建构“倍”模型：从具象比较到数量关系的抽象跃迁-小学三年级数学教学设计

建构“倍”模型：从具象比较到数量关系的抽象跃迁——小学三年级数学教学设计一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》观照，“倍的认识”隶属于“数与代数”领域，是学生从加减运算的“合并、比较”思维迈向乘除运算“比率、比例”思维的关键枢纽。在知识技能图谱上，它上承“乘法的初步认识”（将“几个几”的加法结构转化为乘法算式），下启“多位数乘一位数”、“分数的初步认识”乃至后续的比例思想，是构建完整“数感”与“模型意识”不可或缺的一环。其认知要求绝非停留在识记“倍”的词汇，而是深刻理解“倍”作为一种数量关系的本质——即两个数量之间“份”的比较，这要求学生完成从具体数量加减到抽象关系比较的思维跃迁。蕴含的核心学科思想方法是“模型思想”与“抽象”，教学过程应设计为引导学生从具体实物操作（摆一摆）到半抽象图示表征（圈一圈、画一画），最终抽象出“倍”的数学语言与算式表达的完整建模过程。其育人价值在于培养学生用数学的眼光观察现实世界（发现数量间的比率关系），用数学的思维思考现实世界（建立“标准量”与“比较量”的关系模型），是发展学生符号意识、推理能力和应用意识的绝佳载体。  学情研判需立足于学生认知的“最近发展区”。学生已有基础是熟练掌握“几个几”的表述及相关的乘除法初步知识，具备初步的“份”的概念（如平均分）。然而，潜在的认知障碍在于：学生习惯于用“多多少”或“少多少”的差比思维，对“倍”所代表的倍比关系极为陌生；极易混淆“谁是谁的几倍”中“标准量”的角色，导致关系错乱；且“倍”作为一个不表示具体数量的“关系单位”，其抽象性本身即是难点。因此，教学需通过精心设计的“前测”任务（如：出示红萝卜6根、白萝卜2根的图片，提问“你能比较它们的数量吗？”），动态诊断学生是倾向于使用减法还是能模糊感知倍数关系。基于诊断，教学调适应体现差异化：为思维尚处于具体运算阶段的学生提供充分的实物操作与视觉化支架；为能进行半抽象思考的学生设置“创造倍数关系”的挑战；引导所有学生经历“建立‘一份’标准——确定‘几份’——表述关系”的清晰思考路径，将内隐思维外显化。二、教学目标  知识目标：学生能结合具体情境，通过“摆一摆”“圈一圈”“画一画”等操作活动，理解“倍”的含义，即一个数里包含几个另一个数。他们能准确表述“一个数是另一个数的几倍”，并能根据倍数关系，逆向推算出其中一个量。例如，能清晰解释“为什么说胡萝卜的根数是白萝卜的3倍”。  能力目标：学生能够从比较两种事物数量的情境中，主动提取并确立“标准量”（一份），通过将“比较量”以“标准量”为单位进行分解与重组，建立两者间的倍数关系模型。能运用图示（圆圈图、线段草图）清晰地表征这种关系，并能在简单实际问题中识别与应用倍数关系进行推理和解决。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究“倍”的关系过程中，学生乐于分享自己的操作方法和思考过程，能认真倾听同伴的不同策略，体验从不同角度验证数学关系的严谨性。通过发现生活中丰富的倍数现象，感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。  数学思维目标：重点发展学生的模型思想与抽象思维。引导他们经历“具体事物——图形表征——数学语言/算式”的抽象全过程，学会用“份”的模型来统摄和解释倍数关系。同时，在变化“标准量”或“倍数”的变式练习中，初步渗透函数思想，感知两个变量之间的依存关系。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“说关系、画图示、列算式”三步骤来检验自己对倍数关系的理解是否到位。在课堂小结时，能反思“我是怎么从不会到学会‘倍’的？我用了哪些方法？”，初步形成对学习策略的反思习惯。三、教学重点与难点  教学重点：建立“倍”的概念模型，理解“倍”是两个数量之间基于“份”的比较关系。确立依据在于，此概念是乘、除法意义拓展的核心枢纽，是后续学习分数、比和比例的基础“大概念”。从能力立意看，能否清晰建立“倍”的模型，直接关系到学生能否从算术思维向代数思维过渡。  教学难点：理解“倍”作为一种抽象“关系”而非具体“数量”的含义，并能在具体情境中准确确定“标准量”（一份）。预设难点成因是学生需克服根深蒂固的“求差”比较惯性，跨越从“绝对差”到“相对比”的认知跨度。常见错误表现为将“倍”与“个”混用，或在关系表述中主客颠倒。突破方向在于强化“把谁看作一份”的标准化过程，并通过大量变式与反例进行辨析。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与课件：交互式课件，内含动态分份、圈画功能；导入情境动画；分层练习题库。1.2学具与材料：每位学生一套磁性圆片或小方块；课堂学习任务单（含前测、探究记录、分层练习）；标准量卡片与比较量卡片若干。2.学生准备  预习生活中有“几个几”关系的例子；准备好数学书、练习本和彩笔。3.环境布置  教室黑板划分为“问题区”、“探究区（模型建构历程）”、“成果区（学生作品展示）”；学生四人小组围坐，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节1.创设认知冲突情境：  （课件动态呈现：左边2根整齐摆放的白萝卜，右边散乱放着6根胡萝卜）孩子们，请看这幅图，小兔子们收获了两堆萝卜。你能比一比它们的数量吗？把你的发现和同桌轻声说一说。1.1提出问题，聚焦新知：  （学生大概率会用减法：“胡萝卜比白萝卜多4根。”教师予以肯定后，再设疑）没错，用减法我们知道了它们相差多少。可是，小兔子贝贝却这样说：“我觉得，胡萝卜的根数‘相当于’好几份白萝卜那么多！”（课件凸显“相当于”一词）这里的“份”是什么意思？“相当于几份”又该怎么数学地表达呢？这就是我们今天要揭秘的新朋友——“倍”。（板书课题：倍的认识）1.2明确学习路径：  这节课，我们就当一回数学侦探，跟着贝贝的线索，通过“摆一摆”、“圈一圈”、“画一画”来弄清楚什么是“一份”，什么是“几份”，最后揭开“倍”的神秘面纱。第二、新授环节任务一：分一分，建立“一份”的标准教师活动：首先，我们来帮贝贝把话说清楚。请大家拿出学具，在白萝卜图下面摆出2个圆片代表2根白萝卜。现在，胡萝卜有6根，怎么摆，才能一眼就看出它“相当于几份白萝卜”呢？（巡视，寻找不同策略：有每2个一组的，有乱摆的）。请这位把胡萝卜也2个2个摆好的同学来说说你的想法。“你为什么也要2个2个地摆呢？”引导学生说出：“因为白萝卜是2根，我把这2根看成一份，胡萝卜也要按照这样的‘一份’来分。”教师强调：“看，这2根白萝卜就是我们比较的‘一把尺子’，一个‘标准’。”（板书：标准量）我们把它圈起来，注明“1份”。学生活动：学生动手操作，尝试将6个代表胡萝卜的圆片进行排列，使之能与“2个一份”的标准产生直观联系。在教师引导和同伴分享后，理解到要以白萝卜的数量（2根）为一份，去“测量”胡萝卜的数量，从而有意识地进行每2个一组的摆放。即时评价标准：1.操作规范性：能否依据白萝卜的数量（2根）确定每份的个数。2.表达清晰性：能否用“把（白萝卜）的（2）根看成一份”这样的语言描述自己的操作。3.倾听与反馈：能否理解同伴策略与自己的异同。形成知识、思维、方法清单：1.★确立“标准量”：“倍”的比较始于确定一个作为标准的量，即“一份是多少”。这是整个倍数关系的基石。教学中要反复追问“把谁看作一份？”，强化标准意识。2.操作可视化：对于初步接触抽象关系的学生，实物摆弄是不可或缺的“思维拐杖”。它让内隐的“份”的观念变得外显、可操作。3.语言结构化：引导学生使用“把（）的（）个看成一份”的固定句式，是为后续规范表达倍数关系搭建语言脚手架。任务二：数一数，初探“几份”与“几倍”教师活动：（指着学生摆好的每2个一组的胡萝卜）现在，胡萝卜被分成了这样的几组？我们一起来数一数：1份、2份、3份。（配合课件圈画）像这样，胡萝卜里面有这样的3份（指白萝卜那份）。我们就可以说：胡萝卜的根数是白萝卜的3倍。（板书关键句，并贴出卡片）谁能学着说一说？（指名多位学生重复此关系句）。好，现在请大家在学习单上，把白萝卜的那一份圈起来，写上“1份”，再把胡萝卜像老师这样3份一圈，在旁边写上“胡萝卜根数是白萝卜的3倍”。学生活动：跟随教师的引导，数出“份”数，并首次跟读、模仿完整的倍数关系表述。动手在任务单上进行圈画和书写，将操作、视觉与语言表达结合起来，形成初步的“倍”的体验。即时评价标准：1.圈画准确性：能否正确圈出以“标准量”为单位的每一份。2.表述完整性：能否独立、正确地说出“（）是（）的（）倍”的句子。3.概念联结：能否将“几份”与“几倍”自然对应起来。形成知识、思维、方法清单：4.★“倍”与“份”的对应：“一个数里面有几个另一个数”，就是“几倍”。这是“倍”概念的核心定义。必须让学生深刻体会“几份”就是“几倍”。5.多重感官强化：通过“摆”（触觉与动觉）、“圈”（视觉）、“说”（听觉与语言）多通道协同，巩固新建立的神经连接。6.集体复述的价值：对于新概念的标准表述，初期通过集体跟读、个别重复，能有效降低认知负荷，规范数学语言。任务三：变一变，感知“标准量”的决定性作用教师活动：（情境变化：现在有3根白萝卜，6根胡萝卜）孩子们，情况变了！如果现在把3根白萝卜看作1份（课件圈出），胡萝卜的根数还是白萝卜的3倍吗？为什么？请大家不动学具，先想一想，然后和同桌讨论一下。（引导学生发现：标准变了，份数就变了）请一位同学上来重新摆一摆、圈一圈。大家看，现在胡萝卜被分成了这样的几份？（2份）所以，现在该怎么说？对，胡萝卜的根数是白萝卜的2倍。大家有没有发现一个秘密：明明都是2根，为什么一会儿是1份，一会儿又是2份呢？（等待学生思考）关键就在于我们和谁比，把谁定为“标准量”。标准量不同，倍数关系就可能完全不同！学生活动：面对变化的情境，进行思考与讨论，理解“标准量”的变化会导致份数（即倍数）的变化。通过观察同伴的再次操作，验证自己的想法，并经历第二次完整的“确立标准——圈画份数——表述关系”的过程。即时评价标准：1.思维灵活性：能否意识到情境变化的核心是“标准量”改变了。2.推理能力：能否根据新标准，合理推想并验证新的倍数关系。3.合作讨论深度：讨论是否围绕“为什么倍数变了”这一核心问题展开。形成知识、思维、方法清单：7.▲“倍”的相对性：这是学生理解的深化点。通过改变标准量，制造认知冲突，让学生深刻体会到“倍”不是一个绝对的数，而是两个量相比较的结果，具有相对性。8.对比与辨析：将前后两种情境并列呈现，引导学生对比观察，是突破“相对性”这一难点的有效策略。9.核心追问的艺术：“为什么都是2根，角色却不同？”此类追问能直指概念本质，促使学生进行深层次的概念性思考。任务四：画一画，从操作抽象到图示建模教师活动：同学们真厉害，已经能用学具发现“倍”的秘密了。如果老师不给圆片，只给你纸和笔，你能表示出“苹果有4个，梨的个数是苹果的2倍”吗？想想，梨应该有多少个？你打算怎么画，让别人一眼就看出是2倍关系？（预设学生有画实物的，有画圆圈的，有画竖线的）。展示不同画法，并聚焦于简洁的符号化图示（如用○表示）。重点请一位画出“先画4个○表示苹果，再画2组这样的4个○表示梨”的学生讲解。“你为什么这样画？这里的‘一组’其实就是我们说的什么？（一份）”对，用这种图，我们就能脱离具体实物，用图形来表示倍数关系了。学生活动：尝试脱离实物学具，用笔在纸上创造性地表达倍数关系。从画具体水果到接受更抽象的圆圈、三角等符号，初步体验数学的符号化过程。通过观察、比较不同画法，认识到图示的关键在于清晰地显示出“标准量”的“份数”。即时评价标准：1.表征能力：能否用图形正确表示出已知的倍数关系。2.图示的清晰性：所画图示是否能让观察者快速识别出标准量和倍数。3.抽象水平：是否倾向于使用简洁符号而非具象图画。形成知识、思维、方法清单：10.★图示模型：圆圈图、线段图等是表征倍数关系的半抽象模型，是连接具体操作与完全抽象算式的桥梁。掌握这一模型对学生解决复杂问题至关重要。11.符号意识萌芽：引导学生从画具体事物过渡到用统一符号（○、△等）表示任意物体，是培养符号意识的重要一步。12.方法优化：比较不同画法的优劣，引导学生追求“简洁、清晰、通用”的数学表达，是数学思想方法的渗透。任务五：连一连，沟通“倍”与乘除法的联系教师活动：（出示图示：一份有3个星星，共有这样的4份）这幅图表示什么意思？（星星的总数是1份星星的4倍）。星星的总数是多少，你能用一个算式算出来吗？大部分同学都会用3×4=12（个）。看，求一个数的几倍是多少，就是求几个几是多少，用乘法计算。（板书：求一个数的几倍是多少→乘法）反过来，（出示问题：桃子有12个，是桔子的3倍，桔子有几个？）这又该怎么想、怎么画呢？引导学生分析：这里谁是标准量？（桔子）我们把桔子的个数看作一份，但不知道是多少，桃子的12个对应着这样的3份。所以求一份是多少，用……对，除法。12÷3=4（个）。（板书：已知一个数的几倍是多少，求这个数→除法）学生活动：观察图示，将“倍数”语言转化为“几个几”的乘法意义，并列出乘法算式。在逆向问题中，尝试画图分析，理解求“标准量”就是“已知总数和份数，求每份数”，进而联系到除法运算。即时评价标准：1.知识贯通：能否在“倍”、“几个几”、“乘除法算式”之间建立自由转换。2.画图分析能力：面对逆向问题，能否主动画图帮助确定标准量与比较量的关系。3.灵活应用：能否根据问题情境，选择合适的运算方法。形成知识、思维、方法清单：13.★“倍”与乘除法的互逆关系：这是将“倍”的概念纳入学生已有运算认知结构的关键。明确“求倍数”是乘法的另一种表述，“求标准量”对应除法意义。14.数形结合：无论是正向还是逆向问题，都应鼓励学生“先画图，再列式”，让图形作为思维的支撑，避免机械套用。15.模型应用：至此，学生应初步掌握解决简单倍数问题的一般模型：识别关系→确定算法（乘或除）→列式计算。第三、当堂巩固训练  我们将进行三轮挑战，看看谁是“倍”的发现小达人。1.基础层（全员参与）：“看图说话”练习。课件出示多组具有明显倍数关系的实物图或圆圈图（如：蝴蝶4只，蜜蜂8只；一份△有5个，共有3份）。要求：快速说出谁是谁的几倍。“说的时候，一定要把‘把谁看作一份’在心里想清楚哦！”2.综合层（小组协作）：“创造倍数”任务。每个小组拿到一张情境卡（如：花园里有一些花）和“标准量”卡片（如：黄花有6盆）。要求：小组讨论，用画图或文字方式，创造出一种符合条件的倍数情境（如：红花是黄花的2倍，红花应有几盆？），并写出关系句和算式。完成后组间交换，互相判断是否正确。3.挑战层（个人选做）：“生活中的倍”。出示实际问题：①小明今年6岁，妈妈的年龄是他的5倍，妈妈多少岁？②一盒巧克力有8块，正好是水果糖数量的一半，水果糖有多少块？（此题涉及“一半”即二分之一倍，为学有余力者提供思维延伸空间）。学生独立完成后，教师选取典型解法（尤其是错误解法）进行投屏展示与集体辨析。“第二题有点tricky，‘一半’和我们今天学的‘倍’有什么关系呢？谁来勇敢地猜一猜？”第四、课堂小结  “孩子们，这趟‘倍’的探索之旅就要到站了。谁能当小老师，用几句话说说你今天最大的收获？”鼓励学生从知识、方法、感受等多角度分享。随后，教师引导学生共同完善黑板上的“探究区”思维导图，梳理出从“确定标准量（1份）”→“找出比较量里有这样的几份”→“用‘倍’表述关系”→“用乘除法解决问题”的完整学习路径。  “回家后，请当一回‘倍’的侦察兵：必做作业是完成练习册基础题；选做作业是寻找家中或社区里的两种物品，说说它们数量间的倍数关系，并记录下来；挑战作业是尝试编一道关于‘倍’的小故事题，下节课我们来分享。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.课本相关练习题，巩固“求一个数的几倍是多少”及“已知一个数的几倍是多少，求这个数”的基本题型。2.看图列式：根据清晰的倍数关系图示，写出相应的乘法或除法算式。拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.小小设计师：用彩色纸剪出两种不同颜色的图形（如圆形和正方形），要求一种图形的数量是另一种的整数倍（如正方形是圆形的3倍），并粘贴在A4纸上，用数学语言写出它们之间的倍数关系。4.生活记录员：记录一项家庭数据（如：爸爸每天喝几杯水，我每天喝几杯水），计算两者之间的倍数关系（若非整数倍，可近似或说明）。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.倍数连环画：创作一个包含倍数关系变化的四格漫画小故事。例如：第一格，小兔子有2根胡萝卜；第二格，它又找到了2根，现在是原来的2倍；第三格，它吃掉了1份……要求用图示和文字说明倍数关系的变化。6.“倍”与“分”：研究“一倍”和“一半（二分之一）”有什么联系？试着用画图的方式说明你的发现。七、本节知识清单及拓展  1.★倍的含义：“倍”表示两个数量之间的一种比较关系，即一个数里包含了几个另一个数。它不是一个新的计量单位，而是一个描述“份数”关系的词。理解时，务必明确“谁和谁比”。  2.★标准量（一份）：在倍数比较中，被当作比较基准的那个量，称为“标准量”或“1份的量”。确定标准量是解决所有倍数问题的第一步。口诀：“比谁，谁就是一份”。  3.★比较量：与标准量进行比较的那个量。比较量里包含了几个“标准量”，它就是标准量的几倍。  4.★“倍”的表述：规范表述为“（比较量）是（标准量）的（几）倍”。例如：苹果有8个，梨有4个，苹果的个数是梨的2倍。  5.★“倍”的模型建立过程：具体实物（摆）→半抽象图示（圈、画）→数学语言与算式（说、写）。这是学习抽象数学概念的通用方法。  6.▲“倍”的相对性：倍数关系不是固定的。当标准量发生变化时，倍数关系也随之改变。例如：2根萝卜，相对于1根，是2倍；相对于4根，是二分之一（0.5倍）。这体现了数学中“变与不变”的思想。  7.★倍数关系与乘法的联系：“求一个数的几倍是多少”就是求“几个几是多少”，用乘法计算。公式：标准量×倍数=比较量。  8.★倍数关系与除法的联系：“已知一个数的几倍是多少，求这个数”就是“把一个数平均分成几份，求一份是多少”，用除法计算。公式：比较量÷倍数=标准量；或，求“一个数是另一个数的几倍”，也用除法：比较量÷标准量=倍数。  9.★解决倍数问题的一般步骤：一找（找准标准量和比较量）；二判（判断是求倍数、求比较量还是求标准量）；三画（画示意图帮助理解）；四式（根据乘除法意义列式）；五查（检查结果是否符合倍数关系）。  10.易错点警示：切忌看到“倍”就用乘法。必须分清题目是求比较量（用乘）还是求标准量（用除）。混淆的主要原因是未找准“1份”是多少。  11.核心图示：圆圈图或简单的线段图是表征倍数关系的有效工具。画图时，先画出一份（标准量），再画出相应的几份（比较量），并清晰标注。  12.生活应用实例：商品折扣（“打五折”可理解为现价是原价的0.5倍）、地图比例尺、身体各部位的长度比（如臂展约是身高的1倍）等都蕴含着丰富的倍数（比例）关系。  13.▲“倍”的拓展：倍数不限于整数，以后还会学到小数倍、分数倍（如1.5倍、三分之二倍）。这为未来学习比例、百分数奠定了概念基础。  14.学科思维渗透：本课贯穿了模型思想（构建“份”的模型）、抽象思维（从具体到抽象）、推理能力（根据关系进行乘除推理）和应用意识（联系生活实际）。八、教学反思  （一）目标达成度评估：从后测练习与课堂观察来看，约85%的学生能正确识别和表达基础情境中的倍数关系，并能解决简单的“求一个数的几倍是多少”的乘法问题，表明知识目标基本达成。然而，在涉及“已知一个数的几倍是多少，求这个数”的逆向问题及标准量变化的变式情境中，正确率下降至约70%，说明部分学生对“倍”的模型建构，尤其是对标准量核心地位的理解尚不稳固，能力目标与思维目标的深度达成需要后续课时进一步巩固。  （二）核心环节有效性分析：任务三“变一变”是本节课的思维转折点。通过故意改变白萝卜的数量，成功地制造了认知冲突。我看到许多学生脸上露出了困惑的表情，