2026高考数学复习高效培优专题08 解析几何（选填题）（原卷版）

专题08解析几何（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01直线与圆的相关问题 题型02圆锥曲线的方程与性质题型03直线与圆锥曲线的位置关系题型04离心率的取值与范围问题题型05圆锥曲线中范围、最值问题题型06新定义问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01直线与圆的相关问题【例1-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（

）A． B． C． D．1.直线与圆的位置关系几何法:圆心到直线的距离，则：代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r二、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：位置关系相离外切相交内切内含图形几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（

）A．42 B．49 C．56 D．64【变式1-2】（2025·浙江·一模）已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（）A． B．C． D．题型02圆锥曲线的方程与性质【例2-1】（2025·云南·模拟预测）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（）A． B． C． D．【例2-2】（2025·上海奉贤·一模）曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（

）A．曲线不可能是直线B．当，时，曲线是椭圆C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关D．曲线是抛物线1.椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：①当时，点的轨迹是线段；②当时，点的轨迹不存在．2.椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）3.双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：①若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．②当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．③时，点的轨迹不存在．4.双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为5.抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注意：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．6.抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（）A．16 B． C． D．9【变式2-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上且，则点到轴的距离是.【变式2-3】（2025·江西宜春·模拟预测）（多选题）已知是双曲线和椭圆的左､右焦点，为与在第一象限内的一个交点，若，则（

）A．的渐近线方程为B．的短轴长是的虚轴长的倍C．的离心率和的离心率的积为1D．的面积为题型03直线与圆锥曲线的位置关系【例3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（

）A．32 B．28 C．20 D．16【例3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（

）A． B．1 C． D．21.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2.直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则==同理可得3.直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．4.直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则==5.直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．6.直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得【变式3-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（

）A． B． C．5 D．【变式3-3】（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为.题型04离心率的取值与范围问题【例4-1】（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2025·河南·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．1.椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用表示，即.

(2)离心率的范围：.2.双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：.

3.求离心率或其取值范围的方法解题的关键是借助图形建立关于,,的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式.【变式4-1】（24-25高三下·甘肃·开学考试）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线交于点，连接交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式4-2】（24-25高三上·甘肃庆阳·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（

）．A．1 B．2 C．3 D．4题型05圆锥曲线中范围、最值问题【例5-1】（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（

）A． B． C． D．【例5-2】（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）A．的最大值是5 B．的最小值是5C．的最大值是7 D．的最小值是71.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，2.圆锥曲线中的最值问题的解题思路①建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；②构建不等关系.【变式5-1】（2025·山西·二模）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过作抛物线的切线交准线于点.当外接圆面积最小时，点的坐标可以是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2025·安徽·三模）设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（

）A． B．0 C．1 D．2【变式5-3】（2025·四川成都·一模）（多选题）已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为C． D．题型06新定义问题【例6-1】（24-25高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6-2】（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题 D．①②都是假命题常见圆锥曲线新定义问题处理思路1.将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定.2.反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率.3.新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质4.新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化5.几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值）【变式6-1】（2025·海南·模拟预测）（多选题）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（

）A．B．点在C上，则C．点N在椭圆上，若，则D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则【变式6-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（

）A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为C． D．直线与双纽线有三个交点【变式6-3】（2025·河北沧州·一模）（多选题）在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（

）A．的周长为 B．面积的最大值为C．该“曼哈顿椭圆”的面积为 D．该“曼哈顿椭圆”的周长为1.（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为.2.（2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为．3.（25-26高三上·广东佛山·月考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．4.（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．5.（2025·广西·模拟预测）（多选题）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（

）A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为C．三角形的周长为8 D．6.（2025·云南·模拟预测）（多选题）已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（

）A．的离心率为 B．面积的取值范围为C． D．若点为上的动点，则的最大值为87.（2025·重庆·模拟预测）（多选题）已知双曲线，，为C的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A，B两点，线段与C的虚轴长相等．则（

）A．双曲线C的离心率B．以为直径的圆与C的渐近线相切C．若点P