专题二　微拓展2　奔驰定理和四心问题 -大二轮数学专题复习

微拓展2奔驰定理和四心问题[考情分析]奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大.考点一奔驰定理奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.例1(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(A.5倍 B.4倍C.3倍 D.2倍答案A解析因为DA+DB+12DC=即2DA+2DB+DC=0，所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设AO=λAB+μAC，则实数λ和μ的值分别为(A.29，C.19，答案A解析根据奔驰定理，得3OA+2OB+4OC=0，即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0，整理得AO=29AB故λ=29，μ=[规律方法]已知P为△ABC内一点，且xPA+yPB+zPC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；(2)S△PBCS△ABC=x跟踪演练1(1)已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0，又OA+2OB+mOC=0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.∴S△AOBS△解得m=4.(2)已知点P，Q在△ABC内，PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0，则|PQ||答案1解析根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5，∴S△PAB=S△QAB=12S△ABC，∴PQ∥AB又∵S△PBC=16S△ABC，S△QBC=15S△∴|PQ||AB|=S△QBC考点二奔驰定理与三角形四心已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：①若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；②若O为△ABC的外心，则sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|；③若O为△ABC的内心，则a·OA+b·OB+c·OC=0，或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；④若O为△ABC的垂心，则tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0，且OA·OB=OB·OC=OC·OA.考向1奔驰定理与重心例2已知O是△ABC的重心，AB·AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为(A.33 B.3C.32 D.答案A解析∵O是△ABC的重心，∴OA+OB+OC=0，由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1，∴S△OBC=13S△ABC∵AB·AC=2，∴|AB||AC|cos∠BAC=2，∵∠BAC=60°，∴|AB||AC|=4，又S△ABC=12|AB||AC|sin∠BAC=∴△OBC的面积为33考向2奔驰定理与外心例3已知点P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12，则λ=答案6解析依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C=1∶1∶λ，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π(舍)，∴A=B，又C=5π∴A=B=7π又sin2Bsin2∴λ=sin2Csin2B=sin5π6考向3奔驰定理与内心例4已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2OA+2OB+3OC=0，则△ABC的外接圆面积为.

答案64π解析∵2OA+2OB+3OC=0，且O为内心，∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，令a=2k，则b=2k，c=3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC=12(a+b+c)·r即12×7k×2=14，得k=2∴a=4，b=4，c=6，∴cosC=-18，sinC又2R=csinC=6378，∴△ABC的外接圆面积S=πR2=64π7考向4奔驰定理与垂心例5已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若HA+2HB+3HC=0，则A=.

答案π解析依题意，可得tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3，因为tanA=-tan(B+C)=-tan整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得6tanA=6tan3A，因为tanA≠0，所以tanA=±1.又因为tanA<tanB<tanC，所以tanA=1，所以A=π4[易错提醒]涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.跟踪演练2(多选)(2024·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下命题正确的有()A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC·MB+AB·MC=0C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=2∶3∶1D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB=6答案ABC解析对于A，如图，取BC边的中点D，连接MD，由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，得MA+MB+MC=0，所以2MD+MA=0，所以A，M，D三点共线，且MA=2MD，所以M为△ABC的重心，故A正确；对于B，如图，因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则有SA=12BC·r，SB=12AC·r，Sc=1所以12BC·r·MA+12AC·r·MB+12AB·r·MC所以BC·MA+AC·MB+AB·MC=0，故B正确；对于C，如图，因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，故∠AMB=360°-120°-90°=150°，所以SA∶SB∶SC=12R2sin90°∶12R2sin120°∶12R2sin150°=sin90°∶sin120°∶=1∶32∶12=2∶3∶故C正确；对于D，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，如图，则S△ABCS延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos∠AMF=y3x，得3x所以cos∠BMD=6则cos∠AMB=-66，故D1.(2024·安庆模拟)设O点在△ABC内部，且有3OA+2OB+OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为()A.2 B.3 C.2 D.3答案A解析根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为212.设I为△ABC的内心，且2IA+3IB+7IC=0，则角C为(A.π6 B.πC.2π3 D.答案B解析由2IA+3IB+7IC=0可得a∶b∶c=2∶3∶7令a=2k，则b=3k，c=7k，则cosC=4k2又C∈(0，π)，所以C=π33.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=213，则△BGC的面积为(A.123 B.83 C.43 D.4答案C解析cosA=AB2+A又A∈(0，π)，∴A=π∴S△ABC=12×6×8×sinπ3又G为△ABC的重心，∴GA+GB+GC=0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1，∴S△BGC=13S△ABC=434.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若AO=λAB+μBC，则3λ+6μ的值为(A.1 B.2 C.3 D.7答案C解析AO=λAB+μBC可化为OA+λOB-λOA+μOC-μOB=0，整理得(1-λ)OA+(λ-μ)OB+μOC=0，所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2，解得λ=59，μ所以3λ+6μ=3×59+6×25.已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，A.196 B.3C.53 D.答案D解析由QR=1得PR-PQ=13(PB-整理得PR=13PB+23PQ由RP=13RC，得RP=13整理得PR=-1∴-12PC=1整理得4PA+6PB+9PC=0，∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·OA+S2·OB+S3·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则cosC等于()A.31010 B.C.255答案B解析延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，∴S1∶S2=12·OC·BP=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)=tan∠COB∶tan∠COA=tan(π-A)∶tan(π-B)=tanA∶tanB.同理可得S1∶S3=tanA∶tanC，∴S1∶S2∶S3=tanA∶tanB∶tanC.又S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，∴tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0.又OA+2OB+3OC=0，∴tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.不妨设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，其中k≠0.∵tanA=-tan(B+C)=-tan∴k=-2k+3k当k=-1时，此时tanA<0，tanB<0，tanC<0，则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去.故k=1，则tanC=3>0，故C为锐角，∴sinCcosC=3,sin7.(多选)(2024·保定模拟)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3OA+4OB+5OC=0，则以下命题正确的有()A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5B.O有可能是△ABC的重心C.若O为△ABC的外心，则sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形答案AD解析对于A，由奔驰定理可得，3OA+4OB+5OC=SA·OA+SB·OB+SC·OC=0，因为OA，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确；对于B，若O是△ABC的重心，则OA+OB+OC=0，因为3OA+4OB+5OC=0，所以OB=2CO，即O，B，C三点共线，故B对于C，当O为△ABC的外心时，|OA|=|OB|=|OC|，所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB=3∶4∶5，即sin2A∶sin2B∶sin2C=3∶4∶5，故C错误；对于D，当O为△ABC的内心时，SA∶SB∶SC=12ar∶12br∶=a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)，所以a2+b2=c2，所以C=π2，故D8.(多选)(2024·重庆模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A.若|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，则点O是△ABC的重心B.若OA·AC|AC|-AB|AB|=OB·C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0，则点O是△ABC的外心D.若O为△ABC的外心，且2BO=BA+BC，则B为△ABC答案BCD解析对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，使得AD=ABc，则|AD|=|AE|=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，则四边形ADFE是菱形，且AF=AD+AE=ABc+ACb，所以AF平分因为|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，即aOA+bOB+cOC=0，所以a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0，即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0，所以AO=ba+=bca+所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得AE=AC|AC|则|AD|=|AE|=1，且AC|AC|-因为OA·AC|AC即OA⊥DE，又|AD|=|AE|=1知，AO平分∠BAC同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，因为(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0，所以2OM·AB=2ON·BC=0，即OM⊥AB，ON⊥BC，所