2026届江西省高三上学期10月一轮复习阶段检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省2026届高三上学期10月一轮复习阶段检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可知，所以，故的真子集个数为个.故选：C.2.设命题，，则的真假与否定形式分别为（）A.假命题，， B.真命题，，C.假命题，， D.真命题，，【答案】C【解析】命题是全称量词命题，取，得，命题是假命题，命题的否定是，.故选：C.3.记为正数，设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，解得，即甲：，显然集合真包含于集合，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A.4.设函数，则在区间上（）A.单调递减 B.单调递增C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减【答案】B【解析】，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，.所以即在上恒成立，所以在上单调递增.故选：B.5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数在上单调递增，得，解得，所以的取值范围是.故选：D.6.设定义域为的偶函数满足，且对于任意的，均有，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由上的偶函数满足，得，由对于任意的，均有，得当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，不等式化为：或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B.7.在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值，设，求导得，则，整理得，而函数在上单调递增，又，因此，点，所以.故选：D.8.设函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设实数，，满足，则下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由，得，则，B错误；对于C，取，则，C错误；对于D，由，得，则，D正确.故选：AD.10.若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最小值为D.若恒成立，则【答案】ACD【解析】由题意可知在上恒成立，令得，即，故A正确；由可得，代入不等式组中整理得，所以，故B错误；由可得，所以，所以的最小值为，故C正确；若恒成立，即恒成立，所以有，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，有两个零点B.当时，曲线关于点对称C.当时，若过点可以作曲线的三条切线，则D.存在使得方程有三个不等的实根且【答案】BCD【解析】对于A，当时，函数只有一个零点，A错误；对于B，当时，函数，则，曲线关于点对称，B正确；对于C，当时，函数，曲线为，设切点为，求导得，于是切线方程为，由切线过点，得，整理得，令，依题意，函数有3个零点，求导得，当时，，函数只有1个零点，不符合题意；当时，由，得或，由，得，函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点，得，则；当时，由，得或，由，得，函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点，得，则，因此，C正确；对于D，由方程，得，取，则，整理得，于是，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的定义域为，则_________.【答案】4【解析】因为函数是幂函数，所以，所以，所以或，又因为函数的定义域为，当时，定义域为不符合题意；当时，符合题意；所以，则。故答案为：4.13.设，则的最小值为__________.【答案】3【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故答案为：3.14.方程根的个数为__________.【答案】1【解析】方程，令，求导得，令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，，，则存在，使得，当或时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，而，因此函数在内有唯一零点，所以方程根的个数为1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，且，求的值；（2）当时，若，求，的值.解：（1）当时，，又因为，所以，所以，所以；（2）当时，，因为，，所以只有一个元素且，所以，所以.16.已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.（1）求；（2）探究的奇偶性；（3）用定义法证明在区间上单调递增.（1）解：对于任意的，均有，取，得，即得.（2）解：函数的定义域为，对，令，得，，因此，所以函数为奇函数.（3）证明：且，令，则，即,因，则，故，即，则，所以函数在区间上单调递增.17.隐含波动率常用于刻画转债的估值水平，记为转债价格，为剩余期限，为折现利率，进行参数调整后，，其中为参数，为转债标准差.（1）若，求的最小值；（2）现将逐步调小，此时逐渐增大，最终近似得到.（ⅰ）若，，求；（ⅱ）证明：.（1）解：由，得，当且仅当时取等号，所以的最小值为8.（2）（ⅰ）解：依题意，，即，所以.（ⅱ）证明：令函数，求导得，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，则，即，因此，所以.18.设函数.（1）当时，求在区间上的极值；（2）证明：存在使曲线在处的切线经过原点；（3）若在区间上恒成立，求整数的最小值.（1）解：当时，，令，解得或或.当时，，当时，，所以在处取得极小值，当时，，所以在不是函数的极值点，当时，，所以在处取得极大值，综上所述，.（2）证明：由题意可知，，所以，所以在处的切线方程为，把代入切线方程解得，故存在使得曲线在处的切线过原点.（3）解：由（2）可知，当时，，所以在上单调递增，又因为，所以，所以满足题意；当时，，所以在上单调递减，所以，又因为当时，或，，所以必存在，使得，故不合题意；当时，，，所以在不恒成立，故不合题意.综上所述：整数的最小值为.19.已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；（2）若存在使得，记的导函数为.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.（1）证明：由题意可知：函数的定义域为，且，则，，即切点坐标为，切线斜率，所求切线方程为，即，令，解得，所以切线恒过定点.（2）构建，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则，所以.（i）解：构建，则，①若，则，可知在内单调递增，且，当趋近于时，趋近于，可知在定义域内存在唯一零点，当时，，即；当时，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，则至多存在两个实数，使得，不合题意；②若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即，若，则，即，可知在定义域内单调递增，不合题意；设在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，即，若，则，当时，则；当时，则；可知在和内分别存在一个零点，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意；综上所述：实数的取值范围；（ii）证明：设，构建，则，记的导函数为，的导函数为，且的导函数为，的导函数为，则，且，因为，且，又因为，且在内恒成立，若，则，可得，可知在内单调递增，则，可知在内单调递增，则，若，则，可知在内单调递减，不合题意；所以；若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点，横坐标为，则，由单调性可得，可得，因为在内单调递减，在内单调递增，可得，，所以；综上所述：.江西省2026届高三上学期10月一轮复习阶段检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可知，所以，故的真子集个数为个.故选：C.2.设命题，，则的真假与否定形式分别为（）A.假命题，， B.真命题，，C.假命题，， D.真命题，，【答案】C【解析】命题是全称量词命题，取，得，命题是假命题，命题的否定是，.故选：C.3.记为正数，设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，解得，即甲：，显然集合真包含于集合，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A.4.设函数，则在区间上（）A.单调递减 B.单调递增C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减【答案】B【解析】，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，.所以即在上恒成立，所以在上单调递增.故选：B.5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数在上单调递增，得，解得，所以的取值范围是.故选：D.6.设定义域为的偶函数满足，且对于任意的，均有，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由上的偶函数满足，得，由对于任意的，均有，得当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，不等式化为：或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B.7.在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值，设，求导得，则，整理得，而函数在上单调递增，又，因此，点，所以.故选：D.8.设函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设实数，，满足，则下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由，得，则，B错误；对于C，取，则，C错误；对于D，由，得，则，D正确.故选：AD.10.若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最小值为D.若恒成立，则【答案】ACD【解析】由题意可知在上恒成立，令得，即，故A正确；由可得，代入不等式组中整理得，所以，故B错误；由可得，所以，所以的最小值为，故C正确；若恒成立，即恒成立，所以有，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，有两个零点B.当时，曲线关于点对称C.当时，若过点可以作曲线的三条切线，则D.存在使得方程有三个不等的实根且【答案】BCD【解析】对于A，当时，函数只有一个零点，A错误；对于B，当时，函数，则，曲线关于点对称，B正确；对于C，当时，函数，曲线为，设切点为，求导得，于是切线方程为，由切线过点，得，整理得，令，依题意，函数有3个零点，求导得，当时，，函数只有1个零点，不符合题意；当时，由，得或，由，得，函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点，得，则；当时，由，得或，由，得，函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点，得，则，因此，C正确；对于D，由方程，得，取，则，整理得，于是，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的定义域为，则_________.【答案】4【解析】因为函数是幂函数，所以，所以，所以或，又因为函数的定义域为，当时，定义域为不符合题意；当时，符合题意；所以，则。故答案为：4.13.设，则的最小值为__________.【答案】3【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故答案为：3.14.方程根的个数为__________.【答案】1【解析】方程，令，求导得，令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，，，则存在，使得，当或时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，而，因此函数在内有唯一零点，所以方程根的个数为1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，且，求的值；（2）当时，若，求，的值.解：（1）当时，，又因为，所以，所以，所以；（2）当时，，因为，，所以只有一个元素且，所以，所以.16.已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.（1）求；（2）探究的奇偶性；（3）用定义法证明在区间上单调递增.（1）解：对于任意的，均有，取，得，即得.（2）解：函数的定义域为，对，令，得，，因此，所以函数为奇函数.（3）证明：且，令，则，即,因，则，故，即，则，所以函数在区间上单调递增.17.隐含波动率常用于刻画转债的估值水平，记为转债价格，为剩余期限，为折现利率，进行参数调整后，，其中为参数，为转债标准差.（1）若，求的最小值；（2）现将逐步调小，此时逐渐增大，最终近似得到.（ⅰ）若，，求；（ⅱ）证明：.（1）解：由，得，当且仅当时取等号，所以的最小值为8.（2）（ⅰ）解：依题意，，即，所以.（ⅱ）证明：令函数，求导得，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，则，即，因此，所以.18.设函数.（1）当时，求在区间上的极值；（2）证明：存在使曲线在处的切线经过原点；（3）若在区间上恒成立，求整数的最小值.（1）解：当时，，令，解得或或.当时，，当时，，所以在处取得极小值，当时，，所以在不是函数的极值点，当时，，所以在处取得极大值，综上所述，.（2）证明：由题意可知，，所以，所以在处的切线方程为，把代入切线方程解得，故存在使得曲线在处的切线过原点.（3）解：由（2）可知，当时，，所以在上单调递增，又因为，所以，所以满足题意；当时，，所以在上单调递减，所以，又因为当时，或，，所以