圆锥曲线考试题及答案

圆锥曲线考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$\vertF_1F_2\vert$）的点的轨迹是（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆2.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标是（）A.$(0,2)$B.$(2,0)$C.$(0,\frac{1}{32})$D.$(\frac{1}{32},0)$3.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{16}{25}$4.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的渐近线方程是（）A.$y=\pm\frac{3}{4}x$B.$y=\pm\frac{4}{3}x$C.$y=\pm\frac{9}{16}x$D.$y=\pm\frac{16}{9}x$5.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)$的一个焦点是圆$x^2+y^2-6x+8=0$的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A.$(-3,0)$B.$(-4,0)$C.$(-10,0)$D.$(-5,0)$6.抛物线$x=4y^2$的准线方程是（）A.$y=\frac{1}{2}$B.$y=-1$C.$x=-\frac{1}{16}$D.$x=\frac{1}{8}$7.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的虚轴长为2，焦距为$2\sqrt{3}$，则双曲线的渐近线方程为（）A.$y=\pm\sqrt{2}x$B.$y=\pm2x$C.$y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$D.$y=\pm\frac{1}{2}x$8.已知椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为2，则$m$的值为（）A.5B.3C.5或3D.89.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$，它的一个焦点在抛物线$y^2=24x$的准线上，则双曲线的方程为（）A.$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{108}=1$B.$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$C.$\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1$D.$\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$10.已知抛物线$y^2=2px(p\gt0)$上一点$M(1,m)$到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A.$x=8$B.$x=-8$C.$x=4$D.$x=-4$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于圆锥曲线的说法正确的有（）A.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之差的绝对值等于定值（小于$\vertF_1F_2\vert$）的点的轨迹为双曲线B.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)$的离心率$e$越接近于1，椭圆越扁C.抛物线$y=ax^2(a\neq0)$的焦点坐标为$(0,\frac{1}{4a})$D.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$2.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，则下列说法正确的有（）A.焦点坐标为$(\pm4,0)$B.长轴长为10C.离心率为$\frac{4}{5}$D.短轴长为33.对于抛物线$y^2=4x$，下列说法正确的有（）A.开口向右B.焦点坐标为$(1,0)$C.准线方程为$x=-1$D.对称轴为$x$轴4.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，则（）A.实轴长为6B.虚轴长为8C.离心率为$\frac{5}{3}$D.渐近线方程为$y=\pm\frac{4}{3}x$5.若椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m\gt0,n\gt0)$的焦点在$x$轴上，则（）A.$m\gtn$B.离心率$e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}$C.焦点坐标为$(\pm\sqrt{m-n},0)$D.长轴长为$2\sqrt{m}$6.抛物线$x^2=-2y$的性质有（）A.开口向下B.焦点坐标为$(0,-\frac{1}{2})$C.准线方程为$y=\frac{1}{2}$D.对称轴为$y$轴7.已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$，则（）A.实轴长为$2a$B.虚轴长为$2b$C.渐近线方程为$y=\pm\frac{a}{b}x$D.离心率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$8.椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的参数方程可以是（）A.$\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=\sqrt{3}\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）B.$\begin{cases}x=\sqrt{3}\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）C.$\begin{cases}x=2\sin\theta\\y=\sqrt{3}\cos\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）D.$\begin{cases}x=\sqrt{3}\sin\theta\\y=2\cos\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）9.对于双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，下列说法正确的有（）A.焦点坐标为$(\pm5,0)$B.渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$C.离心率为$\frac{5}{4}$D.实轴长为810.抛物线$y^2=-8x$的性质有（）A.开口向左B.焦点坐标为$(-2,0)$C.准线方程为$x=2$D.对称轴为$x$轴三、判断题（每题2分，共20分）1.平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。（）2.椭圆的离心率越大，椭圆越圆。（）3.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$与$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的渐近线相同。（）4.抛物线$y^2=2px(p\gt0)$上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。（）5.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)$的长轴长为$2a$，短轴长为$2b$。（）6.双曲线的离心率$e$的取值范围是$(0,+\infty)$。（）7.抛物线$x=y^2$的焦点坐标为$(\frac{1}{4},0)$。（）8.椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$与$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$的形状相同。（）9.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{4}{3}x$，则其实轴长为6。（）10.抛物线$y^2=-4x$的准线方程为$x=1$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述椭圆的定义。2.求抛物线$y^2=-12x$的焦点坐标和准线方程。3.写出双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程。4.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求椭圆上一点$P$到两焦点距离之和。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论椭圆离心率对椭圆形状的影响。2.分析抛物线$y^2=2px(p\gt0)$与$x^2=2py(p\gt0)$的异同点。3.探讨双曲线渐近线与双曲线的关系。4.已知椭圆和双曲线有相同的焦点$F_1,F_2$，且$P$是它们的一个交点，讨论$\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert$的值与椭圆和双曲线的关系。答案一、单项选择题1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.C8.C9.B10.D二、多项选择题1.ABCD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABD8.AC9.ABCD10.ABCD三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$\vertF_1F_2\vert$）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。2.对于抛物线$y^2=-12x$，$2p=12$，$p=6$，焦点坐标为$(-3,0)$，准线方程为$x=3$。3.双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，$a=4$，$b=3$，$c=\sqrt{16+9}=5$。实轴长$2a=8$，虚轴长$2b=6$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$。4.由椭圆定义知，椭圆上一点到两焦点距离之和为长轴长$2a$，对于椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，$a=5$，所以距离之和为$10$。五、讨论题1.椭圆离心率$e=\frac{c}{a}(0\lte\lt1)$，$e$越接近0，$c$越接近0，椭圆越圆；$e$越接近1，$c$越接近$a$，椭圆越扁。2.相同点：都是抛物线，都关于坐标轴对称。不同点：$y^2=2px(p\gt0)$开口向右，对称轴为$x$轴；$x^2=2py(p\gt0)$开口向上，对称轴为$y$轴。3.双曲线渐近线无限接近双曲线但不相交，反映了双曲线的变化