8.2多边形的内角和与外角和教学设计-2025-2026学年华师大版数学七年级下册

8.2多边形的内角和与外角和教学设计-2025-2026学年华师大版数学七年级下册一、教材分析本节课选自华师大版七年级下册第八章第二节，是在学生已经掌握三角形内角和、三角形外角性质及平面图形基本概念的基础上，对多边形的进一步探究，也是几何知识体系中“从特殊到一般”推理方法的重要应用载体。结合2022版数学新课标要求，本节课重点培养学生“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，既是对三角形相关知识的延伸与拓展，也为后续学习四边形、正多边形的性质及平面镶嵌奠定坚实基础，在整个几何模块的学习中起到承上启下的关键作用。教材编排遵循学生认知发展规律，从生活中常见的多边形实例入手，逐步引导学生探究多边形的内角和、外角和公式，注重让学生经历“观察—猜想—验证—应用”的完整探究过程，突出自主探究与合作交流的重要性，贴合新课标中“以学生为主体，强化实践探究，提升思维能力”的教学理念，同时渗透转化、分类、归纳等重要数学思想，帮助学生构建完整的几何知识框架。二、教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，立足七年级学生的认知基础和思维特点，本节课的教学目标从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面层层递进，实现知识、能力与素养的全面提升：（一）学习理解1.能准确识别多边形、正多边形、多边形的对角线等基本概念，明确多边形的分类标准（按边数、按内角大小），区分凸多边形与凹多边形的本质特征；2.经历多边形内角和公式的探究过程，理解“将多边形转化为三角形”的转化思想，准确掌握n边形内角和公式的推导逻辑；3.了解多边形外角和的定义，初步感知多边形外角和的特殊性，知道任意多边形的外角和是固定值，建立内角和与外角和的初步关联。（二）应用实践1.能熟练运用n边形内角和公式，计算任意多边形的内角和，或根据内角和求多边形的边数、单个内角的度数（正多边形）；2.能运用多边形外角和公式，解决与外角相关的简单计算问题，如求正多边形的每个外角度数、根据外角求边数；3.能结合多边形的概念、内角和与外角和公式，解决基础应用题，做到规范书写解题步骤，准确表达解题思路。（三）迁移创新1.能灵活运用转化思想，将不规则多边形转化为熟悉的三角形、四边形，探究不规则多边形的内角和，拓展公式的应用范围；2.能结合内角和、外角和公式，解决综合性问题，如折叠多边形中的角度计算、多边形与三角形的组合角度问题，培养逻辑推理与综合分析能力；3.能联系生活实际，发现多边形在生活中的应用，运用本节课所学知识解释生活中的相关现象（如地砖镶嵌的原理），实现数学知识与现实世界的关联，提升用数学语言表达现实世界的能力。三、重点难点（一）教学重点1.多边形、正多边形、对角线的基本概念，能准确区分凸多边形与凹多边形；2.n边形内角和公式的推导过程及熟练应用，能根据公式进行双向计算（求内角和、求边数）；3.任意多边形外角和的性质（固定为360°）及简单应用。（二）教学难点1.多边形内角和公式推导过程中，“将多边形分割为三角形”的方法选择与逻辑理解，尤其是分割后三角形个数与多边形边数的关联；2.灵活运用内角和、外角和公式解决综合性问题，突破“不规则多边形”“折叠问题”等易错点，理清解题思路；3.转化、归纳等数学思想的渗透与运用，引导学生从具体实例中提炼一般规律，培养用数学思维思考问题的习惯。四、课堂导入（导入时长：5分钟，贴合新课标“用数学的眼光观察现实世界”要求，联系生活实际，激发探究兴趣，实现“教-学-评”一体化的导入评价）师：同学们，在我们的生活中，除了熟悉的三角形，还有很多形状各异的平面图形。大家仔细观察大屏幕（展示生活中的多边形实例：地砖、窗户框架、五角星、自行车车架、正六边形螺母），这些图形和三角形有什么不同？它们有几条边、几个角？（引导学生自由发言，观察图形的边数和角的特点，教师结合学生发言，点评学生的观察角度，评价学生是否能准确识别图形的边、角特征）师：大家观察得非常仔细，这些图形都是由多条线段首尾顺次连接组成的，它们有一个共同的名字——多边形。我们已经掌握了三角形的内角和是180°，那这些多边形的内角和是多少呢？它们的外角又有什么特点？今天我们就一起来探究《多边形的内角和与外角和》，解锁多边形的神秘面纱。（导入设计意图：从生活实例入手，引导学生用数学的眼光观察身边的图形，激发探究欲望，同时衔接已学的三角形知识，为后续探究多边形内角和做好铺垫，通过学生发言完成初步评价，了解学生对图形的观察能力）五、探究新知（探究时长：25分钟，遵循“观察—猜想—验证—归纳”的思路，拆分3个探究任务，对应3个核心知识点，落实“教-学-评”一体化，每一步探究均设计学生活动与评价环节，贴合学生认知规律）探究任务一：认识多边形（知识点一：多边形的相关概念）1.自主观察：教师展示不同类型的图形（三角形、四边形、五边形、凸多边形、凹多边形、非封闭图形、不规则多边形），引导学生结合教材内容，自主观察并思考：（1）什么样的图形叫做多边形？多边形的边、顶点、内角、外角分别指什么？（2）多边形按边数可以分为哪些类型？按内角大小又可以分为哪两类？它们的本质区别是什么？（3）什么是正多边形？正多边形需要满足什么条件？（引导学生对比正三角形、正方形，总结正多边形的两个核心条件：各边相等、各内角相等）（4）什么是多边形的对角线？从一个顶点出发，能画出几条对角线？对角线把多边形分成了几个三角形？2.合作交流：将学生分成4人小组，围绕上述问题展开合作交流，每人分享自己的观察结果，小组内共同梳理知识点，解决疑惑（如：“为什么正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等？”“凹多边形和凸多边形的外角有什么不同？”）。3.展示评价：邀请2-3个小组代表上台展示小组梳理的知识点，教师结合学生展示，进行补充完善，重点强调易错点：（1）多边形必须是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭图形”，非封闭图形、线段不首尾顺次连接的图形都不是多边形；（2）凸多边形的所有内角都小于180°，且所有对角线都在多边形内部；凹多边形有一个内角大于180°，且有一条或多条对角线在多边形外部；（3）正多边形的两个条件缺一不可，如：菱形各边相等但内角不相等，不是正多边形；矩形各内角相等但边不相等，也不是正多边形。（评价：重点评价学生对概念的理解准确性、小组合作的积极性，以及能否用清晰的语言表达自己的观点，及时纠正错误认知，强化概念记忆）4.即时练习（嵌入评价）：让学生快速判断大屏幕上的图形是否为多边形、是凸多边形还是凹多边形、是否为正多边形，口头回答从一个顶点出发的对角线数量，教师即时点评，检验学生对知识点的掌握情况。探究任务二：探究多边形的内角和（知识点二：n边形内角和公式）1.回顾迁移：师：我们已经知道三角形的内角和是180°，那四边形的内角和是多少呢？能不能把四边形转化成我们熟悉的三角形，来计算它的内角和？（引导学生回忆“转化思想”，联系三角形内角和，激发学生的探究思路）2.自主探究：让学生自主尝试，用剪拼、分割的方法，将四边形转化为三角形，计算四边形的内角和。学生可以尝试不同的分割方法（如：从一个顶点出发画对角线、从边上一点画对角线、从内部一点画对角线），记录分割后三角形的个数，进而计算内角和。3.小组探究：将学生小组合作，拓展探究五边形、六边形的内角和，按照“分割—数三角形个数—计算内角和”的步骤，完成探究表格（小组内分工，一人分割、一人记录、一人计算、一人核对），并尝试寻找“多边形边数n与分割后三角形个数”的关联，猜想n边形的内角和公式。4.展示推导：邀请不同小组上台展示自己的分割方法和探究结果，教师引导学生对比不同分割方法的优劣（重点推荐“从一个顶点出发画对角线”的方法，因为其规律最明显），梳理探究过程：（1）四边形：从一个顶点出发画1条对角线，分成2个三角形，内角和=2×180°=360°；（2）五边形：从一个顶点出发画2条对角线，分成3个三角形，内角和=3×180°=540°；（3）六边形：从一个顶点出发画3条对角线，分成4个三角形，内角和=4×180°=720°；（引导学生总结：从n边形的一个顶点出发，可以画（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形）5.归纳公式：结合上述探究结果，引导学生归纳出n边形内角和公式：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，且n为整数），并强调公式的推导逻辑：将n边形转化为（n-2）个三角形，利用三角形内角和为180°，推导得出多边形内角和，渗透转化、归纳的数学思想。（评价：重点评价学生的探究方法是否合理、能否准确找到边数与三角形个数的关联、能否归纳出正确的公式，以及能否理解转化思想的应用，对探究过程中出现的问题，及时引导纠正，鼓励学生大胆尝试不同方法）6.即时练习（嵌入评价）：计算七边形、八边形的内角和；已知一个多边形的内角和是1080°，求它的边数。让学生独立完成，上台展示解题步骤，教师点评，重点评价解题步骤的规范性、公式应用的准确性。探究任务三：探究多边形的外角和（知识点三：多边形的外角和性质）1.概念铺垫：教师结合图形，讲解多边形外角的定义：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角；一个多边形有n个顶点，就有n个外角，且每个顶点处的外角与内角互为邻补角（和为180°）。2.猜想验证：师：我们已经知道n边形的内角和是（n-2）×180°，那n边形的外角和是多少呢？是不是和内角和一样，随着边数的变化而变化？引导学生猜想，然后结合邻补角的性质，自主推导外角和：推导过程：n边形有n个内角和n个外角，每个内角+对应的外角=180°，因此n个内角和+n个外角和=n×180°；又因为n边形内角和=（n-2）×180°，所以n边形外角和=n×180°-（n-2）×180°=360°。3.合作验证：让学生小组合作，通过剪拼多边形外角的方法，验证外角和是360°（如：剪拼正三角形、正方形、正五边形的外角，将它们拼在一起，观察是否能组成一个周角），进一步确认外角和的性质。4.总结性质：引导学生总结：任意多边形的外角和都是360°，与边数无关（无论是三角形、四边形，还是n边形，外角和始终是360°）。（重点强调：外角和的固定性是多边形的重要性质，与内角和的“随边数变化而变化”形成对比，帮助学生区分记忆）（评价：重点评价学生的推导逻辑是否清晰、剪拼验证的方法是否可行、能否准确总结外角和的性质，以及能否理解“邻补角性质”在推导中的应用，鼓励学生用不同方法验证，提升推理能力）5.即时练习（嵌入评价）：求正六边形的每个外角的度数；已知一个正多边形的每个外角是45°，求它的边数。学生独立完成，同桌互查，教师随机抽查，点评学生的解题思路和计算准确性。六、课堂练习（练习时长：10分钟，遵循“基础巩固—提升应用—拓展创新”的梯度，贴合教学目标，落实“教-学-评”一体化，及时检验学生的学习效果，练习后进行集中点评与个体评价）基础巩固题（对应学习理解、应用实践基础层面，全员必做）1.判断题（检验概念掌握情况）：（1）由五条线段组成的图形叫做五边形。（）（2）正多边形的各边相等，各内角也相等。（）（3）多边形的外角和随边数的增加而增加。（）（4）从n边形的一个顶点出发，能画出（n-2）条对角线。（）2.计算题（检验公式应用情况）：（1）计算九边形的内角和与外角和。（2）已知一个多边形的内角和是1440°，求它的边数。（3）求正八边形的每个内角和每个外角的度数。提升应用题（对应应用实践提升层面，全员必做，重点突破易错点）1.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数。2.一个凸多边形，每个内角都是150°，求这个多边形的边数。拓展创新题（对应迁移创新层面，选做，面向学有余力的学生）1.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠C=300°，DP、EP分别平分∠EDC和∠DEC，求∠DPE的度数。（链接三角形内角和与多边形内角和）2.探究不规则六边形的内角和，用两种不同的分割方法，写出推导过程。练习点评：集中点评基础题的共性错误（如：概念辨析错误、公式记错、计算失误），针对提升题和拓展题，邀请学生上台分享解题思路，教师补充完善，重点点评学生对转化思想的运用、解题步骤的规范性，评价学生的思维能力和应用能力，对表现优秀的学生给予肯定，对存在困难的学生进行个别指导，帮助其理清思路，突破难点。七、课堂总结（总结时长：3分钟，落实“教-学-评”一体化，引导学生自主梳理，强化知识体系，提升归纳能力，教师补充完善，升华数学思想）师：本节课我们一起探究了多边形的相关知识，现在请同学们闭上眼睛，回忆一下，本节课我们学习了哪些核心内容？你有什么收获？可以从知识点、数学思想、解题方法三个方面来说一说。（引导学生自主发言，分享自己的学习收获，小组内互相补充，教师结合学生发言，进行梳理总结，形成完整的知识体系）1.知识点梳理：本节课重点学习了三个核心知识点——多边形的相关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形、正多边形）、n边形内角和公式（（n-2）×180°）、任意多边形外角和性质（360°）；2.数学思想：重点渗透了转化思想（将多边形转化为三角形探究内角和）、归纳思想（从特殊多边形推导一般公式）；3.解题方法：掌握了“利用内角和公式求边数、求内角”“利用外角和公式求边数、求外角”的基本方法，学会了用分割法探究不规则多边形的内角和。（评价：评价学生的总结能力，是否能准确梳理核心知识点，是否能体会本节课渗透的数学思想，对总结全面、思路清晰的学生给予表扬，对遗漏的知识点进行补充，帮助学生构建完整的知识框架）八、课后任务（贴合新课标要求，分层设计任务，兼顾基础巩固与拓展提升，联系生活实际，实现“学用结合”，落实“教-学-评”一体化的课后评价）基础任务（全员必做，巩固课堂知识点）1.教材对应习题：完成本节课课后习题1-5题，规范书写解题步骤，确保公式应用准确，计算无误；2.梳理知识点：结合课堂笔记，自主梳理本节课的核心知识点，绘制简易知识结构图（包含概念、公式、易错点），强化知识记忆。提升任务（全员必做，提升应用能力）1.计算题：（1）求正十边形的每个内角和每个外角的度数；（2）已知一个多边形的每个外角是30°，求它的内角和；2.应用题：一个凸五边形，其中四个内角的度数分别是100°、110°、120°、130°，求第五个内角的度数。拓展任务（选做，培养迁移创新能力，联系生活实际）1.观察生活中的多边形物体，记录3个不同类型的多边形（标注边数、是否为正多边形、凸凹性），并运用本节课所学知识，计算其中一个多边形的内角和或外角和；2.探究：为什么生活中的地砖大多是正三角形、正方形、正六边形？结合多边形的内角和与外角和，尝试解释其中的原理，撰写一段简短的探究说明（100字左右）。任务评价：课后将学生的作业按层次进行批改，重点评价基础任务的完成质量（概念准确性、公式应用、步骤规范性），提升任务的解题思路，拓展任务的探究深度与创新性；对存在错误的学生，进行针对性批注和辅导，鼓励学生主动订正错误；对拓展任务完成优秀的学生，在课堂上进行展示表扬，激发学生的探究兴趣。九、板书设计（板书设计简洁明了、重点突出、条理清晰，贴合教学流程，便于学生回顾知识点，突出“教-学-评”一体化的核心，避免冗余内容）多边形的内角和与外角和一、多边形的相关概念1.定义：三条及以上线段首尾顺次连接的封闭图形2.分类：凸多边形（内角<180°）、凹多边形（一个内角>180°）3.正多边形：各边相等、各内角相等4.对角线：从n顶点出发，（n-3）条，分（n-2）个三角形二、多边形的内角和1.推导：转化为三角形（分割法）2.公式：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）三、多边形的外角和1.定义：一边与邻边延长线组成的角2.性质：任意多边形外角和=360°（与边数无关）四、核心思想：转化、归纳五、解题关键：灵活运用公式，规范书写步骤十、教学反思（结合2022版新课标要求、“教-学-评”一体化理念，贴合学生认知发展，全面复盘本节课的教学过程，分析优点与不足，提出具体改进措施，提升后续教学效果）本节课围绕“多边形的内角和与外角和”展开教学，紧扣2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，拆分三个探究任务，对应三个核心知识点，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的完整探究过程，注重学生自主探究与合作交流能力的培养，渗透转化、归纳等数学思想，整体贴合七年级学生的认知规律，基本达成了预设的三个层面教学目标。本节课的优点主要有：1.导入贴合生活实际，能有效激发学生的探究兴趣，引导学生用数学的眼光观察现实世界，同时衔接已学知识，为后续探究做好铺垫，导入环节的即时评价，能快速了解学生的初始认知；2.探究新知环节设计合理，任务拆分细致，每个知识点都遵循“自主探究—合作交流—展示评价”的流程，落实“教-学-评”一体化，让学生真正成为课堂的主体，既能掌握知识点，又能提升思维能力和表达能力；3.课堂练习和课后任务分层设计，兼顾不同层次学生的需求，基础题巩固知识点，提升题突破易错点，拓展题联系生活实际，培养迁移创新能力，贴合新课标“面向全体学生”的教学要求；4.板书设计简洁明了，重点突出，能帮助学生快速梳理核心知识点，强化知识记忆，符合七年级学生的认知特点；5.注重数学思想的渗透，在内角和公式推导过程中，重点引导学生理解转化思想，在总结环节强化归纳思想，贴合新课标对数学思维培养的要求。本节课的不足主要有：1.探究多边形内角和公式时，部分学生对“分割后三角形