苏教版七年级数学第十二章知识点与典题

引言：走进逻辑的世界数学是一门严谨的科学，而“证明”则是数学严谨性的基石。从小学阶段对图形性质的直观感知和简单操作，到初中阶段开始接触严格的逻辑推理，第十二章“证明”无疑是同学们数学学习历程中的一个重要转折点。它不仅要求我们“知其然”，更要“知其所以然”。本章的学习，旨在培养同学们的逻辑思维能力、推理表达能力，以及运用数学语言清晰阐述思考过程的能力。下面，我们将对本章的核心知识点进行梳理，并结合典型例题进行分析，帮助同学们更好地理解和掌握“证明”的精髓。一、认识“证明”1.1为什么需要证明？在数学的探索中，我们常常通过观察、实验、归纳等方法发现一些规律或猜想。然而，这些方法得到的结论有时是不全面的，甚至可能是错误的。证明就是用可靠的依据（如定义、公理、已证明的定理等）来确认一个命题真实性的推理过程。它能确保我们的结论在任何情况下都成立，是数学结论可靠性的保障。例如，我们通过度量发现几个三角形的内角和似乎都是180度，但这不能说明所有三角形的内角和都是180度。只有通过严格的逻辑推理证明，才能确认这一事实的普适性。1.2什么是命题、真命题、假命题？*命题：判断一件事情的句子，叫做命题。命题通常由条件和结论两部分组成，可以改写成“如果……那么……”的形式。*例如：“对顶角相等”可以改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。*真命题：正确的命题叫做真命题。*假命题：错误的命题叫做假命题。要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。*例如：“相等的角是对顶角”就是一个假命题，我们可以画出两个相等的同位角作为反例。1.3公理与定理*公理（基本事实）：人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，不需要再加以证明，可以作为证明其他命题的原始依据。*本章涉及的主要公理（基本事实）有：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（直线公理）2.两点之间线段最短。（线段公理）3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（平行公理）4.同位角相等，两直线平行。5.两直线平行，同位角相等。6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(SAS)7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。(ASA)8.三边分别相等的两个三角形全等。(SSS)*定理：经过推理证实的真命题叫做定理。定理也可以作为证明其他命题的依据。*例如：“对顶角相等”就是一个定理，它可以通过“同角的补角相等”等公理或已证定理推导出来。二、证明的依据与方法2.1证明的依据进行证明时，每一步推理都必须有依据。这些依据主要包括：1.已知条件：题目中明确给出的信息。2.定义：数学中对各种概念的精确描述。例如，“互为余角”的定义是“如果两个角的和是90度，那么这两个角互为余角”。3.公理（基本事实）：如前所述。4.已学过的定理：在本命题之前已经被证明为真的命题。2.2证明的一般步骤1.审题：明确命题的条件和结论，分清“已知”和“求证”。2.分析：从结论出发，探索要得到这个结论需要具备什么条件，逐步追溯到已知条件（这种方法常称为“执果索因”或“逆向思考”）；或者从已知条件出发，看能推出什么结论，逐步接近要证明的结论（这种方法常称为“由因导果”或“正向思考”）。实际证明中，往往是两者结合。3.书写：将思考过程用规范的数学语言表达出来。书写时要注意：*每一步推理都要有依据，并在括号内注明（如“已知”、“定义”、“公理”、“定理”等）。*条理清晰，因果关系明确。通常从“已知”开始，一步步推出“求证”的结论。2.3几种简单的证明方法（初步）*直接证明法：从已知条件出发，直接运用定义、公理、定理等进行推理，逐步推出结论。这是最常用的证明方法。*反证法：（本章初步接触，后续会深入学习）先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立。三、典型例题精析例1：判断下列命题的真假，并说明理由。(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。(2)如果a²=b²，那么a=b。分析与解答：(1)这是一个真命题。理由：“对顶角相等”是我们学过的基本事实（或公理）。(2)这是一个假命题。理由：当a²=b²时，a和b可能相等，也可能互为相反数。例如，当a=3，b=-3时，a²=9，b²=9，满足a²=b²，但a≠b。（举反例是判断假命题的常用方法）例2：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC=50°。求证：∠BOD=50°。分析：要证∠BOD=50°，已知∠AOC=50°。观察图形可知，∠AOC与∠BOD是对顶角。根据“对顶角相等”这一公理即可得证。证明：∵直线AB与直线CD相交于点O（已知）∴∠AOC与∠BOD是对顶角（对顶角的定义）∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）∵∠AOC=50°（已知）∴∠BOD=50°（等量代换）例3：已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠1=60°。求证：∠2=60°。分析：要证∠2=60°，已知∠1=60°。因为AB∥CD，∠1与∠2是同位角（或内错角，需根据图形具体判断，此处假设∠1和∠2是同位角）。根据“两直线平行，同位角相等”可证。证明：∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1=60°（已知）∴∠2=60°（等量代换）说明：若图中∠1与∠2是内错角，则依据“两直线平行，内错角相等”。关键在于准确识别角的位置关系，并选用相应的平行线性质定理。例4：已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°。求证：∠C=70°。分析：三角形的内角和是180°，这是一个基本事实。已知两个内角的度数，求第三个角，用内角和定理即可。证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质）∵∠A=60°，∠B=50°（已知）∴∠C=180°-60°-50°=70°（等量代换）即∠C=70°四、证明书写的规范性证明的书写是数学表达能力的重要体现，必须规范、严谨。以下是一些常见的注意事项：1.“∵”和“∴”的使用：“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”。它们后面紧跟的应该是一个完整的判断句。2.依据要充分：每一个“∴”后面的结论，都必须能由前面的“∵”以及相关的定义、公理、定理等来保证。括号内的理由要简洁明了。3.条理清晰：证明过程应层次分明，步骤连贯，不能跳跃。4.图形语言与符号语言结合：证明时要充分利用图形提供的信息，必要时在图形上标注字母或角的符号，使证明更直观。五、本章学习建议1.深刻理解基本概念：如命题、真命题、假命题、公理、定理、证明等，是学好本章的基础。2.牢记并灵活运用公理和定理：公理和定理是证明的“武器”，要清楚它们的条件和结论，并能在不同情境中准确应用。3.重视分析过程：拿到一个证明题，不要急于下笔，先思考“要证什么？”“已知什么？”“还需要什么？”，培养逻辑思维能力。4.多练习，勤总结：通过一定量的练习，熟悉不同类型题目的证明思路，总结常用的证明方法和技巧。注意书写的规范性。5.学会画图和识图：几何证明离不开图形，准确画出图形，并能从图形中识别出基本图形和位置关系（如对顶角、同位角、内错角、同