黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校联考2026届高一下数学期末考试试题含解析

黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校联考2026届高一下数学期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．已知的模为1，且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．已知且,则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为，则（）A． B． C． D．6．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（）A．B．函数与的图象均关于直线对称C．函数与的图象均关于点对称D．函数与在区间上均单调递增7．已知直线yx+2，则其倾斜角为（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°8．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A． B． C． D．9．等差数列中，若，则=()A．11 B．7 C．3 D．210．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则，的值分别为A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知,,则______.12．已知向量，且，则___________．13．在锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则AB+AC＝_____14．函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.15．在中，分别是角的对边，已知成等比数列，且，则的值为________.16．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:①若则；②若是在内的射影，，则；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；其中正确的为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若，是数列的保三角形函数”，求的取值范围；（2）已知数列的首项为2019，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；（3）求证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．18．已知和的交点为．（1）求经过点且与直线垂直的直线的方程（2）直线经过点与轴、轴交于、两点，且为线段的中点，求的面积．19．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在内），按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.20．已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，（1）；（2）.21．已知函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求函数的单调递减区间及图象的对称轴方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题2、A【解析】

根据投影公式，直接得到结果.【详解】，.故选A.【点睛】本题考查了投影公式，属于简单题型.3、A【解析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.4、A【解析】分析：，由，可得，又，可得，化简整理即可得出.详解：，由，可得，又，可得，化为，解得，则的取值范围是.故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5、B【解析】

由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．【详解】因为，当时，得；当，且时，，不满足上式，∴，所以，当时，；当是偶数时，为整数，则，所以；故对于任意正整数，均有：因为，所以．因为为偶数，所以，而，所以.故选：B．【点睛】本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和的推导，本题属于难题．6、D【解析】

由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解：由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，即，则对于选项A，显然错误；对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，又，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.7、B【解析】

根据直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角之间的关系即可求出倾斜角．【详解】由已知得直线的斜率，则倾斜角为120°，故选：B．【点睛】本题考查斜率和倾斜角的关系，是基础题．8、B【解析】分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.详解：由左加右减可得，解析式为正弦函数，则令，解得：，令，则，故选B.点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.9、A【解析】

根据和已知条件即可得到．【详解】等差数列中，故选A．【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题．10、A【解析】

根据众数的概念可确定；根据平均数的计算方法可构造方程求得.【详解】甲组数据众数为甲组数据的中位数为乙组数据的平均数为：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用二倍角公式，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，得，由，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用二倍角公式求值，属基础题.12、【解析】

把平方，将代入，化简即可得结果.【详解】因为，所以，，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.13、1【解析】

由正弦定理化已知等式为边的关系，可得结论．【详解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案为1．【点睛】本题考查正弦定理，解题时利用正弦定理进行边角关系的转化即可．14、【解析】

利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．【详解】函数又函数在上的最大值为1，≤0，又,且在上单调递增，所以即．故答案为：【点睛】本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题．15、【解析】

利用成等比数列得到，再利用余弦定理可得，而根据正弦定理和成等比数列有，从而得到所求之值.【详解】∵成等比数列，∴.又∵，∴.在中，由余弦定理，因，∴.由正弦定理得，因为，所以，故.故答案为.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.16、①②【解析】

对四个命题分别进行判断即可得到结论【详解】①若，垂足为，与确定平面，，则，，则，，则，故，故正确②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确其中正确的为①②【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）见解析．【解析】

（1）先由条件得是三角形数列，再利用，是数列的“保三角形函数”，得到，解得的取值范围；（2）先利用条件求出数列的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；（3）根据函数，，是数列1，，的“保三角形函数”，可以得到①1，，是三角形数列，所以，即，②数列中的各项必须在定义域内，即，③，，是三角形数列；结论为在利用，是单调递减函数，就可求出对应的范围，即可证明．【详解】（1）解：显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列，因为，显然有，由得，解得，所以当时，是数列的“保三角形函数”；（2）证：由，当时，，∴，∴，当时，即，解得，∴，∴数列是以2019为首项，以为公比的等比数列，∴，显然，因为，所以是“三角形”数列；（3）证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，，是三角形数列，所以，即；②数列中的各项必须在定义域内，即；③，，是三角形数列，由于，是单调递减函数，所以，解得，所以函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．【点睛】本题主要考查数列与三角函数的综合，考查在新定义下数列与三角函数的结合，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查转化思想，属于难题．18、（1）；（2）2【解析】

（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.【详解】解：（1）联立，解得交点的坐标为，∵与垂直，∴的斜率，∴的方程为，即.（2）∵为的中点，已知，，即，∴【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.19、（1）有4人，有2人；（2）【解析】

（1）由频率分布直方图，求出成绩在和内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的不同取法，再求解即可.【详解】解：（1）因为，所以，则月考成绩在内的学生有人；月考成绩在内的学生有人，则成绩在和内的频率的比值为，故用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取4人，从月考成绩在内的学生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在内，分别记为，，，；有2人的月考成绩在内，分别记为，.则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种；被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的情况为，，，，，，，，，共9种.故月考成绩内至少有1名学生被抽到的概率为.【点睛】本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.20、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线的判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数量积为0进行求解．试题解析：（1）若，则存在实数，使，即，则，解得得；（2）若，则，解得.考点：