2025-2026学年北师大版九年级数学期末模拟卷01（解析版）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，洛答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2012九年级数学上册+下册全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.如图所示的几何体的主视图是（）

【答案】D

【详解】解：由题图可知，该几何体为圆台，且主视图为梯形.

故选：D.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义.

2.下列函数中，当x>0时，1y随x的增大而减小的是（〉

A.y=xB.y=2x-3C.盯=-2D.y=-x2

【答案】D

【详解】解：A、正比例函数丁=工的图象，N随x的增大而增大，

故此选项不符合题意；

B、一次函数），=2x-3的图象，y随工的增大而增大，

故此选项不符合题意；

c、反比例xy=-2的图象是双曲线，在第二、四象限，

当”>0时，），随X的增大而增大，故此选项不符合题意;

D、二次函数），=-』的图象，开口向下，对称轴为y轴，

当”>0时，>随工的增大而减小，故此选项符合题意；

故选：D.

3.小明做两道数学单选题都有A、氏C、。四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的

概率是（）

1I

A.-B.—D

8屋-:

【答案】B

【详解】解：画树状图如下：

开始

共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1利1，

团小明都猜对的概率为工，

16

故选：B.

【点睛】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法与可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两

步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.请判断关于x的一元二次方程心•+2-1=0根的情况，其中左为常数且女=2（）

A.两个实数根B.两个不相等的实数根C.两个相等的实数根D.没有实数

根

【答案】B

【详解】解：一元二次方程f-履+&-1=0，

^a=\,b=-k,c=k-{,

[3A=（—左『-4x1x（攵-1）=%2—4々+4=（攵-2『，

团2工2,

回△=（"2）2>0,

回原方程有两个不相等的实数根，

故选:B.

5.如图，在VA8C中，8c=15,D,E,尸分别是AB,AC,BC上的点，且;〃8C,EF//AB,若

AD:DB=2;3,则线段叱的长为（）

A.10B.9C.6D.5

【答案】C

【详解】解：-DE//BC,

•••AADE^AABC,

/.DE:BC=AD:AB,

AD:DB=2:3,

AD:AB=2.5,

:.DE:15=2:5,

/.DE=6,

•：DE〃BC,EF//AB,

二•四边形08/话是平行四边形，

BF=DE=6.

故选：c.

6.如图，在矩形ABC。中对角线相交于点。有以下结论：①S：）=S^co；②若NAC8=30。，则,80

是等边三角形；③AC=8Q；®AC-LBD,⑤4。平分一人AC.正确结论的个数是（）

AD

----------—

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【详解】解：团矩形A38中对角线相交丁点O,

团AC=B。，AO=OC=13O=OD,

故③是正确的；

团S△A8。=S&KO,

故①是正确的；

团若NAC5=30°,OC=BO

0ZOBC=ZACB=3O°,

0Z4OB=6O°,

团AO=8O

团AAHO是等边三角形

故②是正确的；

依题意，无法证明ACS40,

故④是错误的；

依题意，无法得出8。平分/A8C.

故⑤是错误的；

故选：B.

4

7.如图，PA,分别与VABC的外接圆相切，A8为切点，若AK=6,sinC=-,则“加的值是（）

4

D

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

【详解】解：设点。为VASC的外接圆圆心，连接。4、OB,过点〃作尸〃_LA6于点〃，

A

则乙4OB=2NC

团0A=04,

180。一NAOBI8O°-2ZC

团NQA3=NOH4==90°-ZC

2―2

回PA,PA分别与V45C的外接圆相切，A8为切点,

BPA=PB,OA1AP,

团NQ4P=90。，

0ZE4B+ZOAB=9O°,

即ZE4B+90°-ZC=9()0，

0ZE4B=ZC.

"4=P3,PH人AB,

^AH=BH=-AB=3,ZAHP=90°,

2

・「4

HsinC=y,

4

13sinZ.PAB=—，

5

4

Htan4PAB=一,

3

PHPH4

即nil——=——=-,

AH33

团PH=4,

05t,Prf,\D„=-2/lBP//=-2x6x4=l2,

故选：D.

8.在锐角VA8C中，边BC上的高AD的长为〃，设㈤。=8471。=/?,则下列数据中，错误的是（）

A.BC=Iizuna+tanZ?)B.tanZ.BAC=tana+tan0

_/『(lanq+tan力)D.AB+AC=-^—+-^—

c-SJ2L

JK=~cosacos/?

【答案】B

【分析】本题考杳解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面枳公式,

进行求解，判断即可.

【详解】解:如图,

在RtA/AOB中，BD=tana=〃•tana,AB=40=--

cosacosa

ADh

在RLADC中，CD=-tan/?=/rtan/?,AC=

cosPcos[i'

hh

0BC=/?(tana+tan^),AB+AC=-------d---------

cosacosb

1/r(tan<7+tan

^SMBC=-BCAD=-^~~L

故选项A,C,D正确;

无法得到tanZBAC=tana+tanp；故选项B错误;

故选B.

9.如图，VA8C内接于以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交C4,CB于点M,N,再分别

以M,N为圆心，大于（MN的长为半径画弧，两弧交。。内于点“，连接CP,并延长交0。于点。，连

接A。，BD,连接。。，与48交于点E,则下列结论不一定成立的是（）

A.AD=BDB.AE=BE

C.ZC4D+ZCBD=180°D.AD//BC

【答案】D

【详解】解：如图所示，连接。4,0B,

D

由题意可知C力平分NACB,

IHZACD=ZBCD,

0Z4OD=2Z4CD,ZBOD=2ZBCD,

^ZAOD=ZBOD,

团AD=BD，

故此选项成立，不符合题意；

B、团VABC内接于。。，

MA=OB,

13NQ43=NO84,

又B/48=NBOD,

(?]^AOE^A«O£(ASA),

回AE=8E,

故此选项成立，不符合题意：

C、回点A,C,B,。四点共圆，

团四边形AC8D为圆内接四边形，

13圆内接四边形对角互补，

0ZC4D+ZCBD=18O°,

故此选项成立，不符合题意；

D、假设AO〃8C,

回ZAD3+NCBD=180°,

团NC4O+NCB£)=I80。，

团乙WB=NC4。，

而根据已知条件无法推出ZADB=^CAD.

团假设不成立，

故此选项符合题意；

故选：D.

10.二次函数），=奴2+法+。（。工0）的图象如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论：

①而c<0；②方程加+法+。=0（。工0）必有一个根大于-2且小于3；③7。+2c<0；④对于任意实数〃?,

都有〃73〃+Z?）<4+〃.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，

团。<0,c>0,

团对称轴是直线4=1,

团一，=1，

2a

0/?=-2«>0,

0abc<0,故①正确；

13抛物线与x轴的一个交点的横坐标7<x.<0,且对称轴是宜线x=1,

团与工轴的另一个交点的横坐标2<3,

田方程/+bx+c=0（a/0）必有一个根大于2且小于3,故②正确；

当工=-1时，y=a-h+c=a-^-2a）4-c=36/+c<0,

团&/+2cv0,

团av0,

07tf+2c<（）,故③正确：

团对称轴是直线x=l,抛物线开口向下，

回当x=l时，函数取得最大值，为y=a+0+c,

殷伟对于任意实数加，都有y=am2+bm+c,

田。〃广+bm+c<a+b+c，

0anr+bin<a+bf

即m^am+b）<a+b,故④错误；

故选：C

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.如果々是锐角，sin«=cos30°,那么。为.

【答案】60°

【详解】解：团sina=cos30°=—,

2

Xl2sin60u=—,

2

0a=6O°：

故答案为：60°.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.熟背特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.平行于墙面的三角尺在灯泡。的照射下在墙上形成的影子如图所示.若。4=10cm,A4'=15€m,则三

角尺与它在墙上影子的周长比是.

【答案】：

【详解】解:如图,EOA=10cm,AA'=15cm,

0aV=25cm,

cABOA102

团----=----=---=一,

AB'OA255

（3三角尺与影子是相似三角形，

回三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=煞=],

13.如图，在正十边形a4AA4444440中，连接AARAA，则"A4AA=

【答案】72

【详解】解：如图：设正十边形的圆心。，连接4。、4。,

团正十边形的各边都相等

4

0Z4^4=—X360O=144O

1

=7

0ZAA42-2°

故答案为：72.

14.如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形Q46,使得？B90?,OB=AB,恰好经过双

4

曲线），=-上上的A和8,求B点横坐标与纵坐标的比值为

【详解】解：过点B作BClx轴于点C,过点4作A。_£BC丁点、。，如图所示:

团NA4O=90。，

0ZBAD+ZABD=ZABD+NCBO=90。，

0ZfiAD=ZCBO,

0AB—OB»

团AA班总△8OC,

0AD=BC,BD=CO,

设点B的坐标为（4,%），/＜。，＞0,

团AD=BC=yB,BD=CO=-xB,

回点A的坐标为：（/—%,）%+4）,

回点A、8在反比例函数），=上上，

x

团（“一为乂/+%）=/：%'

整理得：X/-)1=4%，

<0,)%>0,

1-后,

回乙二2A二"非.

y3为2

故答案为：匕走.

2

15.两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示.已知书的长度斯为20cm,厚度EG为

2cm.书角F到书柜底部B的距离比书角H到书柜底部C的距离少4cm，则书角F与书角H的距离FH为.

cm.

【答案】2.5

【详解】解：设则C"=(x+4)cm,

如图，设两个书柜交点为

.1.FM=2cm,

由题易得，ZEBF=NFMH=4CH=90P,

ZBEF=ZMFH=90°-ABFE,^MFH=ZCH1=90°-ZAWF,

：.ABEF=Z.CH1,

又•.•N8=NC=90。，EF=IH,

：.£,BEF^CHKAAS),

BF=Cl=xcm,BE=CH=(x+4)cm,

•/£F=20cm,

•.在/中，BE2+BF1=EF2*

gp?+(x+4)2=400,

解得X=12,

/.BE=16cm,BF=12cm,

•;ZBEF=ZMFH,ZEBF=&MH,

：•ABEFSJ^FH,

BEMF162

/.一=——,即niI一=——,

EFFH20FH

解得"=2.5cm,

故答案为：2.5.

1b.如图，菱形A6CD的边长为2,乙4=60。，点M是A"边的中点;，点N在边AN上移动，把NA沿MV

折叠，使点A落在点£处，连接EC.若aMNE是直角三角形，则线段EC的长为.

【答案】"或2

【详解】解：显然NMENW90。，

如图，当NMNE=90。时，过点C作C/于点儿

0ZA/E4=ZA=6O°,

0ZAME=6O°,

(3AAA但是等边三角形，

又住点A/是边的中点，

^AE=AM=-AD=\,

2

^BE=AB-AE=2-1=\,

团ABCD是菱形，

^\I3C=AD=AB=2,AD\\BCf

团4=/8少=60。，贝i」/BC/=30。，

©BF=-BC=1,

2

^CF=yll3C2-BF2=y）22-\2=V5»EF=BE+BF=\+\=2,

当/£M6=90。时，则点E与点。重合，点N与点B重合,

这时CE=C£>=2；

故答案为：近或2.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（8分）（1）计算：卜一&|+应-2如45。-（3-九）°；

（2）解方程：2x2-9x+8=0.

9+后9-历

【答案】（1）2>/2-2：（2）

~7~

【详解】解：（1）|l-V2|+x/8-2sin450-（3-7C）°

=^-l+2>/2-2x--1

2

=xi,2-l+2>/2-V2-l

=2x/2-2

（2）2X2-9X+8=0

回a=2,Z?=-9.c=8,

0A=Z?2-4«C=81-4X2X8=17>O,

臼9±M

0x=-------,

4

解得一二"&二纪叵.

144

18.(8分)如图，在中，BC=1(),8C边上的高AO=1(),矩形尸QMN的顶点/>、N分别在边A8、

4c上，顶点。、M在边8。上，若设。石=/，PN=y.

A

小

BQDMC

⑴求;I”'与4之间的函数表达式；

(2)直接写出当工取何值时，矩形PQMN面积最大.

【答案】⑴y=io-MO<x<io)

(2)当x=5时，矩形PQMN面积最大

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解

题的关键.

(1)先证△A/Ws.C,再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解；

(2)根据(1)的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可.

【详解】解：(1)•.•A。是“18。的高，

/.2L4DC=90°.

•.•四边形PQMN是矩形，

:.PN\\BC,

:.ZAEN=ZADC=90°,&APNs®C

ApPN

.•.AE是AAPN的高，篝号

ADBC

-DE=x,PN=y,AO=10,BC=10,

:.AE=\O-x,

1010

/.j=10-x(0<x<10);

(2)S矩形股WN=OE，PN=X(10T)=-(X—5)2+25,

V-I<0,

..当X=5M，矩形尸QMN面积的最人值为25.

19.(8分)如图1是珠江纵队司令部旧址的红色雕塑实物图，为宣扬红色精神，某红色文化主题公园要复

刻一座置于园内，将其抽象成如图2所示的示意图，在底座4FQP中，AF//PQ,底座上沿心到地面PQ的

距离为30cm,雕塑主体ABJLA77,DF±AF,点8,。的连线平行于AA,C£)=160cm,AB=2(X)cm,

NCDB=40。，ZC=115°(图中所有点均在同一平面内).

⑵求点C到地面P0的距离.(结果精确到0.1cm,参考数据：如40。、0.64,cos40°«0.77,tan40°»0.84)

【答案】(1)ZCSA=115°；

(2)点C到地面PQ的距离为332.4cm.

【详解】(1)解：团/，DF1.AF,AF//BD,

团四边形旗DF是矩形，

团NCD8=40。，ZC=115°,

团NCBD=180°-NCDB-ZC=25°,

(3N'CE4=900+25°=I15。；

(2)解：过点。作尸。的垂线，交延长线于点G,

0ZGCD=ZCDZ?=4O°,

团CD=160cm,

0GD=CDsin40°«160x0.64=102.4cm,

0AB=2(X)cm,

团DF=AB=200cm,

团底座上沿AF到地面P。的距离为30cm,

团点C到地面PQ的距离=102.4+200+30=332.4cm.

20.(8分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,8。交于点O,AD//BC,AC垂直平分8。.

⑵已知四边形A3c。的面积为20.A4=5,点E在线段OD上，ED=2QE,射线AE交C。于点/，交BC

的延长线于点G,求线段的长.

【答案】⑴见解析；

(2)EF=—.

6

[分析1(1)根据线段垂直平分线的性质得至I]BO=DO,AI3=AD,再由平行线的性质可得ZOAD=NOCB,

【详解】(1)证明：:AC垂直平分次),

：.BO=DO,AB=AD,

：.AD//BC,

:.NOAD=NOCB,

在八4。0与Aao中，

/OAD=NOCB

<ZAOD=4COB,

OB=OD

/.AD=CB,

AD\\BC,

「•四边形4口6是平行四边形，

\-AB=AD^

••・四边形A3CO是菱形；

(2)解：过A作A"_LBC「H,

AB=BC=5,

,四边形A8C£＞的面积为20,AB=5,

:.BCAH=5AH=2^t

,\AH=4,

:.BH=\lAB2-AH2=3，

:,CH=BC-BH=2,

/.AC7AH2+CH?=2后,

/.AO=CO=-AC^45,

2

：.BO=OD=^AB'-AO1=2x/5，

•:ED=2OE,

..OB=OD=3OE=2y/5，

/.OE=—,

3

0AC1BD.

/.AE=y/AO2+OE-=—,

3

AB||DF,

二•QEFSABEA，

KEBE

：.——=——,

EFDE

叵

亍3OE+OE,

~EF=2OE

.PF765

・・EF=-----•

6

21.（8分）去年6月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售

过程中发现，每月销售吊：），（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：），=lO.v+500,

在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.

（1）如果张明想要每月获得的利润为2000元，那么张明每月的单价定为多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

【答案】（1）张明每月的单价定为30元；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最

大利润是2160元.

【详解】解：（1）每月的单价定为工元，每件利润为（X-2O）元，

团每月销售量y（件）与销售单价片（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-lOx+500,想要每月获得

的利润为2000元，

0（A-20）（-10X+500）=2000,

整理得/一70%+1200=0，

因式分解得（1一30）（x—40）=0,

解得N=3U，X,=40,

02C(1+60%)=32,30<32,40>32舍去,

团x=30,

张明每月的单价定为30元；

（2）设每月利润用w表示，

VV=（X-2O）（-1OX+5OO）=-1O（X-35）2+225O,

06/=-10<0,抛物线开口向下，抛物线有最大值，

团对称轴为m35>32,在对称轴左侧，卬随x的增大而增大，

回当后32时，每月利润最大为VV=-10x9+2250=2160元，

团当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元.

22.（10分）如图，48为。。的直径，△ACD内接于。。，且C£>_LAB,连接8C,在A8的延长线上取一

点E,使得NEG?=N6。）.

⑴求证：CE为。。的切线;

⑵若的半径为2,NC4£>=45。时，求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见详解

【详解】（1）证明：连接OC,如下图:

c

回oc=*

但“）CB=NOBC,

⑦ZECB=NBCD,

团Z.OCB+NECB=ZOBC+/BCD,

图CD_LAB,

0ZOBC+ZBCD=9O°,

0NOCE=NOCB+NECB=90°,

乂EOC为。。的半径，

（3CE为。。的切线.

（2）解：①CQ1AB,A4为。。的宜.径，

回BC=8。，

^]ZBAC=ZBAD,

0ZBOC=2/BAC=2/CAD=45°,

_450^22_4

"扇形皿=三

0ZOCE=9O°,

0ZCEO=45°=ZBOC,

0OC=CE=2,

0StOCE=；OCCE=gx2x2=2,

0

$因影=S.OCE~$扇形80c=2--=—^—.

23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形48co为正方形，已知点4。的坐标分别为（0,-6）、（3,-7）,

点B、C在第四象限内.

⑴点。的坐标为二

⑵将正方形人AC、。以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，所得四边形记为正方形A5'CD.若/秒后，

点B、。的对应点夕、加正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时r值以及这个反比例函

数的表达式；

⑶在（2）的情况下，是否存在工轴上的点p和反比例函数图像上的点Q,使得以2、Q、以四个点为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴（1,-3）

⑵此时./的值为9彳；反比例函数解析式为），=6?；

2x

⑶存在，满足要求点。的坐标为序8）或停4）或（一3）

【详解】（1）如图，过点B作8瓦Ly轴，垂足为点E，过点。作，N轴，垂足为点尸，则ZAEB=DFA^O0,

DF=3,AF=1<

•.•四边形4BCD是正方形，

：.AB=AD^ZBAE>=90°,

ZDAF+ZBAE=ZDAF+NAO产工X)。，

:.ZBAE=ZADF.

.•.△ABEMWAF，

.\DF=AE=3,AF=BE=\,

:.OE=OA-AE=3,

所以点8的坐标为。，-3)；

(2)由题意，得正方形AA6沿y轴向上平移了2f个单位长度.

•••点8的坐标为(1,一3),O的坐标为(3,-7),

B'和以的坐标分别为8'(1,-3+2小。(3,-7+2/),

设点B',D0落在反比例函数丁=K(2工0)的图像上，

X

O

则上=lx(-3+27)=3x(-7+2/),解得/=—,

2

所以解得女=6,

即这个反比例函数的表达式为y=9；

X

C)存在x轴上的点尸和反比例函数图像上的点。.使得以尸，Q,B\N四点为定点的四边形是平行四

边形.

设P(〃,0),由(2)知B'和加点的坐标分别为夕(1,6),。'(3,2),

当夕。为平行四边形的边时，则户。团笈。，RMQP,

•••点。的坐标为(〃+2,4)或(〃-2,-4),

杷Q(〃+2,4)代入)，=?中，得4(H+2)=6,解得〃=—；

..•点。的坐标为(94),

把。(〃一2,T)代入)，=自中，得4(〃-2)=-6,解得〃=；

•XZ

.・•点Q的坐标为卜去"4}

当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为(2,4),

尸。的中点坐标为（2,4）,

••.Q点的坐标为（-4-〃,8）,把。点坐标带入y=q6中，得8（-〃-4）=6,解得〃=—?IQ,

点Q的坐标为（1,8）,

综上所述，满足要求的点Q的坐标为81或住"或（一:，-4、

24.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线），=,M+2X+C（氏c•为常数）的对称轴为直线x=l,与），轴交

点坐标为（0,