2+1

x

则/(一力=7(r)+1；=X2+]

所以/（X）为奇函数.

【小问2详解】

/（X）在［1,+8）上单调递减，证明如下:

任我王，々u［l,+8）且不＜当，贝IJ

高中

X]x_兀]尢；十王一元2大；一入2_（-1）（“2—X1）

/'（』）一/（占）=2

X12+1Xj+1(xj2+1)(^2+1)卜：+1)卜；+1)

因为£>之1，所以超->0，%X2-1>0,

所以/（%）-/（%2）〉°，即/（』）＞/（9），故函数/（x）在[L+0。）上是减函数.

3.（2024年广东省广州市九区）已知函数f（x）=l+」一为奇函数.

2-1

（1）求。的值；

（2）判断函数./V）在（0,+8）内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

【答案】（1）a=\

（2）函数/*）在（0,+8）内单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义/（X）=/（X）,通过变形即可求解：

（2）任取0＜芭＜/，可证/（』）一/（9）＞0,从而得出结论.

【小问1详解】

函数的定义域为（一8,0）U（0,+8）,

由/（T）=-/（X）得1+[=一]1+＞V"[]，整理可得〃=1；

2—1I2—1J

【小问2详解】

函数"X）在（0,+8）内单调递减：证明如下：

由（1）知/（X）=1+^Ay，

在（0,+8）上任取X],X,,,且王＜工2，

外X）7+上122（2、一）-2（2_）2（27）

2^12（2--72必-1）-（2「1）（2J）

由0＜玉＜々，得2”—1＞0，212-1＞0，2'2—2”＞0，

所以/（$）—/（々）＞。，即/（』）＞/（工2），

2

所以函数/（X）=1+一「在（0,+8）内单调递减.

1

高中

4.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数=———•

\+x2

（1）判断函数./V）的奇偶性，并说明理由；

（2）讨论函数/（X）在（1,+8）上的单调性，并加以证明.

土」k为有函数，理由见解析

【答案】（1）/（X）=

1+X2

（2）当时，/、a）=（"T）x单调递减,

1+x2

“-7卜单调递增,理由见解析

当。<4<1时，f（X）=

1+x2

【解析】

【分析】（I）求出定义域，计算出/（-幻=-/（无），得到答案;

（2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.

【小问1详解】

上二1k为奇函数，理由如下:

/⑺=

1+X2

/㈤卜的定义域为R，

1+x2

又/㈠—-（a1--（a1-

故/（幻=9_上为奇函数；

l+x2

【小问2详解】

当〃〉1时，/（X）=（“1卜单调递减，

1+X2

当0<〃<1时，「单调递增,

1+X2

VXpX,G(l,+oo),且玉＜工2,

(片-1)%(/-1卜2(/-1)1|+须))-(/-1)卜2+工2才)

则/（不）—/（々）=

1+X；1+X；(1+列1+考)

高中

(。2-1)(1一2七)(2一4)

(1+引(1+¥)

因为占,%2€（L+8）,且王<元2，所以1一士工2<°，F-工2<°，

（〃一1）（1一项土）（苞一Z）

当。>1时,>0,BP/(X)>/(X),

（1+引（1+W）12

故/1）=”产单调递减，

l+x2

年一1）（1一可，）优一心）

当。时，-~~/八<。，即/。）</'（々），

（1+.乂1+.）

故/（x）=W1卜单调递增,

1+X2

九、指数函数与对数函数

1.（2024年广东省广州市番禺区）（1）根据定义证明函数/（X）=log、6在区间（1,+8）上是单调递减;

（2）比较下列三个值的大小：logo/,logo*,logqG.

【答案】（1）证明见解析（2）log036<log026<log46

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义及对数函数的单调性证明即可；

（2）分析所给式子的正负，再由对•数的运算及（1）的性质判断即可.

【详解】（1）设任意芯,％2W（l,48）且玉<々，

则小）—/（少啕6一*6=警一警

1g玉lgx2lgx）lgx2

由1<玉<12，可知。<lgX[<lg》2，所以lg%2-1g玉>0，0<lgx）-lgx2,

又lg6>0,所以/（内）一/（々）>0，即/（占）>/（0），

所以函数/（x）=k）gx6在区间（1,+8）上是单调递减.

（2）因为k）go,26<k）go21=O,logo36<log031=0,log46>log41=0,

所以只需比较log026,log036的大小即可,

高中

因为一1°8。.26=1师56,—108036=1%电6,而由⑴可知6<log更6,

33

所以一唾56>Tog/6,即|ogo26>log。36，

所以log。36<log。26<log46.

十、函数类压轴题

1.（2024年广东省广州市九区）已知函数/（x）=2sin«ox+夕）«。＞0,10|v]）图象的对称轴与对称中心

之间的最小距离为工，且满足/哈+工）=-/哈-'）.

（1）求/。）的解析式；

7T7T

（2）已知函数〃（幻=戊2+2工+3,若有且只有一个实数。，对于£[一,—],加£[0,2],使得

123

〃（々）二2。一/（七），求实数f的值.

7T

【答案】（1）/（x）=2sin（2x--）；

6

,、、3+石t1

（2）------匚或——.

42

【解析】

【分析】（I）根据给定条件，结合“五点法”作图求出。，8即可.

（2）求出函数/⑴在脸,中上的值域，再根据绐定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解.

【小问1详解】

依题意，函数/（x）的周期7=4乂四=兀，则。=」=2,

4T

由/（?1+“）二一外’得函数/（X）图象的一个对称中心为（展，°），

即有2x/"+e=A兀,AEZ,而|。|＜曰，则左=0，e=—巴，

1226

兀

所以/⑶的解析式为/（x）=2sin（2x-）.

76

【小问2详解】

由（1）知，/（x）=2sin（2x--）,当XE[2L,刍时，2.r--e[0,-],

612362

因比/（x）在哈，守上单调递增，函数值集合为[0,2],2。一/⑶值域为[2。-2,2a],

由有且只有一个实数。，对于*2c[0,2],使得〃（々）=2”/区），

高中

得函数h(x)在[0,2]上的值域包含[2a-2,2a],并且实数。唯一,

当EN0时,函数力(x)=W+2x+3在[0,2]上单调递增,当%)的值域为[3,4/+7],

由[212咱3。7],得,2二。一2仙N3，解得5产皿丁7显然符合条件的实数。不唯一

当f<0时，函数〃(x)的图象对称轴为x=-L

t

当一122,即一,"/<0时，/?(x)在。2]上单调递增，〃(x)的值域为[3,书+7],

t2

1

2a-2>32显然,42/+工，当且仅当，=-,时，〃=*且唯一，因此/=-■-：

于是《r“r，解得I

2a<4r+7722222

a<2l+—

2

当0<—!<2,即，<一,时，/nx)max=/?(--)=3--,/?(0)=3,何2)=4/+7,

tt

当〃(o)是最小值时，而3-：-3二-1(0,2),不满足函数,(x)在［0,2］上的值域包含［2。—2,20,则

〃(0)不是最小值,

31

a<-------

13+\fs2。W3—22t

必有3——(41+7)22,得1三一士2,于是，t,解得，

9

’4［2a-2>4t^7t7>2/+—

2

当f二—过必时，3—J-=3—且且%+2=3-立，此时4=3-正且唯一，

422t2222

并且当］<_21好时，2/+-<--—,2/+-<tz<---,实数。不唯一，因此/=

4222/222f4

所以实数/的值是z=-三正或

42

【点睛】结论点睛：函数y=/(x),xw[a,b],y=g(x),xw[c,d],若VX[W[db],3x2有

尔)=g(&)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

八/、x,-l<x<0

2(2。24年广东省广州市天河区)定义在R上的奇函数，当x<°时‘小)=其中

。>0,。工1,且/(l)=e,其中e是自然对数的底，e=2.71828….

(1)求〃的值;

高中

（2）当XNO时，求函数/（X）的解析式;

（3）若存在%20，满足/（々）二学（%），求玉•/'（4）的取值范围•

【答案】（1）e

x,0<x<1

⑵/")=<

e\x>l

⑶陷ue2,+<»)

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义/（-1）=一/'（1）即可求得。的值；

（2）根据奇函数的定义求解析式：

（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出对匕的关系，把玉./（七）化为玉的函数，从而

得其范围.

【小问1详解】

v/（l）=e,/（x）是奇函数，

/(—1)=—ci=-e,则Q=e；

【小问2详解】

当Ovxcl时，-1<一工<0,/(-x)=-x,又/(x)是奇函数，则/(x)=x,

当x31时，-x<-l,/(-x)=-ex,又/(x)是奇函数，贝ij，(x)=e、,

因为/（x）是定义在R上的奇函数，则/（（））=（）,

x,0<x<1

故/(%)=«

c\x>\

【小问3详解】

若0<王<》2<1，则由/（々）=学（项）有二⑼，且0<X]<,，从而有

e

xi/(x2)=x\x2=ex；eI0,—

若O（X]<1WX2，则由学'（％）=学（玉），有e*=eX],而e'?2e,e$<e,所以等式不成立；

若10演<&,则由/（工2）二学（玉），有e*=er,+,♦即/=再+1，且玉21，从而有

高中

x/(%)=玉。"=XR"”>e2,

综上：士./(x2)的取值范围为［0,1)口卜2,+。)

e)

3.(2024年广东省广州市越秀区)己知函数Ax)的定义域为R,Fa,bwR,

/(。+6)+/(。-6)=3/(。)/(b),且/⑴=!J(x)在区间［0,3］上单调递减.

(1)求证：/(x)+/(0)>0；

(2)求/⑴+/(2)+L+/(2023)的值；

(3)当xeR时，求不等式3/(2x)+4W9/(x)的解集.

【答案】(1)证明见解析

(3)［6"l,6Z+l］(〃eZ)

【解析】

【分析】(1)借助赋值法令。=力=二即可得；

2

(2)借助赋值法可得/*)为周期为6的周期函数、并可计算出/(())、/(1)、L、/(6),结合周期性

即可得.

(3)借助赋值法令〃二8=x,可将原不等式转化为9/2(X).9/(X)+2«0,解出可得/(x)的范围，

结合函数性质即可得.

【小问1详解】

令a…工,则有/(x)+/(O)=3/

由/，仔)。，故/(X)+/(O"O；

【小问2详解】

令b=L则有+1)+/(a-l)=3/(〃)/。)=/(a),

则/⑷+/("2)=/(〃一1),即/(〃)=/(〃一1)一/伍一2),

故/(〃+1)+/(々-1)=/(々-1)一/(々一2),即/(〃+1)=-/(々一2),

高中

则/(。一3十。二一/卜/一？一？)，即/(。-2)=一/(。一5),

故〃a+l)=/("5),即有/(x)=/(x—6),

故函数/(x)为周期为6的周期函数，

令〃=1、5=0,则有/(l)+/(l)=3/(l)/(O),Bp/(O)=p

令〃=1、b=l,则有/(2)+/(0)=3/(1)/(1),即/(2)=-；，

由/5+1)=-/5一2),故/(3)=-/(O)=-p

1।?

/(4)=一/(1)=一葭/(5)=-/(2)=-