安徽1号卷A10联盟2025届高三开年考数学+答案

号卷·A10联盟2025届高三开年考

数学试题

合肥八中巢湖一中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学

滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学宿城一中合肥六中太和中学合肥七中科大附中野寨中学

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。

第I卷(选择题共58分)8.设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件：存在[a,b]cD,使f(x)在[a,b]上的最小

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

值,最大值为

目要求的.,其中n为正整数，则称f(x)为“n倍缩函数”。若函数f(x)=log₄(2*+t)

为“4倍缩函数”,则实数t的取值范围是()

1.复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知全集M={x∈N|-2≤x≤4},A={1,0},B={1,2,3},则A∩(CB)=()二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

A.B.{0}C.{1}D.{1,0}

9.已知随机变量X服从正态分布N(76,225),则()

,则

A.P(X<20)=P(X>132)B.P(X>30)>P(X<120)

C.P(46≤X≤106)=0.8186D.P(31≤X≤91)=0.84

参考数据：若X服从正态分布N(μ,σ²),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,

4.已知向量a=(3,2),b=(2,-3),则a在b-a上的投影向量为()

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973.

10.已知函数若及其导函数的部分图象

C.(-3,-2)D.(-3√13,-2√13)f(x)=Acos(ox+4)(A>0,w>0,0<φ<π),f(x)f'(x)

如图所示，则()

5.已知函数,若f(m)>6,则m的取值范围是()

A.(-2,6)B.(6,+∞)

C.(-∞,-2)D.(-∞0,-2)U(6,+∞)

6.设F,F₂分别是双曲线的上、下焦点，双曲线上的点P满足3P|F|=5|PF₂|,则

△PF₁F₂的面积等于()

A.12√3B.12C.6√3D.6

7.已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面积分别为2,8,当正四棱台的外接球的体积最小时，

该四棱台的侧面积为()B.函数f'(x)在区间上单调递增

A.12√7B.10√7C.8√7D.6√7

C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)+f'(x)的最大值为3

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11.在平面内，曲线C是动点P(x,y)到定点A(-2,0),B(2,0)距离之积为常数k(k>0)的点的集合.17.(15分)

已知C过原点O,则()

A.k=4B.C关于直线y=x对称

C.△PAB面积的最大值为2D.|OP|≤2√2(1)求证：BD⊥SA;

第Ⅱ卷(非选择题共92分)(2)若求平面SAD与平面ADM的夹角的余弦值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知抛物线C:x²=8y的顶点、焦点分别为0,F,则以线段OF为直径的圆的标准方程为

13.已知奇函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f'(2-x)=6-f'(x),则f'(2025)=

14.甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为p₁(0<P₁<1),乙赢的概率为P₂,

且P₁+P₂=1.规定：比赛中先赢三局者获胜，比赛结束.若每局比赛结果相互独立，记比赛共

进行了X局，则X的数学期望的最大值为_

18.(17分)

四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知椭圆E、右焦点分别为F₁,F₂,离心率为,且E的短轴长

已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-ccos2B=c+2bcosCcosB.

(1)求B的大小；为2.A,B,C,D是E上不同的四点.

(1)求的方程；

(2)若a+c=6,b=√3a,求△ABC外接圆的半径；E

(3)若点M在线段AC上，∠ABM=∠CBM,BM=4,求4a+c的最小值.(2)若点A在x轴上方，且3F₂A+F₂B=0,求直线AB的斜率；

(3)若C,D都在x轴上方，且CF₂//DF₁,求四边形CF₂F₁D面积的最大值.

19.(17分)

已知等差数列{a}的公差为1,且In(a₃+1)是lna₂,In(a₁₀-2)的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(15分)(2)从数列{an}的前m项中(m≥3),随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为

已知函数

f(x)=e²×-5eˣ+λx.Pm.是否存在正整数N,当m≥N时，恒有,若存在，求出N的最小值，若不存

(1)若λ=2,求f(x)的极值；

在，请说明理由；

(2)若f(x)在区间(-∞,0)上存在零点，求实数λ的取值范围.

(3)数列{bₙ}满足,记数列{b}的前2n项中所有奇数项的和为Sₙ,求证：Sₙ<1.

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数学参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意

的.

题号12345678

答案CBAADDDB

1.C由题意得，2==-=-1-1,所以在复平面内z对应的点(-1,-1)位于第三象限.

故选C.

2.B由题意得，M={0,1,2,3,4},则CWB={0,4},则A∩(CB)={0}..故选B.

3.A.故选A.

4.A由题意得，b-a=(-1,-5),则a在b-a上的投影向量为

.故选A.

5.D当m≤0时，3-"-3>6,解得m<-2;当m>0时，解得m>6.故选D.

6.D由题意得，|FF₂|=2c=4,|PF|-|PF₂|=2a=2,则|PF|=5,PF₂|=3,所以

PF|²-|PF₂²=|FF₂²,所以△PFF₂为直角三角形，所以故选D.

7.D设该正四棱台上、下底面的中心分别为E,E₁,设该正四棱台的高为h,外

接球半径为R,连接EE₁,则该正四棱台的外接球的球心在EE₁上，记为0,

因为R≥E₁A₁=2,当且仅当0与E₁重合时，等号成立，所以Rmin=2,

此时四棱台的的高h=√4-1=√3,该四棱台的侧面的斜高

,所以侧面积

故选D.

8.B由题意得，f(x)=log₄(2ˣ+t)为增函数，则,即,所以a,b

是方程的两个根.,则m>0,关于m的方程为m²-m+t=0有两个不

等的正实根，所以,解得,故选B.

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二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

题号91011

答案ABDACACD

9.ABD由题意得，X～N(76,15²);因0+1³2=76,故P(X<20)=P(X>132),故A正确；

由对称性，P(X>30)=P(X<122)>P(X<120),故B正确；

P(46≤X≤106)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545,故C错误；

,故D正确.故选ABD.

10.AC因为f(x)=Acos(wx+φ),所以f'(x)=-wAsin(wx+φ),根据图象可知，当时，

f'(x)<0,所以f(x)单调递减，故所以,由

0<φ<π得,故A正确；,当

,则函数f'(x)在区间上先增后减，故B错误；因为

,所以f(x)的图象关于直线对称，故C正确；

其中tanθ=2,

故D错误.故选AC.

11.ACD由题意得，√(x-2)²+y²·√(x+2)²+y²=k,将(0,0)代入，解得k=4,故A正确；曲

线方程为√(x-2)²+y²·√(x+2)²+y²=4,,整理得x⁴+y⁴-8x²+8y²+2x²y²=0,当

x,y互换时，方程改变，故B错误；

正确；由√(x-2)²+y²·√(x+2)²+y²=4得，x²+y²=4√x²+1-4,则

y²=4√x²+1-x²-4≥0,解得x²≤8,因为x²+y²=4√x²+1-4≤8,所以

OP|=√x²+y²≤2√2,故D正确.故选ACD.

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.x²+(y-1)²=1

由题意得，O(0,0),F(0,2),则圆心为(0,1),半径为1,故所求圆的标准方程为x²+(y-1)²=1.

13.3

由题意得，f(-x)=-f(x),则f'(-x)=f'(x),又f'(2-x)+f'(x)=6,则f'(1)+f'(1)=6,

解得f'(1)=3,因为f'(2+x)+f'(-x)=6,f'(2-x)+f'(x)=6,f'(-x)=f'(x),所以

f'(2+x)=f'(2-x)=f'(x-2),则f'(x+4)=f'(x),所以f'(2025)=f'(1)=3.

14.

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∵P₁+P₂=1,(p₁+P₂)³=p³+p₂³+3p₁P₂(p₁+P₂)=p³+P₂³+3p₁P₂=1.易知X=3,4,5,

且P(X=3)=p³+P₂³=1-3p₁P₂,

P(X=4)=3(p³p₂+P₁P³)=3p₁P₂(p²+p₂²)=3p₁P₂(1-2p₁P₂),

P(X=5)=C2p²p₂²=6p²p₂²,∴E(X)=3(1-3p₁P₂)+12p₁P₂(1-2p₁P₂)+30p²p₂²=

∵P₁+P₂=1≥2√P₁P₂,∴当

四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

(1)a=c(1+cos2B)+2bcosCcosB=2ccos²B+2bcosCcosB=2cosB(ccosB+bcosC),

由正弦定理，得sinA=2cosB(sinCcosB+sinBcosC)=2sinAcosB,…………2分

因为sinA>0,所以2cosB=1,即…………3分

因为B∈(0,π),所以…………4分

(2)由余弦定理，得………5分

由a+c=6,b=√3a,得3a²=a²+(6-a)²-a(6-a),

解得a=2,所以c=4,b=2√3,…………7分

则△ABC外接圆的半径………8分

(3)因为∠ABM=∠CBM,,所以

又SAABC=SABCM+SAABM,故

故√3ac=4a+4c,即

故

当且仅当c=2a=4√3时等号成立，

即4a+c的最小值为12√3.…………13分

16.(15分)

(1)由题意得，f'(x)=2e²-5eˣ+2=(2e-1)(eˣ-2),……1分

令f'(x)=0,则x=-1n2或x=1n2,………2分

故当x∈(-∞0,-ln2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；…3分

当x∈(-1n2,In2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；…………4分

当x∈(In2,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；……5分

故当x=-1n2时，f(x)有极大值……6分

当x=ln2时，f(x)有极小值f(ln2)=21n2-6;……7分

1号卷·A10联盟2025届高三开年考·数学参考答案第3页共7页

(2)令f(x)=0,则e²×-5eˣ=-λx,则…………8分

,x∈(-∞○,0),

.……10分

令h(x)=2xeˣ-e-5x+5,x∈(-∞0,0),则h'(x)=(2x+1)e-5<0,

所以h(x)在(-∞,0)上单调递减，

故h(x)>h(0)=4>0,故g'(x)>0,则g(x)在(-∞,0)上单调递增；………12分

且当x→0时，g(x)→+∞,当x→-∞0时，g(x)→0,………14分

故-λ>0,则λ<0,即实数λ的取值范围为(-∞,0).………15分

17.(15分)

(1)取AB的中点F,连接DF.

不妨设BC=1,则

因为CD/IBF,所以四边形BCDF为正方形，则,从而BD⊥AD.………3分

又SD=1,SB=√3,所以SD²+BD²=SB²,所以SD⊥BD,………4分

因为SD∩AD=D,SD,ADc平面SAD,所以BD⊥平面SAD,5分

因为SAc平面SAD,所以BD⊥SA.………6分

(2)由(1)知，四边形BCDF为正方形，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(-1,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),

所以DA=(-1,1,0),,……………8分

则.………9分

设平面ADM的法向量为n=(x,y,z),

x

令x=1,得n=(1,1,-4√2))为平面ADM的一个法向量.…………11分

由(1)知，BD⊥平面SAD,则平面SAD的一个法向量为分

所以平面SAD与平面ADM的夹角的余弦值为.……15分

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18.(17分)

(1)由题意设椭圆E的焦距为2c(c>0),

则解得,所以E的方程……3分

(2)由题意得，F₁(-1,0),F₂(1,0),

因为3F₂A+F₂B=0,即F₂B=-3F₂A,则直线AB的斜率是正数.………4分

设lB:x=my+1(m>0),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

联立,得(m²+2)y²+2my-1=0,

所以……6分

由题意知y₂=-3y₁,可得

解得m=1,所以直线AB的斜率是1.……8分

(3)延长CF₂,交椭圆于点G,

由CF₂//DF₁,椭圆对称性可知GF₂=DF₁,

则△FGF₂和△CDF等底等高，所以S△FGF₂=S△CDF,……10分

四边形CF₂F₁D的面积

设1cG:x=ny+1,由(2)知…………12分

即…………14分

令√n²+1=t≥1,所!,………16分