专题二　微拓展1　极化恒等式和等和线定理 -大二轮数学专题复习

微拓展1极化恒等式和等和线定理[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁.考点一极化恒等式极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：①PM·PN=14(|PQ|2-|NM|2)(平行四边形模式)②PM·PN=|PO|2-14|NM|2(三角形模式)例1(1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则AE·EB等于()A.32 B.3C.-34 D.-答案C解析设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式AE·EB=-EA·EB=-|EF|2-1(2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP=4，则点P的轨迹为()A.椭圆 B.抛物线C.直线 D.圆答案D解析设M，N的中点为A，由极化恒等式可得MP·NP=|PA|2-14|MN|2=4，因为M，N(3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则PC·PD的取值范围是.

答案[0，4]解析如图，∵PA⊥PB，∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，由向量极化恒等式知PC·PD=|PO|2-|OC|2=|PO|2-1，当点P在A(或B)处时，|PO|max=5当点P在AB的中点时，|PO|min=1，∴|PO|∈[1，5]∴PC·PD的取值范围是[0，4].[规律方法]在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.跟踪演练1(1)如图，在四边形ABCD中，|AC|=4，BA·BC=12，E为AC的中点.BE=2ED，则AD·CD的值为(A.0 B.12 C.2 D.6答案A解析∵|AC|=4，E为AC的中点，∴|AE|=|CE|=2，根据极化恒等式可得BA·BC=|BE|2-|EA|2=|BE|2-4=12，∴|BE|=4，∴|DE|=12|BE|=2∴AD·CD=DA·DC=|DE|2-|EA|2=4-4=0.(2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C：x29+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则MF1·A.7 B.9 C.13 D.15答案A解析由椭圆C：x29+y28=1可得F1(-1，0)，F2(1设原点为O，根据极化恒等式可得MF1·MF2=|MO|2-14|F1F2|2点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO|min=42=22，故MF1·(3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得PE·PF=λ成立，那么λ的取值范围是()A.(0，2] B.(0，2)C.(0，4] D.(0，4)答案D解析如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得PE·PF=|PO|2-4=λ即|PO|2=λ+4，所以|PO|=λ+4，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故考点二等和线平面向量等和线定理平面内一组基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k=|OP||OF|=OB1||OB|=OA1||OA|，则λ(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；(4)当等和线过O点时，k=0；(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.例2(1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，BE=3EA，BF=3FC.若线段EF上存在一点M，使得DM=12DC+xDA(x∈R)，则A.34 B.3C.23 D.答案A解析由图可知，直线AC是以{DC，DA}为基底，值为1设DM与AC交于点N，12+x=又因为AC∥EF，则DMDN=根据等和线定理可得k=|DM|所以12+x=54，解得x(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=2π3，若点C为弧AB上任意一点，且OC=xOA+yOB(x，y∈R)，则x+y的最大值是答案2解析如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{OB，OA}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥因为OA=1，∠AOB=2π所以OE=12，则k=|DO||OE|=即x+y的最大值为2.[规律方法]用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.跟踪演练2(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ，μ∈R)，则λ+μ等于()A.1 B.34C.23 D.答案B解析如图，AD为以{BA，BD}为基底，值是延长BE交AD于点F，过E作AD的平行线，设λ+μ=k，则k=|BE||BF|由图易知，|BE||BF|所以λ+μ=34(2)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且AP=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围为(A.[2，3] B.[1，2]C.[1，3] D.[1，4]答案C解析如图，当点P位于线段BC上时，(λ+μ)min=1，当点P位于点D时，(λ+μ)max=3.故1≤λ+μ≤3.1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED等于()A.5 B.3 C.25 D.5答案B解析设CD的中点为O，由极化恒等式可得EC·ED=|EO|2-14|DC|22.(2024·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB=a，AC=b，向量AO=λa+μb，则λ+μ的值为(A.1 B.34C.23 D.答案C解析如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ+μ=k，则k=|AO||AM|由题易知O为△ABC的重心，|AO||AM|所以λ+μ=233.(2024·九江模拟)如图，正六边形的边长为22，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA·MB的取值范围为(A.[4，5] B.[5，7]C.[4，6] D.[5，8]答案B解析由极化恒等式可得，MA·MB=|MO|2-|当OM与正六边形的边垂直时，|MO当点M运动到正六边形的顶点时，|MO所以|MO|∈[6，22]则|MO|2∈[6，即MA·MB=(|MO|2-1)的取值范围为[5，7].4.若AB为双曲线x216-y24=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则MA·MBA.154 B.7C.-7 D.-16答案C解析如图，O为AB的中点，连接MO，MA·MB=|MO|2-14|BA|2而|MO|max=|OC|+1=3，|AB|min=2a=8，所以(MA·MB)max=9-145.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为(A.83 B.2C.43答案A解析作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，∵BC∥EF，设AEAB=AFAC=则k∈0由等和线定理得x+y=k，∴2x+2y=2k≤836.如图，△AOB为直角三角形，OA=1，OB=2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则AP·OP=.

答案1解析取AO的中点Q，连接PQ(图略)，AP·OP=PA·PO=|PQ|2-|AQ|2=516-147.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM·CN的最小值为3，则cos∠ACB=.

答案2-2解析取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=12MN=1依题意，CM·CN=|CP|2-|因为CM·CN的最小值为3，则|CP|的最小值为2，因此CO=2，在Rt△AOC中，cos∠OCA=COCA=sin∠OCA=2在Rt△BOC中，cos∠OCB=COCB=sin∠OCB=53，所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB=8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设AP=αAD+βAB(α，β∈R)，则α+β的取值范围是