一元一次方程模型的应用专题复习知识清单

一元一次方程模型的应用专题复习知识清单

一、核心概念与基本思想

（一）数学模型思想【非常重要】【核心素养】方程是刻画现实世界中等量关系的重要数学模型。将实际问题转化为数学问题，抽象出数量关系，并用数学符号（方程）表示，这一过程称为建模。本章的核心在于体验并掌握这一从“现实情境”到“数学符号”的转化过程，理解方程是解决实际问题的有力工具。

（二）化归思想【基础】【核心思想】解一元一次方程的过程，本质上是将复杂的方程形式通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，最终转化为“x=a”的形式。这是将未知转化为已知、复杂转化为简单的化归思想的典型应用。在解决实际问题时，将实际背景转化为数学方程，同样是化归思想的体现。

（三）方程意识【基础】【关键能力】面对一个实际问题，不是盲目地尝试算术方法拼凑，而是主动地寻找题目中蕴含的等量关系，设出合适的未知数，将等量关系“翻译”成方程。这种“设列”优先于“求解”的意识，是代数思维成熟的重要标志。

二、一元一次方程模型构建的通法【非常重要】【核心步骤】

（一）审题——捕捉关键信息与基本量

1.明确问题类型：首先判断题目属于行程、工程、销售、积分、分段计费中的哪一类，或者是否为它们的综合应用。不同类型的问题，其涉及的基本量（如路程、速度、时间；工作量、工作效率、工作时间）和常见等量关系具有规律性。

2.标注关键数据：圈出题目中所有的具体数值，包括数字、百分数、倍数关系、表示大小关系的词语（如“多”、“少”、“相等”、“几倍”）。

3.识别隐含条件：如行程问题中的“同时出发”、“相遇”、“追上”；工程问题中的“合作”、“先做”、“完成”；销售问题中的“盈利”、“亏损”、“打折”等词语背后隐含的等量关系。

（二）设元——选择与表述【重要】【考点】

1.直接设元法：绝大多数题目，题目问什么，就设什么为未知数。例如，求某件商品的成本，设成本为x元。这是最直接、最常用的方法。

2.间接设元法：当直接设元导致列方程困难或方程复杂时，可以选择与问题相关的中间量为未知数。例如，在行程问题中，有时设速度为x，比直接设路程更容易找到等量关系。求出中间量后，再进一步求出题目所问。

3.设辅助未知数（参数）：在某些复杂问题中，有些量虽然未知，但在整个过程中保持不变或存在比例关系，可以设为一个字母（如设总工作量为1，或设甲乙速度比为k），这个辅助未知数在求解过程中可能会被消去，但能帮助我们建立等量关系。

（三）列方程——寻找并表达等量关系【重中之重】【难点】【高频考点】

这是建模的核心环节。

1.寻找等量关系的方法：

1.2.根据常见公式：如路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间，利润=售价-进价，总价=单价×数量等。

2.3.抓住不变量：如行程中的相遇问题，两者路程之和等于总路程；追及问题，两者路程之差等于初始距离。工程问题中，各部分工作量之和等于总工作量（通常视为1）。调配问题中，调配前后总量不变。

3.4.理解关键词句：将题目中的“比...多/少”、“是...的几倍”、“共”、“提前/推迟”、“同时”等语言，准确地翻译成数学运算符号（+、-、×、÷）和等号。

5.表达等量关系：将找到的等量关系，用含有已知数和未知数的代数式表示出来。等号两边表达的是同一意义的量。例如，“甲走的路程=乙走的路程+20”，这就是一个等量关系式。

（四）解方程——规范求解【基础】【必会】

依据等式的基本性质，按步骤求解一元一次方程。步骤通常为：去分母（如有）→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。要求过程严谨，计算准确。

（五）验根与作答——确保答案合理【重要】【易错点】

1.检验方程的解：将求得的未知数值代入原方程，看左右两边是否相等，检验计算是否正确。

2.检验解的合理性：将解代入实际问题情境中检验。例如，人数、物体个数必须是正整数；时间、长度、成本不能为负数。若求得负数或分数（不符合实际意义时），则需检查方程是否列错或题目情境是否有特殊要求。最后，必须根据题目问题，写出完整的答案。

三、常见题型深度剖析【核心内容】

（一）产品配套问题【热点】【难点】

1.题型特征：题目描述一个生产过程由几个环节组成，每个环节的人数或生产数量需要按一定比例分配，才能最终生产出配套的产品。例如，螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套。

2.核心等量关系：各配套部分的数量之比等于配套比。

1.3.特别注意：不是简单的“甲数量=乙数量”，而是“甲数量×乙的配套系数=乙数量×甲的配套系数”。例如，1个盒身配2个盒底，则数量关系为：盒底数量=2×盒身数量，或盒身数量:盒底数量=1:2。

4.解题策略：设其中一个环节的人数为x，根据总人数不变，用x表示另一个环节的人数，再根据配套比例关系列出方程。

5.【经典案例】某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓要配两个螺母。应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

1.6.分析：设生产螺栓的有x人，则生产螺母的有(28-x)人。

2.7.等量关系：螺母总数=2×螺栓总数。

3.8.方程：18(28-x)=2×12x。

4.9.【易错警示】易错将等量关系错误地写成“12x=18(28-x)”，忘记了“一个配两个”的比例关系是倍数关系，而非相等关系。

（二）工程问题【基础】【高频考点】

1.题型特征：涉及工作量、工作效率、工作时间。常将总工作量看作单位“1”。

2.核心公式：工作量=工作效率×工作时间。

3.常见等量关系：

1.4.各部分工作量之和=总工作量（1）。

2.5.工作效率=1/单独完成所需时间。

6.解题策略：通常设总工作量为1，根据工作时间或工作量之间的关系列方程。若多人或多阶段工作，要清晰表示出每个人或每个阶段完成的工作量。

7.【经典案例】一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成。甲队先做2天后，剩下的由两队合作完成，还需要多少天？

1.8.分析：甲效率1/10，乙效率1/15。设还需要x天。

2.9.等量关系：甲先做工作量+甲乙合作工作量=1。

3.10.方程：(1/10)×2+(1/10+1/15)x=1。

4.11.【拓展变式】若问“共需多少天”，则需注意设未知数的不同。

（三）行程问题【非常重要】【难点】【综合应用】

1.核心公式：路程=速度×时间。

2.基本类型：

（1）相遇问题【基础】

*特征：两者从两地同时相向而行。

*等量关系：两者路程之和=初始距离。

*变式：不同时出发时，需考虑时间差。

（2）追及问题【基础】

*特征：两者同向而行。

*等量关系（同时不同地）：快者路程-慢者路程=初始距离差。

*等量关系（同地不同时）：快者路程=慢者路程。

（3）航行问题【重要】

*特征：涉及顺水/逆水、顺风/逆风。

*核心关系：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。

*等量关系：往往利用往返路程相等，或航行总时间关系列方程。

（4）环形跑道问题【难点】

*特征：在环形封闭路线上运动。

*等量关系（同时同地出发）：①背向而行，第一次相遇：路程和=跑道周长。②同向而行，第一次相遇（追上）：快者路程-慢者路程=跑道周长。

3.解题策略：画线段图是解决行程问题最直观有效的方法。将运动过程、已知量、未知量标注在图上，等量关系便一目了然。

4.【经典案例】一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s。求火车的长度。

1.5.分析：这是行程问题中的“过桥（隧道）”问题。

1.2.6.“经过隧道”：从车头进到车尾出，路程=隧道长+车长。

2.3.7.“灯光照在车上”：从灯光照上车头到照上车尾，路程=车长。

4.8.设火车长度为x米。

5.9.等量关系：火车速度不变。

6.10.方程：(300+x)/20=x/10。

（四）销售与利润问题【热点】【高频考点】

1.涉及的基本量：进价（成本）、售价、标价（定价）、折扣、利润、利润率。

2.核心公式：

1.3.售价=标价×折扣（如打八折，售价=标价×0.8）。

2.4.利润=售价-进价。

3.5.利润率=利润/进价×100%。（这是相对于成本的利润率，需特别注意）

4.6.利润=进价×利润率。

7.常见等量关系：通常围绕利润、利润率或售价之间的关系展开。如“按标价销售，盈利x%”或“打折销售，仍获利y%”。

8.【经典案例】一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这种服装每件的成本是多少元？

1.9.分析：设成本为x元。

2.10.步骤：标价=x(1+40%)=1.4x；售价=1.4x×0.8=1.12x。

3.11.等量关系：售价-成本=利润。

4.12.方程：1.12x-x=15。

5.13.【易错警示】利润率是相对于进价的，切勿将“提高40%标价”理解为“标价是成本的40%”，而是“比成本多40%”。

（五）积分与球赛问题【基础】

1.题型特征：常出现在足球、篮球等比赛积分表或题目描述中，涉及胜、负、平的场次与得分。

2.核心等量关系：总场次=胜场数+负场数+平场数；总积分=胜场得分+平场得分+负场得分（负场通常得0分）。

3.解题策略：往往设胜（或负）场数为x，根据总场次表示其他场数，再根据总积分列方程。

4.【经典案例】在一次足球联赛中，某队共参赛22场，得46分。已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。已知该队负的场次比胜的场次少8场，求该队平了多少场？

1.5.分析：设胜了x场，则负了(x-8)场，平了[22-x-(x-8)]=(30-2x)场。

2.6.等量关系：胜场得分+平场得分=总积分。

3.7.方程：3x+1×(30-2x)=46。

（六）分段计费与方案选择问题【非常重要】【热点】【核心素养】

1.题型特征：如水费、电费、话费、出租车费、医疗保险报销等，通常将使用量或消费额分成若干段，不同段内计费标准不同。方案选择问题则常常提供两种或多种收费方式，需要根据使用量判断哪种更划算。

2.核心等量关系：总费用=各段费用之和。分段点处的数量关系是列方程的关键。

3.解题策略：

1.4.明确分段区间和对应的单价。

2.5.判断已知量落在哪个区间段。若未知，则需要先设出未知数，并根据其在不同区间的情况进行分类讨论。

3.6.对于方案选择问题，常先找到两种方案费用相等时的“临界点”，再根据实际用量与临界点的比较，或通过列方程求解具体数值，做出最优选择。

7.【经典案例】某市居民用水实行阶梯水价，户年用水量不超过180立方米，水价为5元/立方米；超过180立方米但不超过260立方米的部分，水价为7元/立方米；超过260立方米的部分，水价为9元/立方米。若某户居民一年共缴纳水费1180元，求该户居民这一年的用水量。

1.8.分析：先估算用水量大概在哪一档。

1.2.9.第一档最高水费：180×5=900元<1180元。

2.3.10.第二档最高水费：900+(260-180)×7=900+560=1460元>1180元。

3.4.11.所以用水量在第二档（180到260之间）。设用水量为x立方米。

5.12.等量关系：第一档费用+第二档费用=总水费。

6.13.方程：180×5+(x-180)×7=1180。

7.14.【解题关键】必须先通过计算判断用水量范围，否则方程形式可能列错。

（七）数字问题【基础】

1.题型特征：涉及一个数的各个位数上的数字，或者连续数的和、差、积等问题。

2.核心表示方法：

1.3.两位数=十位数字×10+个位数字。

2.4.三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。

3.5.连续整数：设中间一个为x，则前一个为x-1，后一个为x+1。

4.6.连续奇数/偶数：设中间一个为x，则前一个为x-2，后一个为x+2。

7.【经典案例】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，得到的新数比原数大18，求原来的两位数。

1.8.分析：设原数十位数字为x，则个位数字为x+2。

2.9.原数=10x+(x+2)=11x+2。

3.10.新数=10(x+2)+x=11x+20。

4.11.等量关系：新数-原数=18。

5.12.方程：(11x+20)-(11x+2)=18。此方程恒成立，需注意。实际上，任何一个个位比十位大2的数，对调后都大18。此题说明，题目可能还有其他隐含条件，或此题本身意在说明这一规律。若题目给出具体和或差，则方程可解。

（八）年龄问题【基础】

1.题型特征：涉及不同对象在不同时间的年龄。

2.核心不变量：年龄差永远不变。这是解题的关键。

3.解题策略：通常设某个人现在的年龄为x，用x表示出其他人的年龄及过去、未来的年龄，再利用年龄差不变列方程。

4.【经典案例】今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。问今年父亲和儿子各多少岁？

1.5.分析：设今年儿子x岁，则父亲3x岁。

2.6.5年前：儿子(x-5)岁，父亲(3x-5)岁。

3.7.等量关系：5年前，父亲年龄=4×儿子年龄。

4.8.方程：3x-5=4(x-5)。

（九）等积变形问题【基础】

1.题型特征：将一种形状的物体（如圆柱形钢坯）熔铸或锻压成另一种形状的物体（如长方体），或改变容器的形状。

2.核心不变量：在变形过程中，物体的体积保持不变。

3.核心公式：涉及圆柱、长方体、正方体等的体积公式。

4.【经典案例】将一个底面直径为10cm，高为36cm的圆柱形水桶中的水，倒入一个底面边长是20cm的正方形的长方体水箱中，求水箱中水面的高度。

1.5.分析：设水面高度为hcm。

2.6.等量关系：水的体积不变。圆柱体积=长方体体积。

3.7.方程：π×(10/2)²×36=20×20×h。（π取近似值或保留π）

（十）日历与图表问题【热点】

1.题型特征：题目信息以日历、数表或图形形式给出，其中数字排列存在特定规律。

2.核心规律：

1.3.日历中，同一行相邻两数差1；同一列相邻两数差7。

2.4.其他图表需观察行、列数字间的运算关系（和、差、积、商）。

5.【经典案例】在一张日历上，用一个方框圈出2×2个数，它们的和是92，求这4个数。

1.6.分析：设左上角的数为x，则其余三个数分别为x+1,x+7,x+8。

2.7.方程：x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=92。

四、数学思想方法的提炼与运用

（一）方程思想的核心地位【非常重要】方程思想是解决含有未知量问题的基本思想。它通过设未知数，将未知量等同于已知量参与运算，从而架起已知与未知之间的桥梁。在复习中，要时刻有意识地将实际问题中的等量关系用方程表示出来。

（二）分类讨论思想在分段问题中的应用【重要】【难点】当问题中的数量关系随范围变化而不同时（如分段计费、动点问题），必须对可能的情况进行讨论。在列方程前，首先要判断未知量的取值范围，从而确定方程的形式。有时，一个方程的解可能不在假设的范围内，此时需要舍去或重新讨论。

（三）数形结合思想的直观优势【重要】对于行程问题、等积变形问题、图形面积问题，画出示意图可以将抽象的文字描述转化为直观的图形关系，帮助快速准确地找到等量关系。线段图、示意图是破解题意的利器。

（四）特殊值法与辅助设元法【拓展】对于工程问题，常将总工作量设为1，这是一种简化计算的策略。对于比例关系复杂的问题，引入辅助未知数（如设一份为k）可以清晰表达各量之间的关系，简化列式过程。

五、高频考点与命题趋势分析

（一）必考题型

1.基础应用题：直接设