上海市静安区2025-2026学年市北初级中学八年级上学期期末数学模拟试卷-答案解析

上海市静安区2025-2026学年市北初级中学八年级上学期期末数学模拟试卷-答案解析（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版新教材八年级数学上册（实数+二次根式+一元二次方程+直角三角形）。第一部分（选择题共18分）一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键．【详解】解：、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、当时，该方程中未知数的最高次数不是，故本选项不符合题意．故选：．2.若最简二次根式能与合并，则可以是(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，，最简二次根式能与合并，

．

故选：．

先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案．

本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握相应的定义是关键．3.下列说法中，错误的是(

)A.的立方根是； B.的算术平方根是；

C.的平方根是； D.立方根等于它本身的数是、．【答案】A

【解析】略4.如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为(

)

A. B. C. D.【答案】D

【解析】解：四边形是长方形，，

，．

，，，

，

，

点所表示的数为．

故选：．

先根据勾股定理计算出的长度，的长度即为的长度，根据实数与数轴的关系解答即可．

此题考查的是勾股定理，实数与数轴，关键是分析题意，求出的长度是解题的关键．5.如图的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为(

)

A. B. C. D.【答案】C

【解析】本题考查勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键；设，则可以用表示出，又由于，，所以可以得到与的关系式，在中，利用勾股定理列出方程，得到与的关系，最后根据等量代换进行运算即可．【详解】解：如图所示，设，，，，，，，在中，，，，，，．故选：．6.如图，已知

，

平分

，点、分别在直线

、直线

上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有(

)

的值不变以、、、为顶点围成的四边形的面积不变

长度不变

A.个 B.个 C.个 D.个【答案】D

【解析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过点作

于，

于，根据角平分线的性质得出

，根据

证明

，得出

，

，即可判断；根据

证明

，得出

，即可判断；根据全等三角形的性质得出

，

，即可判断；根据勾股定理即可判断．【详解】解：过点作

于，

于，

平分

，

，

，

，

，

，又

，

，

，又

，

，

，

，

，故正确；

平分

，

，又

，

，

，

，又

，

，

的值不变，故正确；

，

，

，

，

，以、、、为顶点围成的四边形的面积不变，故正确；根据勾股定理，得

，

随点的位置变化而变化，

长度改变，故错误，故选：．第二部分（非选择题共82分）二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。7.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为

米．【答案】

【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，进行求解即可．【详解】解：用科学记数法表示为．故答案为：．8.已知，，那么

．【答案】

【解析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算．【详解】解：因为，且，所以．已知，因此．故答案为．9.若，是方程的两个实数根，则的值为

．【答案】

【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由，是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案．【详解】解：，是方程的两个实数根，，，，故答案为：．10.已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是

．【答案】

【解析】解：，

，，

、的值代入不等式，

，

的解集为，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

根据非负数的性质即可求出、的值，利用实数的运算即可求得的值，将、的值代入不等式得不等式的解集，即可求得解答即可．

本题考查的是非负数的性质，一元一次不等式解，根据非负数的性质和实数的运算求出、的值是解答此题的关键．11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是

．【答案】且

【解析】解：根据题意得且，

解得且．

故答案为且．

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．12.如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于点若，则点到的距离是

．

【答案】

【解析】略13.在实数范围内因式分解：

．【答案】

【解析】略14.手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成这三部分都是矩形形状，分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是

．

【答案】

【解析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程．【详解】解：根据题意，得．答案为：．15.如果是整数，则正整数的最小值是______．【答案】

【解析】【分析】

主要考查了二次根式的乘法法则和二次根式的性质与化简．二次根式的运算法则：乘法法则解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．

【解答】

解：，且是整数；

是整数，即是完全平方数；

的最小正整数值为．

故答案为．16.如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则

度．

【答案】

【解析】过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，从而得到，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得平分，然后求解即可．【详解】如图，过点作于，作于，作于，和的平分线交于点，，，，平分，．故答案为．17.形如的根式叫作复合二次根式对可进行如下化简：利用上述方法化简：

．【答案】

【解析】略18.如图，中，和的外角平分线、交于点，于点，若的周长为，，，则__________．

【答案】

【解析】【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质先分别作于、于，并连结，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案．【解答】解：作于，于，连结，如图所示：

是的外角平分线，，，，同理，，，，，的周长为，即，，，．故答案为．三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.计算：【答案】解：原式

．

【解析】本题考查的是二次根式的乘除，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．

首先化简二次根式，然后再利用二次根式的性质计算即可．20.解方程用配方法解方程：

．解方程：【答案】(1)解：

或∴.

(2)解：

，整理得，

，解得

，经检验：

是增根，

是原方程的根，∴原方程的根为

．

【解析】

本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程和分式方程的步骤以及方法．先将二次项系数化为，然后将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再直接开平方求解；

先去分母化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程，最后检验即可．21.本小题分【综合与探究】已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．求实数的取值范围；若，求的值；已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长．【答案】(1)解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，∴；

(2)解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，∴，整理得：，解得：，，由（1）得，∴；

(3)解：由题意得时，∴只能取或，即是方程的一个根，将代入得：，解得：或，当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17；当时，得，方程的另一个根为，此时不能构成三角形，故三角形的周长为．

【解析】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可求解；

利用一元二次方程根与系数的关系即可求解；

由题意得时，故只能取或，即是方程的一个根，然后代入方程求出的值，再通过三角形三边关系进行判断即可．22.本小题分

已知数轴上有、、、四个点，其中、分别表示和，点向左移动个单位后与点重合．点表示的数是

；对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”如果点、、有“优美关系”，则点表示的数为

；若点所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值．【答案】(1)

(2)或1或

(3)解：∵∴∴∴∵点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，∴∴．

【解析】

本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．点向左平移个单位长度后与点重合，也就是点向右平移个单位长度得到点解答即可．【详解】解：点向左平移个单位后与点重合，点表示的数是故答案为：；

分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可．解：设点表示的数为，点、点、点为优美关系，且点、分别表示数和．当点和点关于点对称时，则点为线段的中点，即，即，解得；当点和点关于点对称时，则点为线段的中点，即，即，解得；当点和点关于点对称时，则点为线段的中点，即，即，解得；点对应的实数为或或故答案为：或或；

通过估算的取值范围，求出和的值，然后代入计算即可．23.本小题分

高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间单位：和下落高度单位：近似满足公式不考虑阻力的影响．

物体从的高空落到地面的时间为______

已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？注：伤害无防护人体只需要的能量【答案】

能量为，会对无防护人体造成伤害

【解析】解：根据公式，代入计算可得：

．

故答案为：；

根据公式，求得高度为：

，

，而，

，

故，会对无防护人体造成伤害．

根据公式，代入计算即可；

先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可．

本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．24.本小题分云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个米宽的门．经营者共用去板材不计损耗．

若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？【答案】(1)解：设垂直于墙的一边长x米，则米，，整理得：，解得：，，由题意得：，解得：，∴，∴．答：每间商铺的长为米，宽为米；

(2)解：三间商铺的总面积为，∵，∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米，(元)．答：小王每月需要付给经营者元租金．

【解析】

本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用；设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可；

根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少．25.本小题分已知中，，，点在边上，以为腰的直角，．

如图，连接，直接写出和的关系；如图，过点作，垂足为点，交线段于点，连接，探究与的数量关系．如图，若过点作交射线于点，交于点，连接若，，求的长．【答案】(1)结论：与相等且垂直．证明：∵，，

∴，即，∴，∴，，∵，∴，∴与相等且垂直；

(2)解：；证明：连接，由（1）知，是等腰直角三角形，

∵平分，∴，，∴是的垂直平分线，是等腰直角三角形，∴，由知，，∵，∴，∴；

(3)解：∵，，∴，∵，∴，∵F在射线上，∴存在两种情况：第一种情况：如图，点F在线段上，

∴，，设，则，∵∴，，连接，∵，，，∴∴，在中，由勾股定理得，，即，解得，，；在中，由勾股定理得，，∴；第二种情况：如图，点F在线段的延长线上，

由，，设，则，，，，由前面可知，，∴，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，∴，在中，，，，∴满足条件的长为或．

【解析】

证明，推出，，据此即可得到与相等且垂直；

先证明是等腰直角三角形，推出，再由直角三角形的性质求得，据此即可求解；

分两种情况讨论，点在线