8.2多边形的内角和与外角和 第2课时 教学设计（2024-2025学年华东师大版 数学七年级下册）

8.2多边形的内角和与外角和第2课时教学设计（2024—2025学年华东师大版数学七年级下册）教材分析本节课是华东师大版七年级下册第八章第二节第2课时内容，承接上一课时多边形内角和定理的探究与应用，聚焦多边形外角和的推导、正多边形外角相关计算，以及内角和与外角和的综合运用，是平面几何的核心知识点之一。结合2022版数学新课标要求，本节课以“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”为核心素养导向，衔接三角形外角性质、多边形内角和等已有知识，为后续学习平面图形的镶嵌、圆的相关性质奠定基础，在整个几何知识体系中起到承上启下的桥梁作用。教材编排遵循七年级学生“具象感知—抽象概括—应用迁移”的认知规律，通过生活中常见的多边形物体（如自行车轮辐、五角星、正六边形地砖）引入外角概念，引导学生通过动手操作、合作探究推导外角和定理，注重知识的生成过程，突出“教-学-评”一体化理念，兼顾基础知识落实与思维能力培养，贴合新课标中“立足学生核心素养发展，注重情境化、结构化教学”的要求。教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，遵循“学习理解—应用实践—迁移创新”层层递进的原则，制定以下教学目标：学习理解1.能准确识别多边形的外角、外角和的定义，区分多边形一个顶点处的内角与外角的关系，明确多边形外角和的研究对象；2.理解多边形外角和定理的推导过程，掌握任意多边形（三角形、四边形、n边形）的外角和均为360°的核心结论，能结合内角和知识说明外角和的合理性；3.初步感知正多边形的外角特点，知道正n边形每个外角的度数计算公式，建立外角与正多边形边数的关联。应用实践1.能直接运用多边形外角和定理，计算任意多边形的外角和，求解正多边形的边数、每个外角的度数；2.能综合运用多边形内角和与外角和定理，解决简单的几何计算问题（如求多边形的边数、某个外角的度数、内角与外角的数量关系）；3.能结合生活情境，运用外角和知识解释简单的实际问题（如正多边形地砖镶嵌的合理性），落实“用数学的语言表达现实世界”的素养要求。迁移创新1.能通过类比多边形内角和的探究方法，自主拓展探究多边形外角和的不同推导思路，培养数学思维的灵活性与严谨性；2.能结合三角形、四边形的外角和特点，归纳总结多边形外角和的共性规律，迁移运用规律解决复杂的几何综合问题；3.能自主设计简单的几何探究任务，结合外角和知识进行简单的推理与验证，培养“用数学的思维思考现实世界”的核心素养，提升自主探究与合作创新能力。重点难点教学重点1.多边形外角和定理的推导过程与核心结论（任意多边形外角和为360°）；2.正多边形外角相关计算（每个外角的度数、边数求解）；3.多边形内角和与外角和定理的综合运用，落实基础计算与简单应用能力。教学难点1.多边形外角和定理的推导逻辑（如何通过内角和、平角性质等知识推导外角和，理解“任意多边形外角和恒为360°”的本质）；2.内角和与外角和定理的综合运用（灵活选择定理解决复杂计算，理清内角与外角的数量关联）；3.结合新课标核心素养要求，引导学生自主探究、迁移创新，将外角和知识与生活实际结合，实现知识的灵活迁移与运用。课堂导入（贴合学生生活经验，创设情境导入，兼顾趣味性与知识性，落实“教-学-评”一体化中的“学”的导入，激发探究兴趣）师：同学们，我们每天上学可能都会看到自行车，大家观察过自行车的车轮吗？车轮的辐条组成的图形是正多边形，无论是三角形、四边形还是正六边形的车轮（展示实物图片或课件动画），当车轮滚动一周时，车轮上的一个辐条会转过一定的角度。大家思考两个问题：第一，这个转过的角度与我们上节课学习的多边形内角有什么区别？第二，无论车轮是几边形，滚动一周时辐条转过的总角度是否有规律？（给予学生2分钟自主观察、小组交流时间，教师巡视指导，倾听学生想法，进行初步评价）师：刚才大家的交流很积极，有同学发现，辐条转过的角度不是多边形的内角，而是在多边形的边的延长线与另一边组成的角；还有同学猜测，无论几边形车轮，滚动一周的总角度是一样的。其实，大家发现的这种角就是我们今天要学习的多边形的外角，而滚动一周的总角度，就是多边形的外角和。今天我们就一起来探究《多边形的内角和与外角和》第2课时，揭开多边形外角和的神秘面纱，看看它到底有什么不变的规律。（导入设计意图：从生活中常见的自行车车轮入手，引导学生用数学的眼光观察现实世界，激发探究兴趣，同时衔接上节课内角和知识，通过提问引发认知冲突，自然引入本节课核心内容，初步落实“观察—猜想—探究”的教学思路，同步完成“评”的初步环节，评价学生的观察能力与联想能力。）探究新知（遵循“具象感知—抽象定义—探究推导—总结结论—初步应用”的结构化流程，拆分探究任务，落实“教-学-评”一体化，每个探究环节均包含教师引导、学生活动、评价反馈，贴合七年级学生认知规律，知识点讲解细致，去AI化，注重知识生成过程）探究一：多边形外角与外角和的定义1.教师引导：结合刚才自行车车轮的例子，展示三角形、四边形、五边形的课件图形，延长多边形的一条边，提问：这条延长线与多边形的另一条相邻边组成的角，叫做什么角？请大家结合图形，尝试用自己的语言描述这个角的特点。2.学生活动：自主观察图形，小组交流讨论，尝试描述外角的特点，动手在练习本上画出三角形、四边形的一个外角，对比内角，区分内角与外角的不同。3.评价反馈：教师邀请2-3名学生上台展示自己画的外角，并描述特点，针对学生的表述进行点评，纠正“外角是多边形外部的角”这种错误认知，强调外角的核心特点——顶点在多边形的顶点上，一边是多边形的一条边，另一边是多边形另一条边的延长线，且一个顶点处只能画一个外角（与内角互补）。4.抽象定义：教师结合学生的表述，规范多边形外角的定义：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做多边形的外角；在多边形的每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。5.补充说明：引导学生发现，多边形的每个顶点处，内角与外角互为邻补角（和为180°），一个n边形有n个顶点，因此有n个外角，且这n个外角均为不同顶点处的外角（避免重复计数）。（设计意图：从具象图形入手，引导学生自主描述、动手操作，落实“用数学的语言表达现实世界”，通过评价反馈纠正错误认知，扎实掌握外角与外角和的定义，为后续推导定理奠定基础，拆分“观察—描述—动手—规范”的小任务，降低认知难度。）探究二：多边形外角和定理的推导（结合上节课内角和定理，引导学生自主探究，设计两种推导思路，兼顾不同层次学生，落实“用数学的思维思考现实世界”，突出“教-学-评”一体化）思路一：利用邻补角性质与内角和定理推导1.教师引导：我们已经知道，多边形每个顶点处的内角与外角互为邻补角，和为180°。假设一个n边形，它的n个内角和为多少？（引导学生回忆上节课知识点：n边形内角和为(n-2)×180°），那么这n个内角与n个外角的和是多少？2.学生活动：自主计算，小组交流，得出结论：n个内角与n个外角的和为n×180°（每个顶点处内角+外角=180°，共n个顶点）。3.推导过程：教师引导学生自主推导外角和，板书推导步骤，强调逻辑严谨性：多边形外角和=n个内角与外角的和-多边形内角和=n×180°-(n-2)×180°，化简后可得：n×180°-n×180°+360°=360°。4.小组验证：请各小组分别以三角形、四边形、五边形为例，计算它们的外角和，验证推导结论的正确性（如三角形内角和180°，3个内角与外角和540°，外角和540°-180°=360°；四边形同理）。思路二：动手操作，直观感知（贴合七年级学生具象思维特点）1.教师引导：请大家拿出准备好的三角形、四边形纸片，在每个顶点处画出一个外角，然后将这些外角剪下来，拼在一起，观察拼成的图形是什么形状，角度和是多少。2.学生活动：动手剪拼，小组合作，记录拼出的图形（均为周角），得出角度和为360°的结论，结合思路一的推导，确认外角和的恒定性。3.评价反馈：教师巡视各小组的推导与剪拼情况，评价学生的逻辑思维能力与动手操作能力，针对推导过程中化简错误、剪拼不规范的问题，进行个别指导，邀请1-2个小组分享推导过程与剪拼结果，强化知识理解。4.总结结论：结合两种思路，得出多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°，与多边形的边数无关（强调“任意”“无关”两个关键词，突破难点）。（设计意图：通过两种思路探究，兼顾逻辑推理与具象感知，拆分“推导—验证—总结”的任务，落实新课标数学思维培养要求，让学生亲身经历知识生成过程，加深对定理的理解，同时通过评价反馈，及时巩固基础。）探究三：正多边形的外角相关计算1.教师引导：我们知道，正多边形的各个内角都相等，结合“内角与外角互为邻补角”，大家思考：正多边形的各个外角有什么特点？如何根据外角和定理，求正n边形每个外角的度数？2.学生活动：自主思考，小组交流，得出结论：正多边形的各个外角也相等（因为内角相等，邻补角也相等）；正n边形有n个相等的外角，外角和为360°，因此每个外角的度数=360°÷n。3.补充延伸：引导学生逆向思考，若已知正多边形每个外角的度数，如何求边数？（边数n=360°÷每个外角的度数），结合内角和知识，可进一步验证边数的正确性（如正六边形每个外角60°，边数360°÷60°=6，内角和(6-2)×180°=720°，每个内角120°，与外角60°互补，符合邻补角性质）。4.实例讲解：教师结合生活实例，讲解例题（贴合新课标情境化要求）：正六边形地砖是生活中常见的装修材料，求正六边形每个外角的度数，以及它的边数对应的外角和。（解析：正六边形n=6，每个外角=360°÷6=60°，外角和恒为360°）5.评价反馈：邀请学生上台完成简单的正多边形外角计算（如正五边形、正八边形每个外角的度数），评价学生的公式运用能力，纠正“混淆内角和与外角和公式”“计算失误”等问题，强化公式记忆与运用。（设计意图：结合正多边形的已有知识，引导学生自主推导外角计算公式，落实“迁移创新”的初步要求，通过实例讲解与逆向思考，完善知识体系，贴合生活实际，让学生感受到数学与生活的联系，同时通过评价反馈，巩固公式运用能力。）课堂练习（遵循“基础巩固—提升练习—拓展延伸”的分层原则，贴合本节课知识点，落实“教-学-评”一体化中的“评”的核心环节，每个练习均对应教学目标，兼顾不同层次学生，及时检测学习效果，反馈教学问题）基础巩固（对应学习理解目标，全员必做）1.填空题：三角形的外角和是______°；四边形的外角和是______°；十边形的外角和是______°。（考查外角和定理的核心结论，检测学生对“任意多边形外角和恒为360°”的掌握）2.选择题：下列说法正确的是（）（考查外角与外角和的定义，纠正错误认知）A.多边形的外角和与边数有关，边数越多，外角和越大B.多边形的一个顶点处可以画多个外角C.正多边形的每个外角都相等D.多边形的外角和是180°3.计算题：求正五边形每个外角的度数；求每个外角是30°的正多边形的边数。（考查正多边形外角计算公式的基础运用）提升练习（对应应用实践目标，小组合作完成）1.计算题：一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数。（考查内角和与外角和的综合运用，引导学生建立数量关系）2.应用题：一个多边形的每个外角都等于45°，求这个多边形的内角和。（综合考查外角计算公式与内角和定理，落实知识迁移）3.简答题：为什么正三角形、正四边形、正六边形可以单独镶嵌地面，而正五边形不能？（结合生活实际，考查外角和知识的实际应用，落实“用数学的语言表达现实世界”）拓展延伸（对应迁移创新目标，自主探究或小组合作）1.探究题：尝试用不同于本节课的方法，推导多边形的外角和定理（提示：可结合三角形外角性质，将多边形转化为多个三角形）。（考查迁移创新能力，培养数学思维的灵活性）2.综合题：一个多边形除去一个外角后，其余外角的和是320°，求这个除去的外角的度数以及这个多边形的边数。（考查外角和定理的灵活运用，突破难点，培养严谨的数学思维）练习反馈：学生自主完成基础题，小组合作完成提升题与拓展题，教师巡视指导，收集学生错题，针对共性问题（如综合运用时公式混淆、拓展题思路不清晰）进行集中讲解，个性问题进行个别辅导；讲解完成后，让学生自主订正错题，同桌互查，教师再次评价，确保学生掌握知识点，落实“评—改—评”的闭环。课堂总结（遵循“学生自主总结—教师补充完善—评价反馈”的流程，落实“教-学-评”一体化，引导学生梳理本节课知识体系，强化记忆，提升归纳总结能力）1.学生自主总结：请2-3名学生上台，自主梳理本节课所学知识点，分享自己的探究收获与困惑（如外角与外角和的定义、外角和定理的推导、正多边形外角计算、综合运用的难点等）。2.教师补充完善：结合学生的总结，用简洁的语言梳理本节课核心知识，形成知识体系，强调重点难点：核心知识点：多边形外角与外角和的定义、多边形外角和定理（任意多边形外角和360°）、正多边形外角计算公式（每个外角=360°÷n，边数n=360°÷每个外角）；核心方法：推导外角和的两种思路（邻补角+内角和、动手剪拼）、内角和与外角和的综合运用方法；核心素养：通过本节课的探究，提升用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的能力。3.评价反馈：针对学生的总结情况，评价学生的归纳总结能力与知识掌握程度，鼓励学生主动梳理知识，形成自己的知识体系，针对学生提出的困惑，再次进行简要讲解，确保学生无遗留问题。（设计意图：让学生成为总结的主体，落实新课标“以学生为中心”的理念，通过自主总结与教师补充，梳理知识体系，强化重点难点记忆，同时通过评价反馈，再次检测学生的学习效果，形成闭环教学。）课后任务（遵循“分层布置、贴合课标、兼顾基础与提升”的原则，落实“教-学-评”一体化的延伸，衔接课堂知识，培养学生自主学习能力与迁移创新能力，贴合七年级学生认知，避免过重负担）基础任务（全员必做，巩固课堂基础知识）1.完成教材对应课后习题，重点练习正多边形外角计算、内角和与外角和的基础综合计算，确保掌握外角和定理与计算公式；2.动手画一个六边形，在每个顶点处画出一个外角，计算它的外角和，验证外角和定理的正确性；3.整理本节课的知识点，用自己的语言写出外角和定理的推导过程，标注重点难点。提升任务（选做，针对学有余力的学生，落实应用实践目标）1.收集生活中用到正多边形的实例（至少3个），结合本节课所学知识，计算每个实例中正多边形的每个外角度数，说明其在生活中的应用合理性；2.完成课堂练习中的拓展延伸题，尝试多种思路推导多边形外角和定理，写下自己的探究过程与感悟。实践任务（全员必做，贴合新课标实践要求）与家人合作，用硬纸板制作一个正六边形和一个正八边形，测量它们每个外角的度数，与计算结果进行对比，验证计算公式的正确性，下节课分享自己的实践过程与结果。任务反馈：下节课开篇，教师收集学生的课后任务完成情况，进行简要评价，展示优秀作业（如知识点整理、实践报告），针对任务中出现的共性问题，进行集中讲解，落实“课后评—课堂补”的闭环，确保知识的巩固与延伸。板书设计（遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰、贴合教学过程”的原则，排版规范，便于学生回顾知识点，贴合七年级学生认知，避免过于繁琐）8.2多边形的内角和与外角和（第2课时）一、外角与外角和的定义1.外角：多边形一边与另一边反向延长线组成的角（顶点在顶点，邻补角）2.外角和：每个顶点取一个外角，所有外角的和二、外角和定理1.推导思路：思路一：n×180°-(n-2)×180°=360°思路二：动手剪拼→周角（360°）2.结论：任意多边形外角和=360°（与边数无关）三、正多边形外角计算1.每个外角=360°÷n（n为边数）2.边数n=360°÷每个外角的度数四、综合运用内角和+外角和相关计算（结合邻补角性质）五、核心素养用数学的眼光、思维、语言表达现实世界教学反思（结合本节课教学实际，贴合“教-学-评”一体化理念，反思教学优点与不足，结合2022新课标要求，提出改进措施，注重实用性与针对性，去AI化，体现真实教学反思，避免空泛表述）本节课围绕多边形外角和的定义、定理推导、正多边形外角计算及综合运用展开，紧扣2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，拆分合理的教学任务，贴合七年级学生“具象感知—抽象概括—应用迁移”的认知规律，整体教学流程顺畅，知识点讲解细致，注重知识的生成过程与学生的主体地位。本节课的优点的在于：第一，课堂导入贴合学生生活经验，从自行车车轮入手，有效激发了学生的探究兴趣，同时衔接上节课内角和知识，自然引入新课，初步落实了“用数学的眼光观察现实世界”的素养要求；第二，探究新知环节拆分合理，设计两种推导思路，兼顾逻辑推理与动手操作，让不同层次的学生都能参与其中，亲身经历外角和定理的推导过程，强化了知识理解，落实了“教-学-评”一体化，每个探究环节均包含教师引导、学生活动、评价反馈，及时纠正学生的错误认知；第三，课堂练习与课后任务分层设计，贴合教学目标，兼顾基础与提升，同时设计实践任务，贴合新课标实践要求，让学生感受到数学与生活的联系，提升了学生的应用实践能力；第四，板书设计简洁明了，重点突出，便于学生回顾知识点，课堂总结以学生为主体，培养了学生的归纳总结能力。本节课的不足在于：第一，外角和定理的推导环节，部分基础薄弱的学生对“n×180°-(n-2)×180°”的化简过程理解不透彻，逻辑思维跟不上，导