第08讲 二元一次方程组中含参数问题（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学新教材华东师大版）

第08讲二元一次方程组中含参数问题（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学新教材华东师大版）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是二元一次方程组章节的延伸与拓展内容，安排在寒假预习阶段，承接七年级上册一元一次方程含参数问题、二元一次方程组的解法等已学知识，同时为后续八年级一次函数与二元一次方程组的关联、含参数不等式组等内容奠定基础，是衔接基础运算与综合应用的关键节点。结合2022版数学新课标要求，本节课核心是引导学生运用“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，通过分析参数的意义、探究含参数方程组的解的各类情形，培养学生分类讨论、转化归纳的思维能力，落实“教-学-评”一体化理念，贴合寒假预习“温故知新、循序渐进”的特点，兼顾基础性与探究性，契合七年级学生从具体运算向抽象思维过渡的认知发展规律。教材编排注重知识的层次性，从基础的参数识别、解的对应关系，到复杂的解的个数判断、特殊解问题，逐步引导学生突破难点，同时预留了拓展空间，可结合寒假预习的灵活性，补充生活化、情境化例题，让学生感受参数在实际问题中的应用价值，体现数学与现实世界的紧密联系。二、教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，围绕“学习理解、应用实践、迁移创新”三个层次，层层递进设计教学目标，兼顾知识掌握、能力提升与素养落实：（一）学习理解1.能清晰识别二元一次方程组中的参数，明确参数的含义（未知的常数，不改变方程组的二元一次属性），区分参数与未知数的差异；2.掌握含参数二元一次方程组的基本解法，能在参数为具体数值时，准确求解方程组，理解“把参数当作已知数求解”的核心思路；3.初步感知含参数二元一次方程组的解的不同情形，能结合简单实例，说出解的个数与参数之间的关联。（二）应用实践1.能根据含参数二元一次方程组的解的具体条件（如解为正数、整数，解满足某一关系式等），求出参数的取值或取值范围；2.能解决含参数二元一次方程组“同解”“无解”“无数组解”的基础问题，熟练运用方程组解法转化参数关系；3.能规范书写解题步骤，准确表达解题思路，体现数学语言的严谨性，落实“用数学的语言表达现实世界”的素养。（三）迁移创新1.能结合一元一次方程含参数问题的解题经验，迁移运用到二元一次方程组含参数问题中，总结归纳同类问题的解题规律，培养转化归纳思维；2.能解决含多个参数、结合实际情境的含参数二元一次方程组问题（如行程、计费等简单场景），灵活运用分类讨论思想突破难点；3.能自主设计简单的含参数二元一次方程组问题，并求解验证，培养“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界”的核心素养，提升自主探究能力。三、重点难点（一）教学重点1.含参数二元一次方程组的基本解法（把参数当作已知数求解）；2.根据方程组解的条件（如整数解、解满足关系式）求参数的取值或取值范围；3.含参数二元一次方程组“同解”问题的解法。（二）教学难点1.理解含参数二元一次方程组“无解”“无数组解”的条件，突破分类讨论的思维障碍；2.解决含参数二元一次方程组的整数解问题时，准确梳理参数的取值规律，避免遗漏；3.灵活迁移已学知识，将复杂的含参数问题转化为基础的方程组求解问题，落实数学思维的运用。四、课堂导入（5分钟）导入设计贴合寒假预习“温故知新”特点，衔接已学知识，引发认知冲突，激发探究兴趣，落实“教-学-评”一体化中的“评前置”，初步检测学生旧知掌握情况：1.回顾提问（口头检测）：同学们，之前我们已经掌握了二元一次方程组的解法，比如求解方程组x+y=52x-y=12.变式提问（引发思考）：如果我们把这个方程组改成x+y=52x-y=k3.导入课题：像这样，在二元一次方程组中，除了未知数x、y之外，出现的未知常数（如k），我们就称之为“参数”。今天我们就一起来预习——二元一次方程组中含参数问题，看看参数会给方程组的解带来哪些变化，如何解决这类问题。（设计意图：通过旧知回顾检测学生对二元一次方程组解法的掌握，通过变式引入参数，让学生直观感受参数与未知数的差异，引发探究欲望，同时衔接寒假预习的“衔接性”，降低抽象思维的难度。）五、探究新知（25分钟）探究新知围绕3个核心知识点展开，遵循“探究—讲解—小练—评价”的流程，落实“教-学-评”一体化，每个环节兼顾教师引导、学生自主探究，贴合七年级学生认知规律，逐步突破重点、化解难点，知识点讲解细致详尽，拆分合理、逻辑清晰。探究一：参数的识别与含参数方程组的基本解法（核心知识点一）1.自主探究：给出3个方程组，让学生自主观察、分类，找出其中的参数，区分参数与未知数：（1）2x+3y=7ax-y=4（2）m+n=53m-2n=1（学生自主完成后，小组内交流，教师巡视指导，重点关注学生是否能准确区分参数与未知数，点评时强调：参数是未知的常数，不改变方程组的二元一次属性，未知数是我们要求解的量，如（1）中a是参数，x、y是未知数；（2）中m、n是未知数，无参数；（3）中k是参数，x、y是未知数。）2.讲解核心思路：含参数二元一次方程组的基本解法——把参数当作已知数，按照“消元法”（代入消元、加减消元）求解，参数的存在不改变消元的核心步骤，只是最终的解会含有参数。3.例题讲解（细致拆解步骤）：解方程组2x+y=5kx+3y=13步骤1：选择代入消元法，由第一个方程得：y=5-2x（教师强调：消元的第一步，与不含参数的方程组解法一致）；步骤2：将y=5-2x代入第二个方程，得：kx+3(5-2x)=13（教师强调：把参数k当作已知数，正常去括号、移项）；步骤3：去括号、移项、合并同类项：kx+15-6x=13→(k-6)x=-2（教师强调：同类项合并时，含x的项与含k的项分开，注意符号）；步骤4：求解x：当k≠6时，x=-2k-6步骤5：将x的值代入y=5-2x，求解y：y=5-2×26-k=30-5k-4步骤6：总结解的形式：当k≠6时，方程组的解为x=24.即时小练（评价反馈）：解方程组x-2y=33x+ay=8探究二：含参数二元一次方程组的解的条件问题（核心知识点二）1.情境探究：结合导入环节的变式方程组x+y=52x-y=k（学生自主思考，尝试解题，教师引导：方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此可以把x=2，y=3代入含有参数k的方程中，转化为一元一次方程求解k。）2.例题讲解（分层拆解，覆盖不同条件）：例题1（解满足具体数值）：已知x=1y=-2是方程组ax+by=7拆解步骤：①代入：把x=1，y=-2代入两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组a-2b=7b+2a=1例题2（解满足某一关系式）：已知方程组2x+3y=kx+2y=1拆解步骤：①思路分析：有两种方法，方法一：先解含参数k的方程组，用k表示x、y，再代入x+y=3求解k；方法二：将x+2y=1与x+y=3组成新的方程组，求出x、y的值，再代入2x+3y=k求解k（引导学生对比两种方法，选择简便的方法）；②示范解题（方法二）：解方程组x+2y=1x+y=3，得x=53.即时小练（评价反馈）：（1）已知x=3y=1是方程组mx+ny=10（2）已知方程组3x-2y=5ax+by=1（学生自主完成，小组内互相检查，教师抽取部分学生作业点评，重点关注解题思路的灵活性、计算的准确性，针对共性错误进行集中讲解。）探究三：含参数二元一次方程组的解的个数与特殊解问题（核心知识点三）1.回顾铺垫：结合探究一中的例题，提问：当k=6时，方程组2x+y=5kx+3y=13会变成什么样子？有解吗？（引导学生代入k=6，得到2x+y=52.自主探究（解的个数）：给出三组方程组，让学生自主求解，观察解的个数，总结规律：（1）x+2y=52x+4y=10（2）x+2y=52x+4y=11（学生自主求解后，小组内交流，教师引导总结：①方程组（1）中，第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示同一条直线，因此有无数组解；②方程组（2）中，第二个方程左边是第一个方程左边的2倍，右边不是，两个方程表示平行且不重合的直线，因此无解；③方程组（3）中，两个方程表示相交的直线，因此有唯一一组解。）3.讲解规律（结合新课标思维要求）：对于二元一次方程组a1x+b①有唯一一组解：a1②有无数组解：a1③无解：a1（教师强调：记忆规律时，可结合“比例关系”，重点关注系数的比例与常数项比例的关系，同时通过举例巩固，避免混淆。）4.变式探究（特殊解——整数解）：已知方程组x+y=73x-5y=k拆解步骤：①先解方程组，用k表示x、y：由x+y=7得x=7-y，代入3x-5y=k，得3(7-y)-5y=k→21-8y=k→y=21-k8，则x=7-21-k8=56-21+k8=35+k5.即时小练（评价反馈）：（1）判断方程组3x-6y=2x-2y=1（2）已知方程组2x+3y=12mx-y=4（学生自主完成，教师巡视指导，重点关注学生对解的个数规律的运用、整数解条件的分析，点评时强调分类讨论、举例验证的重要性，落实数学思维的培养。）六、课堂练习（10分钟）课堂练习遵循“分层设计”原则，贴合三个核心知识点，兼顾基础巩固、重点突破与难点提升，落实“教-学-评”一体化中的“评过程”，及时检测学生新知掌握情况，题目难度循序渐进，贴合寒假预习要求，避免过于复杂，同时预留拓展空间。基础题（巩固核心知识点一、二，全员必做）1.解方程组x-3y=22x+my=52.已知x=2y=1是方程组2ax+by=53.已知方程组2x+y=3x+ky=4提升题（突破核心知识点三，选做+必做结合）4.判断下列方程组的解的个数，并说明理由：（1）4x+2y=62x+y=3（2）5.已知方程组3x+2y=7ax+y=4拓展题（迁移创新，寒假预习延伸，选做）6.已知方程组x+2y=3k2x+y=k+17.已知方程组2x+ay=4x+4y=8（练习要求：学生自主完成，基础题全员过关，提升题尽量完成，拓展题自主尝试；教师巡视，针对共性错误集中讲解，个性错误单独指导，练习结束后，抽取部分学生的解题过程进行点评，强调解题步骤的规范性、思维的严谨性，同时记录学生的薄弱点，为后续课后任务设计提供依据。）七、课堂总结（3分钟）课堂总结遵循“学生自主总结—教师补充完善—评价提升”的流程，贴合“教-学-评”一体化，引导学生梳理本节课的核心知识点、解题思路与易错点，强化记忆，提升归纳能力，同时衔接寒假预习的“巩固性”。1.学生自主总结：邀请2-3名学生发言，说说本节课学到了哪些知识、掌握了哪些解题方法、有哪些易错点（鼓励学生大胆发言，自主梳理，教师不打断、不提示）；2.教师补充完善（梳理核心）：（1）核心知识点：三种含参数二元一次方程组问题——参数识别与基本解法、解的条件问题、解的个数与特殊解问题；（2）核心思路：处理含参数问题，核心是“把参数当作已知数”，灵活运用消元法求解，结合条件转化为一元一次方程或不等式（组），必要时运用分类讨论思想；（3）易错点：①混淆参数与未知数；②忽略参数的限制条件（如求整数解时遗漏参数的取值）；③判断解的个数时，记错系数比例关系；④计算过程中符号错误。3.评价提升：结合学生的总结与课堂表现，肯定学生的进步，强调：含参数问题是二元一次方程组的重点延伸，也是寒假预习的核心内容，后续需要通过练习不断巩固，重点培养分类讨论、转化归纳的思维，落实新课标数学核心素养，为后续学习打下坚实基础。八、课后任务（分层设计，贴合寒假预习）课后任务遵循“分层设计、贴合预习、巩固提升”的原则，结合课堂练习中学生的薄弱点，分为基础巩固、提升拓展、预习延伸三类，兼顾不同层次学生的需求，落实“教-学-评”一体化中的“评延伸”，同时贴合寒假预习“自主学习、循序渐进”的特点，任务量适中，难度合理。基础巩固（全员必做，巩固课堂核心知识点）1.解下列含参数的二元一次方程组：（1）3x-y=52x+ny=1（n为参数）（2）mx+2y=72.已知x=-1y=2是方程组ax+by=33.已知方程组x+3y=82x-y=k提升拓展（选做+必做结合，突破难点）4.判断下列方程组的解的个数，并说明理由：（1）5x-10y=3x-2y=1（2）3x+y=75.已知方程组2x+3y=11ax-by=6与3x-2y=16.已知方程组x+ky=32x+4y=6预习延伸（选做，衔接后续内容）7.已知方程组3x+2y=m+14x+3y=m-18.自主搜集1-2道含参数二元一次方程组的整数解问题，尝试求解，并记录解题思路。（任务要求：①规范书写解题步骤，标注解题思路；②基础题确保正确率，提升题尽量完成，拓展题自主尝试；③遇到疑问，可标注出来，开学后交流讨论；④结合寒假预习节奏，合理安排时间完成，避免拖延。）九、板书设计（简洁明了，突出核心，贴合课堂流程）板书设计遵循“简洁、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合课堂探究流程，突出核心知识点、解题思路与易错点，方便学生回顾记忆，同时兼顾七年级学生的认知特点，避免过于繁琐。（板书布局：左侧核心知识点，中间解题思路，右侧易错点）二元一次方程组中含参数问题（寒假预习）一、核心知识点1.参数识别：未知常数，区别于未知数2.基本解法：把参数当作已知数，消元求解3.解的相关问题：-解的条件：代入解/关系式→求参数-解的个数：看系数比例（三种情形）-特殊解：整数解/负数解→分析参数规律二、核心思路转化（参数→已知数）、分类讨论、验证三、易错点1.混淆参数与未知数2.忽略参数限制条件3.系数比例记忆错误4.计算符号错误十、教学反思结合2022版数学新课标核心素养要求、本节课的教学流程与学生表现，围绕“教-学-评”一体化理念，从亮点、不足、改进方向三个方面进行反思，贴合寒假预习的特点，为后续教学（或预习辅导）提供依据，同时注重实用性、针对性，去除空泛表述，体现教学实践中的真实思考。（一）教学亮点1.知识点拆分合理，贴合学生认知：本节课围绕3个核心知识点展开，每个知识点遵循“探究—讲解—小练—评价”的流程，从基础到复杂，层层递进，符合七年级学生从具体运算向抽象思维过渡的认知规律，同时贴合寒假预习“温故知新、循序渐进”的特点，降低了参数问题的抽象难度。2.落实新课标核心素养，突出“教-学-评”一体化：整个教学过程中，注重引导学生运用“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”的核心素养，通过自主探究、小组交流、即时小练、课堂练习等环节，及时检测学生的学习情况，评价贯穿教学全过程，既关注知识掌握，也关注思维能力的提升，贴合新课标要求。3.分层设计，兼顾不同层次学生：课堂练习、课后任务均采用分层设计，基础题巩固核心知识，提升题突破难点，拓展题衔接后续内容，兼顾了不同层次学生的需求，尤其是寒假预习阶段，学生基础差异较大，分层设计能让基础薄弱的学生巩固知识，基础较好的学生得到提升。4.注重解题思路的引导与规范：在例题讲解中，细致拆解解题步骤，强调解题思路的逻辑性与步骤的规范性，同时引导学生对比不同解题方法，选择简便思路，培养学生严谨的数学思维与规范的表达能力，避免学生出现“会做但写不对”的问题。（二）教学不足1.学生自主探究的深度不足：在探究“解的个数”与“整数解”问题时，部分学生依赖教师引导，自主思考、主动探究的意识不够，尤其是对于分类讨论思想的运用，部分学生难以主动联想到，需要教师反复提示，贴合七年级学生抽象思维薄弱的特点，但也反映出探究环节的设计可进一步优化，引导学生更主动地参与探究。2.易错点的强调与巩固不够：虽然在课堂总结、板书设计中强调了易错点，但在课堂练习中，部分学生仍出现混淆参数与未知数、忽略参数限制条件等错误，说明对易错点的巩固力度不足，可增加针对性的错题讲解环节，结合学生的错误案例进行分析，加深学生的记忆。3.贴合寒假预习的情境化设计不足：本节课的例题、练习多为纯数学问题，贴合寒假预习的情境化、生活化设计较少，未能充分体现“数学与现实世界的紧密联系”，部分学生可能会觉得参数问题枯燥，降低探究兴趣，可适当增加贴合寒假生活的情境化例题（如寒假购物、行程等）。4.对学生个体差异的关注不够：课堂巡视、