第5课时一次方程（组）及其应用

第二单元方程（组）与不等式（组）第5课时一次方程（组）及其应用1.

一元一次方程及其解法定义只含有

未知数（元），并且未知数的最高次数是

⁠

的整式方程叫做一元一次方程一般形式

⁠一个1

ax＋b＝0（a≠0）解法（1）解法依据是等式的性质.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式，所得结

果仍是等式.性质2：等式的两边同时乘或除以同一个数或式（除数和除式不

为零），所得结果仍是等式.（2）解方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类型，系

数化为12.

二元一次方程组的解法代入消元法适用于方程组中一个方程的常数项为0或某个未知数的系数是1或－1加减消元法适用于方程组中同一个未知数的系数相等（或互为相反数）3.

一次方程（组）的应用行程问题相遇问题（1）全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；（2）全路程＝速度和×相遇所用时间追及问题（1）同地不同时出发：被追者走的路程＝追者走的路

程.（2）同时不同地出发：被追者走的路程＋两地间的距

离＝追者走的路程；两地间的距离＝速度差×追者走的

时间航行问题顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度

－水流速度工程问题工作量＝工作效率×工作时间（工作量常被看作单位“1”）利润率问题利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100％类型之一列一次方程（组）1.

［2025•内江］学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元.店

方表示：如果多买，可以优惠.结果校方购买了72套，每套减价3元，但商

店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元，

则可列方程为（

B

）A.

72（100－x）＝60（100＋3－x）B.

60（100－x）＝72（100－3－x）C.

60（100＋x）＝72（100－3＋x）D.

＝

B2.

［2025•成都模拟］我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个

题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有

玉，并重十一斤.问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重7两；一

立方寸的石重6两.一块内部含有玉的正方体石头，总重11斤（古代1斤＝

16两），体积为27立方寸.问玉、石各重多少？设玉重x两，石重y两，则

可列方程组为（

A

）AA.

B.

C.

D.

3.

［2025•绵阳模拟］我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一个

问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几

何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7

钱，还差4钱（钱：古代货币计量单位）.问人数、物价各是多少？若设共

有x人，物价是y钱，则所列方程正确的是（

D

）A.

＝

B.

8x＋3＝7x－4C.

＝

D.

8（x－3）＝7（x＋4）D4.

小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改

编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换

其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，

根据题意列出方程组为

⁠.3

C

A.

1B.

2C.

4D.

8

D3类型之四用一次方程（组）解决实际问题9.

［2025•绵阳模拟］《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：今有木，

不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？

其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这

根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为

（

C

）A.

2.5尺B.

5.5尺C.

6.5尺D.

11尺C

解：（1）设每个A工种工人的月工资为a万元，每个B工种工人的月工资

为b万元.

答：每个A工种工人的月工资为1万元，每个B工种工人的月工资为1.2

万元.

解：（2）设再招聘A工种工人x人，则再招聘B工种工人（60－x）人.根

非负整数，∴x＝18或19或20，∴该车间有3种招聘方案.设每月付给这60个工人工资总额为W元，则W＝x＋1.2（60－x）＝－

0.2x＋72，∵－0.2＜0，∴W随x的增大而减小.∵x＝18或19或20，∴当

x＝20时，W值最小，W最小＝－0.2×20＋72＝68，60－20＝40（人），∴再招聘A工种工人20人、B工种工人40人可使每月付给这60个工人工资总

额最少，最少为68万元.11.

为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表

是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：单位：元/吨每户每月用水量自来水销售价格污水处理价格17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b超过30吨的部分6.00已知小王家4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元.

（水价计费＝自来水销售价格＋污水处理价格）（1）求a，b的值；解：（1）由题意，得

解：（1）由题意，得②－①，得5b＝21，b＝4.2，把b＝4.2代入①，得17a＝37.4，a＝2.2，故a的值为2.2，b的值为4.2.②－①，得5b＝21，b＝4.2，把b＝4.2代入①，得17a＝37.4，a＝2.2，故a的值为2.2，b的值为4.2.（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？解：（2）设小王家6月份用水x吨，当用水30吨时，水费为17×2.2＋13×4.2＋30×0.8＝116（元）.∵184＞116，∴小王家6月份用水超过30吨，∴116＋（x－30）×（6＋0.8）＝184，解得x＝40，故小王家6月份用水40吨.解：（2）设小王家6月份用水x吨，当用水30吨时，水费为17×2.2＋13×4.2＋30×0.8＝116（元）.∵184＞116，∴小王家6月份用水超过30吨，∴116＋（x－30）×（6＋0.8）＝184，解得x＝40，故小王家6月份用水40吨.一、选择题1.

［2024•南宁模拟］已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是

（

A

）A.

－1B.

0C.

1D.

2AA.

B.

C.

D.

2.

［2025•成都］中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题

目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.

问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500

钱.今合买良、劣田1顷（100亩），价值10

000钱.问良田、劣田各有多少

亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（

A

）A

A.

B.

C.

D.

C

A.

0B.

1C.

2D.

3B

－144 cm2

7.

［2024•宜宾］某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个

大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，

根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为

箱.10

解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元.

解：（2）设2x＋y＝m，x－2y＝n，

11.

［2024•德阳模拟］在一堂充满探索与创