2025-2026学年人教B版高二数学第三次月考卷（解析版）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.I可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知直线4：x-y-4=0与32x-2y-7=0,则乙与乙之间的距离为（）

A.立B.也C.—D.3

422

【答案】A

【详解】由题意直线4：2]-2），-8=0与公2]-2），-7=0平行，

,|-8-（-7）|V2

所以4与4之间的距离为d=/,=—,

V22+（-2）24

故选:A

2

2.抛物线），=2px（p>0）的焦点与双曲线3-），2=1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）

A.x=-5B.x=-4C.x=-41D.x=—2

【答案】D

【详解】抛物线r=2px（P>o）的焦点为o）

双曲线]-），2=1的右焦点为（2,0）,

则;〃=2,故〃=4,即抛物线为丁=8工，

则其准线方程为x=-2.

故选:D.

3.从5名学生中选择4人对A,B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人

破译，则不同的人员安排共有（）

A.40种B.48种C.30种D.72种

【答案】C

【详解】从5名学生中选择4人，共有C；=5种；

将4人分成两组，共有窄；-3种；再将2组进行全排列，对应A,。两种文件，共有A；=2种,

则不同的人员安排共有5x3x2=30种.

故选：C

4.己知直线）」4=攵（1+3）与圆f+（），—2『=4相交，则实数k的取值范围为（）

A.-T°J

C._8,一£）U（0，+O0）

【答案】A

【详解】圆f+（y-2）2=4的圆心为（0,2）,半径为2,

若直线y-4=k（x+3）与圆八（）,一2）2=4相交,

则j-jr；—j-v2,即|3攵+2]<2\lk2+1,

两边同时平方化简可得与2+122<0,解得-不■<&<（）,

所以实数攵的取值范围为Hi，。'.

故选：A

5.已知平面ABC与平面49。所成的二面角C—AB-。的大小为W，ACYAB.BD±,且

AB=3,AC=2,BD=4,则CD的长为（）

A.旧B.5C.>/29D.737

【答案】A

【详解】•・•平面A8c与平面A3。所成的二面角C-A4—Q的大小为?，AC1AB,BD1AB,

AC,3。的夹角为A3.8Q=0,CAZM=（）,

CA-BD=-ACBD=-\AC^\B^cos-=-4,

因为CQ=C4+A8+B。，

所以CO2=(C4+48+8O)2=C42+A82+8O2+2C4A8+2A8BO+2C4-8。

=C42+/A«2+^/y+2CA^ZJ=22+32+42-8=21>

故|吐氏

故选:A.

22

6.已知双曲线m>0）的虚半轴长为行,尸为双曲线C的左焦点，点P为双曲线。的右支

上的动点，点A的坐标为（T3）,则四|+陷的最小值为（）

A.8B.9C.—19D.10

【答案】B

【详解】由双曲线。的虚半轴长为石，有疝讦=逐，可得加=4,

可得双曲线C的方程为《-二=1,可得r（-3,0）,实轴长为4,

设双曲线的右焦点为尸,又由双曲线的性质有|H1+|F=|PF|+|F+4RAF1+4=9,故|PF|+附的最小

值为9.

故选：B.

7.在三棱锥O-A3C中，OA=OB=OC=\f48=8C=CA=&，点尸满足OP="，OA+〃OB+/OC,若实数

机，〃，/满足〃叶2〃+3/=3,则OP的最小值为（）

A.6B.述C.—3\/14

5714

【答案】D

【详解】因为3=08=1，AB=M，

所以A82=OA2+O82,即。4_L03,

同理可证04,OB,OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

!?

因为〃?+2〃+3/=3,所以7〃+二〃+/=1，

33

—I—.?1--一3——

所以++设30A=0Q，^O13=OEf

则0P.=；I〃?OO一+(2〃OE一+/O一C,所以P,C,D,E四点共面,

因为0((),0,0),C(O,O,i),。(3,0,0),£^0,1,0

所以CD=(3,0「1).DE=f-3.1.ol

设平面C£>E的•个法向量为〃=(x,y,z),

5八(3x-z=0

n-CD=0/、

则.，即1,3八，取x=l,则〃=123,

n-DE=0l-3x+-y=0

因为oc=(o,o,i),所以OP的最小值为!_^=答

故选：D.

8.已知椭圆呜+>1(4>〃>0)的左,右两焦点分别是巴F2,其中%胃=2c.直线

/:Y=MX+C)(AWR)与椭圆交于A,8两点.则下列说法中正确的有()

A.当我工()时，AAB鸟的周长为勿+2c

62

B.当女工0时，若A8的中点为M,则0w•&='

a

C.若|4B|的最小值为3c,则椭圆的熟心率e=；

D.若A£.AE=3c2则椭圆的离心率的取值范围是

【答案】D

【详解】因为弦过椭圆的左焦点片，

所以△他用的周长为|AB|+|A周+忸&=M制+|明|+|A周+怛闾=%,所以A错误;

设咐“J,5（列加,则可詈，宥），有％=充，（号,

乙）Aj।人］人2

所以&QM•&=心・0=4^4,

工|+工2内一工2芍一石

22»2

则有自”/=平与=一二，所以B错误；

X-x2a

由过焦点的弦中垂直J」轴的弦最短，则的最小值为"1,

a

则有"-=3\]片-廿=3c,&P2a2-3ac-2c2=0>解得a=2c,

a

所以e=£=：,所以C错误；

a2

设I"闾=24°2=/一⑹，AK=(—Cf,_y),A^=(c—%,—)：),

2

222222

所以A£.AF2=xf-c+y；=E—x；+a-2cG[a-2c\a-c],

则有a2_2cT3c可得e=5w¥，；，故D正确.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若（工-9）”的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）

A.〃=8

B.各项二项式系数和为128

C.二项式系数最大项有2项

D.第5项系数等于-35

【答案】BC

【详解】对于A,*-｛）"的二项展开式共有8项，贝IJ/2+1=8,即〃=7,故A错误;

对于B,二项式展开式中各项的二项式系数的和为2,=128，故B正确;

对于C,因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大,

故C正确；

对于D,因＜=（4?.（­[）4=35,1，则第5项的系数是35,故D错误.

故选：BC.

10.如图，在棱长为1的正方体人BCD-A,qGR中，E,尸分别是A3,AO的中点，M为线段GA上的

动点，则下列说法正确的是（）

A.三棱锥M-AE”的体积为定值

B.不存在点例，使得

C.直线MF与平面8CG4所成角的正切值的最大值为苧

D.Dm;4RG时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为条

Ooo

【答案】BCD

【详解】如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系：C（l,l,0）,C,（1,1,1）,呜,0,0）,尸归，（）

4（1,。」）.

设。仞=〃?，则M点坐标为（〃7,1』）.

对于A：.GR不与平面AE尸平行，二.M到面AE产的距离不为定值,

•••三楂锥M-AE尸的体积不为定值，A错误:

对于B：所+生，。），ME=^-m-\-\

13

若EFLME,则功.例£=0，+—x(-l)=0解得机=],又〃7£[05，

2

故不存在这样的点M，使得£F_LME,B正确;

对于C：取平面4CG场的法向量为〃=。,0,0）,叱=卜”,一:1

/\n-MF

cos(n,MF)=------

则'/同MF

设直线叱与平面BCG用的夹角为0，0c0，］，

sing="?_______nr-sin。2\[5

贝|J一7,贝i]cos。=Vl-sin2^=

『,5,tan0=----=----m.

m~+-cos。5

4

又加«0』，故tanOwjo,平］,即直线例/与平面BCC4所成角的正切值的最大值为不，C正确;

J”}

对于D：时，MEF=EM=

6

11八

——x+—v=0

m-EF=022'

设平面ME/的法向晟〃7=(x,y,z),、一，则

m-EM=0-}+y+z=0

9}

不妨设x=l,则)，=1,z=--,/n=|1,1,-:是平面尸的•个法向量,

3I

显然球心OM=\-

,,

322>

OM'〃?|^/22外接球半径/?=3+1+1=虫,

则0到面MEF的距离d=

|/zz|4422

••・我面圆半径的平方为产泉所以5=冗产=第兀，D正确,

OOOO

(—>0)与圆加：(工一6)2+()，-4『=64相交于心。两点，线段A8恰为圆

M的直径，且直线AA过抛物线W的焦点产，动直线/过点尸且与抛物线交于C。两点，则以下结论正确的

是()

A.〃二4B.|CF|+9|DF|>36

C.△C/M的周长可以为14D.当S.OF=3s△Do-时，|CD|=12

【答案】AC

【详解】对于A,如图，

分别过A及M作抛物线准线的垂线，垂足分别为4，M,,

由千圆的直径A8过焦点尸，则M（6,4）到准线的距离为

凶网二网业二网登，

111222

又|MMj=6+g所以6+齐8,解得〃=4,故A正确;

对于B,设直线CO的方程为1="+2,。（内方），仇孙）”，

x=niv+2,

又抛物线W：），2=8%，由・［）/年「可得"叫爪。,

22

则弘+必=86,y,y2=-16,-=今•今=4,

88

|Cf|+9|DF|=x,+2+9(x2+2)=x1+—+20>2+20=32

x\

（当且仅当％=6时等号成立），故B错误；

对于C,由“（6、4）,打2,0）,所以四3=4a.设△CfM的冏长为/,

过点。向抛物线准线作垂线，垂足为G，

则/=|。耳+|尸昭+仁河|=4e+|0同+仁M=4&+仁0||+|。闸"夜+眼必|=4夜+8,

周长的最小值为4及+8<14，故C正确：

对于D,如图：

因为沁=3=隐=注，所以$=3为+4,

^△DOF1"尸1七十2

/、?

乂因为工丙=4,则(3%+4丘=4,解得超=工或一2(舍)，

979

所以芭=6,即|8|二芭+占+〃=6+：+4=半，故D错误.

故选：AC

第二部分(非选择题共92分)

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知2A；”=C：：：A3则〃=.

【答案】5

【详解】2AM=C：；：A>则2・2〃・(2〃-1)=(〃+4).〃.(〃-1),解得〃=5,经检验满足题意.

故答案为：5

13.设焦点为0尸2的椭圆?+J=l(a＞。)上的一点户也在抛物线y2=x上，抛物线的焦点为工，若

9

归用=：,则”66的面积是.

【答案】2&

【详解】由对称性，不妨设点户在X轴的上方，由题意得居(；,0),

如

》叫=~+；=%所以〃=2,即限闾，

代入椭圆方程解得"2=8,所以。2=/一6=8-4=4,即C=2,

所以忻用二4'”心=gx4x收=2近.

故答案为：20

14.若圆口：/+)，2=1与圆0：“一好+(八/7)2=9(/Z,eR)有且仅有2条公切线，则即一4。+5]的取值

范围为.

【答案】[0,25)

【详解】由圆«：/十V=i,可得圆心Q(o,o),半径n=i,

圆。2:(x-a)2+(y]=9,可得圆心O?(〃,〃),半径与=3.

因为圆。「与圆。2有且仅有2条公切线，可得圆。|与圆O?相交，

又因为19。21=&『+片s(2,4),

所以点(4〃)在以原点(0,0)为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部(不含边界),

因为|3a-4〃+5|=5XN："5|,

所以|3a-助+5|代表点(a,〃)到直线版-”+5=0的距离的5倍，

乂因为圆心(0,())到直线3x-4)，+5=0的距离为1,

所以圆环内的点(。力)到直线3x-4y+5=()的距离色二|叱U[[),5),

所以囱-助+5］的取值范围为［0,25）.

故答案为：［0,25）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知（3/+4。2y的展开式中有一项是，加2斤.

（1）求〃的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中系数最大的项.

【详解】⑴（3"+4/）”的展开式的通项加=。（3/厂（4/7=《3"-，42”-3次...............2分

3〃-3r=21

由题意＜2r=8,解得〃=4，〃=U,〃?=G\X37X44,故〃的值是11......................4分

吁

（2）由二项式系数的性质知，（3/+4/广的展开式中二项式系数最大的项是第6项（与第7项6分

其值分别为:Z,=C:X3"X45X小X即=344881152Gb,

7；=C^,X35X46Xa'5xb'2=459841536，W..................................................8分

（3）（3苏+4/）”的展开式的第1项的系数%=C；3~4"其中「=0」,…/I.

当,二。』2…/。时，3=43：一工3..........

10分

a川.3~4，3r+l

因此，当时，生旦＞1,UPa＞a；当厂时，生1

r+2r+l<1，即J<J

73+17%+|

所以/<4</<%</<见<%<%,%>%>%>%>%>/，所以,最大.

故（3/+4/）”的展开式的第7项的系数最大，且7；=459841536，*..........................13分

16.（15分）如图，四棱锥P-ABCZ）中，底面4BC。为平行四边形，NDAB=60。,AB=2AD=2,PD1.

底面ABCD.

⑴证明：PALBDt

（2）^Pn=AD,求二面角A—P8—C的余弦俏：

⑶在（2）的条件下，求点A到平面P8C的距离.

【详解】（1）因为NDA3=60。，AB=2AD=2^

则力序=4+l-2x2xlxcos60O=3,即。8=6,

所以在△A3。中AD2+DB2=AB-r所以BO_LA。............................................2分

因为PD_L底面ABC。，BOu平面4BCD,所以P/）_L4D,

囚为AOIPD=D,平面PA。，

所以平面240,乂因为RAu平面PA。，所以PA工BD；

（2）因为P£>_L底面A4CO,AQu平面A3CO,所以...............................5分

结合（1）可知。EOAOB两两垂直，

以D为坐标原点，DA.OROP为X乂z轴建立如图所示空间直角坐标系,

所以P（O,O,1）,A（1,O,O）,4（0,6,0）,C（-1,X/3,0）,

所以P8=（0,G,—1）,PA=（1,O,-1）,PC=（-1,V3,-1）,......................................7分

设平面HPB的法向量。=（%,加马）,

PBn=-Z]=0

则取内=6，则力=（6』,6）,......................................9分

PA-n=Xj-zt=0

设平面C股的法向量m二（9,力,zJ,

PB•ni-—z,=0/r—\

则-J,取力=1，则〃?=0,1,6,

PC-in--x2+V3y2-z2=0

611〃.〃？42币

所以…=而不=下

由图可知该二面角为钝缸故二面角A-*C的余弦值为一苧

12分

（3）由（2）知平面P8C的法向量为机=（O,1,G）,P/4=（l,0,-l）,

\PA-niGx/3

所以点A到平面PBC的距离d=L--।=-^==15分

|w|V1+3T

17.（15分）已知过点4—1,0）的直线/与圆C:/+（）,-3）2=4相交于P、。两点，直线mx+3），+6=0.

（1）当|2。|=26时，，求直线/的方程;

（2）设7为直线机上的动点，过丁作圆。的两条切线7U、TH,切点分别为G、H,求四边形TGC”面积的

最小值;

（3）是否存在直线/,使得向量OP+OQ与AC共线？如果存在，求出直线/的方程；如果不存在，请说明理

由.

【详解】（1）设弦尸。的中点为M,

①当直线/的斜率不存在时，易知x=-l符合题意.1分

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为），=**+1）,即京一丁+4=。,

;俨@=26，=则由|。刈=垮堇=1，解得k=

k~+13

此时直线/的方程为4X—3），+4=0,

故直线/的方程为x=-l或4x—3），+4=。：4分

（2）由于7U、m为圆C的两条切线,

所以5rcc//=2Sroe=2.-|TGI-ICGk2|TOI.6分

乂|7U=；|CT|2-22,而ICT|的最小值为点C到直线m的距离d.

|3x3+6|品所以叽『手，

x/io

故四边形ASC”面积的最小值为旧；......................................................9分

（3）易知直线/的斜率不为零，设直线/的方程为x=s-i,P（x，y）、。（乙，必），

x=my-1

山卜+（），—3『二4可得（加2+1）），2—（2〃2+6））,+6=0,

可得△=（2m+6）2-4（〃P+l）x6,

।2〃i+6b,、］2m+66//I-2,,..

所以y+先=1-；，所以占+巧=52工［-2=.............................................................................U分

nr+1m+1m+1

则OQ+OQ=（X+w，y+%），所以。。+。。=:;;+；；；：；•

又A（-1,O）,C（0,3）,所以AC=（L3）,

若何量OP+OQ与AC共线，则”W=3x警

/n+1m+1

由**,=3x"—可得2w+6=18加-6,解得帆=S.............................................................13分

W+1W+1164

当〃得时,

A=——-4x—x6>0

UJ16

所以存在直线/,使得向量。尸+OQ与AC'共线，

3

直线/的方程为工=：y一1,即4x一3），+4=0..................................................................................................15分

4

22rr

18.（17分）已知椭圆七：二+马=1标>/>0）的左右顶点分别为4，4,离心率为四,点r（QD,△S4

a-b-2

的面积为2.

⑴求椭圆后的方程；

（2）过点7且斜率为攵的直线交椭圆E于点G。，线段CO的垂直平分线交丁轴于点。，点。关于直线CO的

对称点为P.若四边形PC。。为正方形，求k的值.

【详解】（D已知A（-a，o），4（%0）,H0,1）,

则△L4]&的面积S=；x2ax1=2,解得。=2.................................................................................................2分

因为离心率e=£=变，。=2,所以°=夜.

a2

又因为，=/?'+c',a=2,c=正,所以//二c/-c，=4—2=2.

所以椭圆E的方程为%^I................................................................................................................5分

(2)将直线y=履+1与椭圆寸+2y2=4联立得(2公+1)丁+46一2=0.

根据韦达定理，X.+X=—J—,X^=—y—......................................................................................8分

2NK।I乙卜iI

-AL2

计算y+%=+8)+2=+2=,

-2k1

从而得到线段CD中点坐标为(术、，壮7)......................................................................................11分

ZA।1Z1K।1

然后求线段co垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为-：，

根据点斜式可得垂直平分线方程为)，-二一；削)，

2K+1k2Ar+l

进而得到点。(。，一:^^)..................................................................13分

乙KI1

最后根据四边形PCQD为正方形时QC1QD：

则。0・QO=(西方+-J--)(x2,儿+T4—■)

NA"i1NA"i1

展开得x,.r2+他+1+；)(京2+1+"J

2k~+12k'+1

出咛/i/曲、i,〃2八k(2k~+2)、2k~+2-)

进一步化简为(K+l)xx,+——------x(A-+x,)+(—-^——)-.................................................................15分

t2k2+\"2K+1

—Ak一2(女？+])飘2公+2)-4k,242+22

将…=为“丙=赤17代入得'

।12A2+12k2+\2产+12公+1

17分

19.(17分)已知向量O尸=(/ws0,rsin0)绕着原点。沿逆时针方向旋转。角可得到向量

O户=(eos(e+a),，sin(9+a)).

⑴求点r("o)绕着原点。沿逆时针方向旋转§得到的点厂的2标；

⑵若曲线E上的所有点绕着原点逆时针方向旋转9得到曲线£对应的方程为5/+5)产_2xy=24.

4

(i)求曲线E的方程;

（ii）设直线/过定点卜