专题一　微拓展　导数新定义问题的应用 -大二轮数学专题复习

微拓展导数新定义问题的应用[考情分析]随着高考的改革，各地模拟试题越来越新颖，压轴题更是百花齐放，泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等以高等数学为背景的题目出现的频率越来越高，在解决部分题目时往往使问题简捷巧妙，甚至可以“秒杀”，在突破难点方面起到了降维打击的作用.考点一泰勒展开式1.泰勒公式如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+…+f其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.2.麦克劳林公式f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x2+…+f(虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量)(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+(2)sinx=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n-1(3)cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)n(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+o(xn)，(5)11-x=1+x+x2+…+xn+o(xn(6)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！x2+…+α(α-1)…(α-n+1)4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)(1)对数型超越放缩：x-1x≤lnx≤x-1(x(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11-x(例1(1)已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案D解析由x-1x≤lnx≤xln1.01>1.01-11.01=1101=∴a>c，ln1.01<1.01-1=0.01=1又b=1.0130e>1.0130×3=1.0190>∴b>a，故b>a>c.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b答案C解析b=19≈0.111由公式ex=1+x+x22！可得e0.1≈1+0.1+0.12则a=0.1e0.1≈0.1105，c=-ln0.9=ln109=ln由公式ln(1+x)=x-x22+x3得c=ln1+19≈19-19所以c<a<b.[规律方法]涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用超越不等式或其变形公式解决问题.跟踪演练1(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln2.02，则()A.c>a>b B.a>b>cC.a>c>b D.b>a>c答案B解析设x=0.02，则a=e0.02=1+0.02+0.0222显然a>b>1>c.(2)(2022·全国甲卷)已知a=3132，b=cos14，c=4sin1A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b答案A解析根据题意，构造函数f(x)=1-xg(x)=cosx，h(x)=sin则a=f14，b=g14，c由于14较小，所以对g(x)，h(x)在x=0g(x)=1-x22！+x44！+h(x)=1-x23！+x45！+显然，在x=14时，a=f14<b=g14<c=h14，故a考点二帕德近似帕德近似：帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]'.高中常见的帕德近似公式ln(1+x)≈3x2+6xx2ex≈x2+6x+12x2sinx≈6x6+x2，xcosx≈12-5x212+x2，tanx≈3x3-x2例2(1)已知a=e0.3，b=ln1.52+1，c=1.5，则(A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.a<c<b答案B解析利用帕德近似可得，a=e0.3≈0.32+6×0.3+120.32b=ln1.52+1≈12×3×0.52+6×0.50.52由公式(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！得c=1.5=1+0.5≈1+12×0.5-18×0.52=1.218综上，b<c<a.(2)(2024·益阳模拟)若a=2ln1.1，b=0.21，c=tan0.21，则()A.b<c<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c答案D解析由帕德近似公式得a=2ln1.1=2ln(1+0.1)≈2×3×0.12+6×0.10.12c=tan0.21≈3×0.213-0.212=又b=0.21，∴c>b>a.[规律方法]对于含指数、对数、正弦、余弦、正切的比较大小，利用帕德近似公式求近似值，非常直接，但是要注意公式的使用条件，公式不能记错.跟踪演练2(2024·济宁模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(n)(x)为f(n-1)(x(1)求实数a，b的值；(2)比较f(x)与R(x)的大小；(3)证明：∀n∈N*，1n+1+1n+2+1(1)解由f(x)=ln(x+1)，R(x)=ax1+bx，有f(0)=R(则f'(x)=1x+1，f″(xR'(x)=a(1+bx)2，R″由题意f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，所以a所以a(2)解由(1)知，R(x)=2xx+2，令φ(x)=f(x)-R(x)=ln(x+1)-2x则φ'(x)=1x+1-4(x+2所以φ(x)在(-1，+∞)上为增函数，又φ(0)=f(0)-R(0)=0，所以当x>0时，φ(x)=f(x)-R(x)>φ(0)=0；当-1<x<0时，φ(x)=f(x)-R(x)<φ(0)=0；所以当x>0时，f(x)>R(x)；当x=0时，f(x)=R(x)；当-1<x<0时，f(x)<R(x).(3)证明由(2)得当x>0时，f(x)>R(x)，即ln(x+1)>2即当x>0时，2xx+2<ln(x+1)令1m=2xx+2，m∈N代入(*)式得1m<ln2取m=n+1，n+2，…，2n，n∈N*得1n+1<ln2n+32n上面各式相加得1n+1+1n+2+…+12考点三拉格朗日中值定理1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f(2.几何意义：弦AB的斜率k=f(b)-f(a)b-a例3(2024·襄阳模拟)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足：①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线；②在(a，b)内可导；③对∀x∈(a，b)，g'(x)≠0，则∃ξ∈(a，b)，使得f(b)-特别地，取g(x)=x，则∃ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)(1)设函数f(x)满足f(0)=0，其导函数f'(x)在(0，+∞)上单调递增，证明：函数y=f(x)x在(2)若∀a，b∈(0，e)且a>b，不等式lnab-lnba+mba-(1)证明由题f(x由拉格朗日中值定理知，对∀x>0，∃ξ∈(0，x)，使得f(x)-f(0)x-0=f'(ξ)，即又f'(x)在(0，+∞)上单调递增，则f'(x)>f'(ξ)，即f'(x)>f(x)x，即当x>0时，xf'(x)-f所以f(x)x'故y=f(x)x在(0，(2)解因为a>b，所以lnab-lnba+mba-a取f(x)=xlnx，g(x)=x2，因为a>b，且a，b∈(0，e)，所以由柯西中值定理，∃ξ∈(b，a)，使得f(a=f'(由题意得1+lnξ2ξ设G(x)=1+lnx2x(0<xG'(x)=-ln当0<x<1时，G'(x)>0，当1<x<e时，G'(x)<0，所以G(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以G(x)max=G(1)=12，故m所以实数m的取值范围是12[规律方法]利用拉格朗日中值定理求参数的步骤：(1)分离参数；(2)构造成f(b)-f(跟踪演练3(1)设函数f(x)=x2+alnx，对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2答案1解析不妨令x1>x2>0，由拉格朗日中值定理知，∃x0∈(x2，x1)，使f'(x0)=f故f'(x0)≥2恒成立，即f'(x0)=2x0+ax0≥即a≥2x0-2x02，x0∈(0，又当x0=12时，(2x0-2x02)所以a≥12，故实数a的取值范围是(2)已知函数f(x)=ex-e-x.若对任意x≥0，都有f(x)≥ax，则实数a的取值范围为.

答案(-∞，2]解析当x=0时，对任意a，都有f(x)≥ax；当x>0时，f(x)≥ax即a≤ex-e-又ex-由拉格朗日中值定理知，在(0，+∞)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f又f'(ξ)=eξ+e-ξ≥2eξ·当且仅当ξ=0时等号成立，但ξ>0，故f'(ξ)>2，所以a≤2，综上，实数a的取值范围是(-∞，2].1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+f‴(x)3！(x-x0)3+…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f″'(x)A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88答案B解析根据题意，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f″(x)=-sinx，f″'(x)=-cosx，…，取x0=0，可得f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x则f(x)=sinx=0+1×x+0×x2+(-1)×13！x3+0×x4+1×15！x5+…=x-16x3+1令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=1-16+1120-…=101120-所以sin1≈0.84.2.(2024·安康模拟)已知a=e0.2-1，b=ln1.2，c=16，则(A.a<c<b B.b<a<cC.b<c<a D.c<b<a答案D解析由帕德近似公式得a=e0.2-1≈0.22+6×0.2+120.b=ln1.2=ln(1+0.2)≈3×0.22+6×0.20.c=16≈0.1667，故c<b<a3.已知a=e0.1-1，b=sin0.1，c=ln1.1，则()A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<a答案D解析∵sinx=x-x33！+xln(1+x)=x-x22+x3ex=1+x+x22！+x∴sin0.1=0.1-0.136+0.ln1.1=0.1-0.122+0.e0.1=1+0.1+0.122+0.则e0.1-1=0.1+0.122+0.∴ln1.1<sin0.1<0.1<e0.1-1，故c<b<a.4.若a=sin116，b=2ln3-3ln2，c=332，A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.a<c<b答案C解析由帕德近似公式得a=sin116≈6×1166+116b=2ln3-3ln2=ln9-ln8=ln98=ln≈3×164+6×181c=332≈1.73232≈0.054∴c<a<b.5.已知a=tan12，b=47，c=2.023A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.a>c>b答案B解析a=tan12≈3×123-14b=47≈0.5714c=2.023≈2.0234×≈0.8386，∴c>b>a.6.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)！+…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC=30°答案86解析由题意过点B作切线的垂线交于点D，在△ABD中，BD=3，sin1°=BD所以AB=BD在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin30°=BC联立可得BC=32sin1°=≈327.设函数f(x)=sinx(1)求f(x)的单调区间；(2)如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=(2+cos=2cosx当2kπ-2π3<x<2kπ+2π3(k∈Z-12<cosx≤1，即f'(x)>0当2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈Z)时，-1≤cosx<-12，即f'因此f(x)的单调递增区间为2kπ-2π3，2单调递减区间为2kπ+2π3，2(2)当x=0时，f(x)≤ax即为0≤a·0，所以a∈R；当x>0时，f(x)≤ax等价于f(x)由拉格朗日中值定理得，存在x0>0，使得f(x)-f(0)x-0故只需证当x>0时，a≥f'(x0)恒成立即可.又f'(x0)=2cos=-31cosx0+2所以a≥13综上，实数a的取值范围为138.(2024·绍兴模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m(注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…)(1)求实数a，b的值；(2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小；(3)定义数列{an}：a1=12，anean+1=ean-1，求