2025-2026学年人教版八年级数学上学期期末模拟测试练习卷

期末模拟测试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

I.（2分）（2024•什邠市模拟）64的算术平方根是（）

A.±4B.±8C.4D.8

2.（2分）（2024•南山区校级三模）下列图形中，是轴对称图形的是（）

AB鸥OD储

3.（2分）（2024秋•邹城市期中）如图是作一个角等于己知角的尺规作图，图中/人OB=NA'08'的依

据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

4.（2分）（2025春­于洪区期末）下列各式从左到右变形正确的是（）

-yyx+11

A.—=——B.-----=-

-xxx+33

X+3y-y2

Cg=D•（给2=总

5.（2分）（2024•东莞市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.V8C.V30D.V12

6.（2分）（2025春•崇明区期中）在下列事件中，确定事件有（）

A.买一张体育彩票，中大奖

B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上

C.在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只黄球

D.预备（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月

7.（2分）（2025秋•慈溪市期中）估计近在哪两个相邻整数之间（）

A.1<>/15<2B.2</15<3C.3<V15<4D.4<V15<5

8.（2分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,下面的三角形是直角三角形的是（）

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.（2分）（2024•南昌二模）当后彳彳有意义时，，〃的取值范目是.

1（）.（2分）（2024•西城区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,NDAE=NBAC,连接4。，CE.只

需添加一个条件即可证明这个条件可以是（写出一个即可）.

II.（2分）（2024秋•房山区期末）北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力上项目中，

必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选

中篮球的可能性大小为.

12.（2分）（2024•雁塔区校级模拟）比较大小：3V10.（填“>”、"V”或“=”）

13.（2分）（2025春•市中区期中）如图，在△A4C中，N3=80",点。在△48C内部，巨到三边的距

离相等，则0.

14.（2分）（2024•昌邑区校级期中）在△然（：中，若N4=50",ZC=65°,则△43C等腰三

角形.（填“是”或“不是”）

15.（2分）（2024秋•义乌市月考）如图，在△A8C中，AB=AC=\0,BC=6,OE是AB的中垂线，则△

BQC的周长为.

A

BC

16,（2分）若储蓄的本息和为W.本金为小利率为从存款期数为工

（1）写出W与小b,7之间的关系式为;

（2）若一年定期存款年利率为4.14%,现存入银行1000元，则明年的今日可得本息和为

元.

三,解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）（2025春•越秀区校级期中）计算：（g+或）x逐一遍.

18.（5分）（2025春•碑林区校级期中）化简：广：9,+£^£^2_?

Q2+6Q+9a4-32a

13

⑸（5分）（2024•峡江县期末）解方程：--1=—.

20.（5分）（2025秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC与△BA。中，/CBA=/DAB,NC=/。，AC

21.（5分）（2025•汉台区三模）先化简子三・（1一二7）,然后再从1,-1,2,-2四个数中选择一

mi-lm+1

个合适的数作为in的值代入求值.

22.（5分）（2025•五华区校级模拟）如图，BA=BD,BC=BE,NABD=NCBE.求证：NA=N/）.

23.（6分）据《新华日报》报道，东方航空公司江苏公司为了保证1996年12月初开始的C检工作正常

进行，事先组织机务人员到外地跟班学习C检工作，后又具体分析研究，周密地制订出C检的具体实

施方案，因而工作效率提高了30%.经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成了。检，为公

司节约了数十万元的维修费.用.请问：原计划多少天完成C检？（根据飞机维护规定，一架飞机每

飞行25（）/?,要进行一次定期检查，称为A检；每飞行3000,?,就要进行一次中大修性质的全面维护、

保养、检盒_L作，称为C检.1

24.（6分）（2024•海淀区校级期末）平行四边形A3CD中，AC与3。交于点O.”为线段。C上一动点

（不与点C重合），点N在射线。。上，连接AN、MN.

（1）如图1,若NAOD=60°,CM=ON,当M是OC中点时，求NNAC的度数;

（2）如图2,若NAOQ=45°,AN=MN.

①依题意补全图形；

②请用等式表示线段CM、ON之间的数量关系并证明.

25.（6分）（2024秋•莆田期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执

行配送任务.如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均

为切?，其运行速度均为VW/5（7<0.4）当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为0.4〃小，0.6/n/.y.规

定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一

（2）请你判断•楼仓库设置在公司哪•侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由.

26.（6分）（2024春•六盘水期末）在△A/3C中，AB=AC,N8AC=90。，点。在边/3C上.

（I）如图1,将线段绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE,连接EB.求证：BELBC；

（2）如图2,在线段取一点尸，使得7）尸一Z）C,过点。作交AC于点H,连接〃尸,

过点B作BG垂直于“尸的延长线于点G,BG=AH,连接AG,GD.

①求证：△4/7。丝△GFD；

②若4。=2VL求AG的长.

AA

27.（7分）（2025秋•台江区校级月考）在RlZ\A6C中，ZBAC=90n,AB=AC,点。为直线笈C上的一

个动点（点。不与点8、C重合），以AD为边作RtZ\AOE,ND4E=90°,AD=AE,连接CE.

（1）发现问题：如图①，当点。在边8c上时，

①请判断8。和CE之间的数量关系为,位置关系为；并完成证明；

②请直接写出AC、CE、CO三者之间的数量关系；

（2）尝试探究：如图②，当点。在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中8C、CE、C。之间存

在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若小成立，请写出新的数量关系，并说明理由.

28.（7分）（2022春•荽城区校级期中）南宋数学家杨辉在研究（a+方）〃展开式系数时，采用了一种特殊

到一般的方法，他将（。+〃）°,（。+。）I（。+〃）2,（a+b）3,……，展开后的各项系数通成如图所示

的三角阵，在数学上称之为杨辉三角.已知（a+b）°=1,Ca+b）}=a+b,Ca+b）2=cr+2ab^lr.

1,

j]......................(a+犷

\/i2

121-----------------(a+b)

w

1331.....................•(a+bU

（1）按杨辉三角写出（。+〃）4的展开式：.

（2）按杨辉三角写出第〃行（〃24）第3个数y与〃之间的关系式：

（3）按杨辉三角，计算：1+5X2+10X22+10X23+5X24+25.

期末模拟测试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.（2分）（2024•什加市模拟）64的算术平方根是（）

A.±4B.±8C.4D.8

【考点】算术平方根.

【专题】计算题；符号意识.

【答案】D

【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.

【解答】解：64的算术平方根是8.

故选：D.

【点评】本题考查了算术平方根的定义和性质，只需学生熟冻掌握算术平方根的定义，即可完成.

2.（2分）（2024•南山区校级三模）下列图形中，是轴对称图形的是（）

◎B桃09

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A、C、D选项□的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折直，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形；

8选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对

称图形；

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.（2分）（2024秋•邹城市期中）如图是作一个角等于已知角的尺规作图，图中O夕的依

据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定与性质.

【专题】作图题；几何直观.

【答案】A

【分析】根据作图方法可得OD=O'ir,oc=o'c,CD=C'D',则可由sss证明△cooga

CO'D',从而证明NAOB=N/VOB'.

【解答】解：由作图方法可知0。=0'。'，OC=O,C,CD=C。'，

AACOD^AC,O'O'（SSS）.

AZAOB=ZAfOB',

故选:A.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图一作与己知角相等的角，掌握作与己知角

相等的角的方法是解题的关键.

4.（2分）（2025春•于洪区期末）下列各式从左到右变形正确的是（）

yx+1_1

A..—-V=-B.

-XXx+3-3

x+3

C.——=x-3D.

【考点】分式的乘除法；分式的基本性质.

【专题】分式；运算能力.

【答案】。

【分析】利用分式的乘除法则及性质逐项判断即可.

【解答】解：则A不符合题意，

T4-1

M是最简分式,则8不符合题意，

x+3x+31

,则C不符合题意,

X2-9(X+3)(X-3)X-3

（给2=.，则。符合题意,

故选：D.

【点评】本题考查分式的乘除法，分式的基本性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

5.（2分）（2024•东莞市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.gB.V8C.V30D.712

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、电=考,故A不符合题意；

B、V8=2V2,故6不符合题意；

C、同是最简二次根式，故C符合题意；

。、V12=2V3,故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

6.（2分）（2025春•崇明区期中）在下列事件中，确定事件有（）

A.买一张体育彩票，中大奖

B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上

C.在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只黄球

D.预备（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】D

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【解答】解：A、买一张体育彩票，中大奖，是随机事件，不符合题意；

乐抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；

C、在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只黄球，是随机事件，不符合题意；

。、预备（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月，是确定事件，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考杳的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定

条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

7.（2分）（2025秋•慈溪市期中）估计代在哪两个相邻整数之间（）

A.1<715<2B.2<715<3C.3</15<4D.4<715<5

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；数感；运算能力.

【答案】C

【分析】根据算术平方根的定义估算无理数质的大小即可.

［解答］VV9<V15<V16.

故选：C.

【点评】本题估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键.

8.（2分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,下面的三角形是直角三角形的是（）

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、三角形的三边长分别为3,VFT2^=2V2,VFT2^=2V2,

（2V2）2+（2V2）24，

・•・选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

R、三角形的三边长分别为V22十12二遍,A/32+I2=/10,V12+42=717,

,:（V5）2+（V10）2#（V17）2,

・••选项8中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

C、三角形的三边长分别为，3?+I2=国,V32+I2=V10,"42+22=2百,

*/（710）2+（V10）2=（2V5）2,

・•・选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意；

D、三角形的三边长分别为V3,+/=g,V32+P=VTO,。22+22=2止,

•・•（2\/2）2+（/IO）2K（/id）2,

・♦・选项。中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关

键.

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.（2分）（2024•南昌二模）当而钳有意义M,m的取值范目是/心-4.

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】，"2-4.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：〃7+420,

解得：62-4,

故答案为：〃4.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

10.（2分）（2024•西城区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,ZDAE=ZBAC,连接8Q,CE.只

需添加一个条件即可证明△A8。式这个条件可以是AQ=A£（写出一个即可）.

【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】AD-AE（答案不唯一）.

【分析】先根据角的和差得到NB4D=NC4E,然后根据全等三角形的判定方法即可解答.

【解答】解：添加的条件是4D=AE,

理由是：VZDAE=ZBAC,

：,ZDAE-ZDAC=ZBAC-/QAC,

：.ZBAD=ZCAE,

在△人BO和△ACE中,

AB=AC

乙BAD=Z.CAEf

AD=AE

•）△AB。也△ACE（SAS）,

故答案为：AD=AE（答案不晚一）.

【点评】本题考杳了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,A4S,SSS,两直角三角形切的还有“L

II.（2分）（2024秋•房山区期末）北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力上项目中，

必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选

中篮球的可能性大小为7.

一5一

【考点】可能性的大小；概率公式.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】7.

【分析】直接利用概率公式计算即可得出他选中篮球的可能性大小.

【解答】解：•・•从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，

・••小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为3

故答案为：

【点评】本题考查了随机事件可能性的大小以及概率公式，解题的关键是掌握概率的计算方法.

12.（2分）（2024•雁塔区校级模拟）比较大小：3V网.（填或“=”）

【考点】实数大小比较；算术平方根.

【专题】实数；数感.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据算术平方根的性质进行比较即可.

【解答】解：・・,9V10,

/.3<V10,

故答案为：V.

【点评】本题考查实数的大小比较及算术平方根，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键.

13.（2分）（2025春•市中区期中）如图，在△ABC中，N8=80°,点。在△ABC内部，上到三边的距

离相等，则N4OC=130°.

【考点】角平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】130.

【分析】利用角平分线的性质定理的逆定理得到人"平分NBAC,。。平分/人8,所以

11

ZDCA=然后根据三角形内角和定理得到NADC=90°+1ZB.

【解答】解：,・•点。在△ABC内部，且到三边的距离相等，

••・A。平分/BAC,CO平分NACB,

・•・ZDAC=〃B4C,ZDCA=

VZ4DC=180°-7DAC-/DCA,

：.ZADC=180°-黄NB4C+N4CB）,

•・・/84C+/AC8=180°-NB,

/.ZADC=180°（180°-ZB）=90°+1zB,

VZB=80°,

••・NADC=9（T+1x80°=130°.

故答案为：130.

【点评】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理：在先的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的

角平分线上.

14.（2分）（2024♦昌邑区校级期中）在△A8C中，若N3=50°,NC=65°,则△ABC是等腰三角

形.（填“是”或“不是”）

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】是.

【分析】根据三角形内角和定理可得NA的度数，从而得到/A=NC,进而得到8c=A8,即可求解.

【解答】解：VZB=50°,NC=65°,

，NA=I8O0-ZB-ZC=65°,

，NA=NC,

：,BC=AB,

•••△ABC是等腰三角形.

故答案为：是

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运

用.

15.(2分)(2024秋•义乌市月考)如图，在△ABC中，AB=AC=\(),BC=6,OE是48的中垂线，则4

8OC的周长为16.

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】16.

【分析】由OE是48的中垂线，得至UBO=A。，AC=18,BC=\2,即可求解.

【解答】解：・・・OE是AB的中垂线，

：,BD=AD,

•・・A/3=AC=10,BC=6,

：,^BDC的周长为=8C+CD+8O=8C+AO+CO=AC+BC=10+6=16,

故答案为：16.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

16.(2分)若储蓄的本息和为W.本金为〃，利率为江存款期数为7.

(1)写出W与小b,7之间的关系式为W=a+a”；

(2)若•年定期存款年利率为4.14%,现存入银行1000元，则明年的今H可得本息和为1041.4元.

【考点】列代数式.

【专题】实数；整式；运算能力.

【答案】(1)W=a+abT；(2)1041.4.

【分析】(1)根据本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数列式即可；

(2)将4=1000,5=4.14%,7=1代入(1)中所求式子，计算即可.

【解答】解：(1)根据题意可得:W=a+abT.

故答案为；W=a\abT；

（2）VW=a+abT,

・••当4=1000,6=4.14%,T=1时，

W=1000+1000X4.14%X1=1041.4（元）.

则明年的今口可得本息和为1041.4元.

故答案为：1041.4.

【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是掌握本息却的公式，灵活运用所学知识解决

问题.

三,解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）（2025春•越秀区校级期中）计算：（g+或）x逐一遍.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】6.

【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后合并同类二次根式即可.

【解答】解：原式二412X3+713忑一遍

=6+遍—y/6

=6

【点评】本题考杳了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题

的关键.

国（5分）（2。25春•碑林区校级期中）化简：西Q2内—9.*一31右2—Q

【考点】分式的混合运算.

【专题】分式；运算能力.

【答案】:.

【分析】先把除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=（+W，然后通分后进行同分母的加法运算,

最后化简分式即可.

(Q+3)(Q—3).Q+3a-2

【解答】解：原式=+

(a+3)2a(a-3)2a

1,a-2

a+~2T

2+a-2

2a

二五

1

=2'

【点评】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的

运算律进行灵活运算.

13

19.（5分）（2024•峡江县期末）解方程：-1=.

x-22-x

【考点】解分式方程.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【答案】x=6.

【分析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可.

【解答】解：原方程两边同乘（x-2）,去分母得：1-G-2）=-3,

去括号得：1-x+2=-3,

移项，合并同类项得：-x=-6,

系数化为1得：4=6,

检验：将x=6代入（x-2）得：6-2=4^0,

故原分式方程的解为：x=6.

【点评】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验.

20.（5分）（2025秋•锡山区校级月考）如图，在与中，NCBA=NDAB,NC=ND,AC

与BD交于点、E.求证：ZXA6cg△MO.

【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】证明：ZCBA=ZDAB,NC=/D,AC与BO交于点£,

在△A3C与△8A。中，

LCBA=乙DAB

Z.C=Z.D,

AB=BA

•••△ABCdBA。（AAS）.

【分析】利用4As即可证明AABC丝△840.

【解答】证明：•••NCR4=NDAB,ZC=ZD,AC与BO交于点石,

在△ABC与△84。中,

Z.CBA=Z.DAB

乙C=LD

AB=BA

•••△•々△/MO(AAS).

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

21.（5分）（2025•汉台区三模）先化简—7+（1一二-），然后再从I，7,2,-2四个数中选择一

mz-lm+1

个合适的数作为小的值代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【答案】」二，当〃?=2时，值为1；当〃z=-2时，值为一

771-1J

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,根据分式有意义的条件确定X的值.代入计算即可.

m1

【解答】解：—7）

m2-lm+1

m二m

~m2-l~ni+1'

_______m_____m+1

一（m+l）（?n-l）m

1

根据题意，得〃?HO,-1,6#1,

J加的值可以是2或-2.

当〃z=2时，原式k=1；

当m=-2时，原式=/1=

一Z—13

【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

22.（5分）（2025♦五华区校级模拟）如图，BA-BD,BC-BE,/ABD—/CBE.求证：Z/1-ZD.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题：图形的全等：推理能力.

【答案】证明过程见解答.

【分析】利用SAS证明即可解决问题.

【解答】证明：VZABD=ZCBE,

JNABD+NDBC=NCBE+/DBC,

ANABC=NDBE,

在△ABC和△QBE中，

AB=DB

Z.ABC=Z-DBEf

BC=BE

A/\ABC^^DBE（SAS）,

・•・ZA=ZD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到

23.（6分）据《新华日报》报道，东方航空公司江苏公司为了保证1996年12月初开始的C检工作正常

进行，事先组织机务人员到外地跟班学习C检工作，后乂具体分析研究，周密地制订出C检的具体实

施方案，因而工作效率提高了30%.经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成了C检，为公

司节约了数十万元的维修费.用.请问：原计划多少天完成。检？（根据飞机维护规定，一架飞机每

飞行250人要进行一次定期检查，称为A检；每飞行3。00亿就要进行一次中大修性质的全面维护、

保养、检查工作，称为C检.）

【考点】分式方程的应用.

【专题】分式方程及应用；应用意识.

【答案】原计划华天完成。检.

【分析】设原计划X天完成C检，那么原来的工作效率为乙后来的工作效率为（1+30%）•士根据实

XX

际工作效率X实际工作时间=工作总量列出方程，解方程即可.

【解答】解：设原计划x天完成C检，那么原来的工作效率为占后来的工作效率为（1+30%）•士

XX

则依据题意得分式方程[（l+3D%）-i]X（x-5）=1,

解得户苧，

经检验尸竽为原分式方程的解.

答：原计划F天完成c检.

【点评】本题考杳分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.工程问题常用

的等量关系为：工作效率X工作时间=工作总量.

24.（6分）（2024•海淀区校级期末）平行四边形ABC。中，AC与B。交于点。.M为线段OC上一动点

（不与点。重合），点N在射线0。上，连接AMMN.

（1）如图1,若NAOQ=60°,CM=ON,当M是。。中点时，求NNAC的度数；

（2）如图2,若NAOO=45",AN=MN.

①依题意补全图形；

②请用等式表示线段CM、ON之间的数量关系并证明.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；-：角形；图形的全等；等腰一角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能

力；推理能力.

【答案】（1）30°；

（2）①图形见解析；②ON=%M,证明见解析.

【分析】（1）取OA的中点P，连接PN,证0M=0M得/OMN=/ONM,再证NOMN=NONM=

30°,进而证NNAC=NANP,然后证△OPN是等边三角形，得NO/W=60°,即可得出结论；

（2）①依题意补全图形即可；

②过点A作AGJ_8O于点G,过〃作于点〃，证△AOG和是等腰直角三角形，得

AG=^OA=%C,0H=%M,再证aAGN名（A4S）,得AG=NH,即可解决问题.

【解答】解：（1）如图1,取0A的中点P,连接

则OP=AP=^OA,

・・・M是OC中点，

：.OM=CM=

,:CM=ON,

：.0M=0N,

：・4OMN=4ONM,

•：4AOD=4OMNMONM=60°,

；•/OMN=4ONM=30°,

•・•四边形A8C。是平行四边形，

：.OA=OC,

・・・ON=OM=Q,

:,AP=OP=ON,

・•・ZNAC=NANP,

•.•NAOQ=60",

•••△OPN是等边三角形，

・・・NOPN=60°,

,/NOPN=/NAC+/ANP,

:・ZNAC=』/OPN=30。,

即/也4。的度数为30°：

(2)①依题意补全图形如图2；

②ON=^CM,证明如下：

如图3,过点A作AG_L8O于点G,过M作M”_L8。于点儿

则NAGN=NN"M=90°,

VZM()H=ZAOD=45°,

•••△4OG和是等腰直角三角形，

・・・AG=糊4=孝0。，NOM"=45°,OH=庠OM,

♦：AN=MN,

：.ZNAM=ZNMA,

•••/ANG=NAOG+NAC4M=45°+NN4M,4NMH=40MH+4NMA=45°+NNM4,

・•・NANG=/NMH,

在AAGN和中，

乙AGN=乙NHM

LANG=乙NMH,

AN=NM

:•△AGNqANHM(AAS),

:,AG=NH,

V2

：・——OC=ON+OH,

2

V2

（OM+CM）=ON+

2

图3

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判

定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，热练掌握平行

四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

25.（6分）（2024秋•莆田期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执

行配送任务.如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均

为sm，其运行速度均为VW/5（V<0.4）当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为0.4〃为，06mk.规

定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态：②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一

（1）假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含S,I，的代数式表示）

（2）请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明埋由.

【考点】分式的混合运算；列代数式.

【专题】分式；运算能力.

［答案］(1):

(2-5v)(3+5v)

(2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析.

【分析】(1)根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即

可；

(2)先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析(1)中求出的时间

进行比较即可.

【解答】解：(1)机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：”.=会々，

机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：£尸=公不，

机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为：

T

二sS

0.4-v0.6+v

=F+F

5s5s

=T:5V+3+5V

5s(3+5u)5s(2-5v)

-(2-5v)(34-5v)+(2-5v)(3+5v)

_15s+25sv+10s-25sv

=-(2-5v)(3+5v)-

25s

=(2-5v)(3+5v):

(2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高：理由如下：

机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：亡'/：=壶，

机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：产广=不上次

1U.o-V

机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为：

t'=t'上+/下

=sS

0.4+i;0.6—v

=嘉+金

-s--T~

5s5s

一百而十打五

5S(3-5P)5S(2+5I；)

=(2+5v)(3-5v)+(2+5v)(3-5v)

5s(3-5v)+5s(2+5v)

―_(2+5v)(3-5v)-

25s

-(2+5v)(3-5v)>

;(2+5v)(3-5v)=6+5v-25v2,(2-5v)(3+5v)=6-5v-25v2,

:.(2+5v)(3-5v)>(2-5v)(3+5v),

•:(2+5”(3-5v)>(2-5v)(3+5v)>0,25$>O,

25s25s

:.-------------<--------------，

(2+5v)(3-5v)(2-5v)(34-5v)

即/<t,

,机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高.

【点评】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运

算法则.

26.（6分）（2024春•六盘水期末）在△46C中，AB=AC,NBAC=90°,点。在边4c上.

（1）如图1,将线段绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE,连接EB.求证：BE1.BC；

（2）如图2,在线段上取一点F,使得OF=OC,过点。作交AC于点、H,连接，尸，

过点B作垂直于"厂的延长线于点G,BG=AH,连接AG,GD.

①求证：△A”。丝△GFZ）；

②若AD=2vL求AG的长.

【考点】几何变换综合题.

【专题】几何综合题；运算能力：推理能力.

【答案】（1）见解析；

（2）①见解析；

②4.

【分析】(1)先证△EAB/ZXDAC(S4S),得出8E=CO,NEBA=NC=45°,再求出NE8C=90°,

根据垂直的定义得到结论；

(2)①先证四边形A8G”是矩形，得出NA”G=90°,BG=AH=FG,再证△CTO'是等腰直角三角形，

得出DF=DH=DC,ZHDF=ZHDC=90°,ZDHC=ZFHD=45°,根据全等三角形的判定定理

得到△AHOg△GFQ(SAS)；

②根据全等三角形的性质得到AQ=QG,ZADH=ZGDF,最后证△AOG足等腰直角三角形，即可得

出结论.

【解答】(1)证明：'：AB=AC,NB4C=9(T,

・・・NABC=NC=45°,

由旋转的性质得：AE=AD,NEAO=N84C=90°,

AZEAD-ZBAD=ZBAC-/BAD,

即N£A3=NQAC,

在△£/W与△D4C中，

AE=AD

Z.EAB=z.DACf

AB=AC

C.^EAB^^DAC(SAS),

：,BE=CD,/£BA=NC=45°,

AZEBC=ZEBA+ZABC=450+45°=90°,

：.I3EA-I3C；

(2)①证明：*：AB=AC,N8AC=90°,

••・/ABC=NC=45°,

'：DHLCF,DF=DC,

:,HF=CH,

：,ZC=ZCFH=45°,

/.ZCHF=90G,

YBGLHG,NBFG=NCFH=45°,

•••△BGb是等腰直角三角形，

：.BG=FG,NBGF=90°,

/.ZABG=Zz4BC+ZGBF=450+45°=90°,

AZBAH=ZABG=ZBGH=90°,

・•・四边形ABG”是矩形,

:・NAHG=90°,BG=AH=FG,

•:/HFC=/BFG=45°,

:・/HFC=/C=45°,

是等腰直角三角形，

，：DF=DC,

：.DF=DH=DC,NHDF=NHDC=90°,NDHC=NFHD=45°,

••・/AHO=/A”G+/f”O=9（T+45C=135n,

VZGFD=180°-ZBFG=180°-45°=135°,

・•・ZAHD=ZGFD,

在△A"。和△GFO中，

AH=FG

LAHD=乙GFD,

DH=DF

:•△AHD§AGFD（SAS）,

②解：由①知，4AHD/AGF。,

：,AD=DG,4ADH=4GDF,

・•・/ADH+NADB=NGDF+/ADB,

即/〃。r=//1。6=90°,

•••△AOG是等腰直角三角形，

.\AG=\[2AD=x/2x2\[2=4.

【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、

等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形

的判定与性质以及矩形的判定与性质是解题的关键.

27.（7分）（2025秋•台江区校级月考）在Rh^ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点。为直线BC上的一

个动点（点。不与点8、C重合），以A。为边作RtZXADE,ZDAE=90°,AD=AE,连接C£

（1）发现问题：如图①，当点。在边8c上时，

①请判断BO和。石之间的数量关系为BD=CE，位置关系为BDA.CE；并完成证明；

②请直接写出BC、CE、C。三者之间的数量关系BC=CE+CD；

（2）尝试探究：如图②，当点。在边8C的延长线上且其他条件