专题05 中考坐标系与函数的 4 类核心考法（规律 图象动点面积）（4大类14种题型）(专项训练)（解析版）

1/10第三章函数专题05中考坐标系与函数的4类核心考法

（规律，图象，动点，面积）目录刷考点精准巩固，扫清盲区提能力聚焦过程，优化策略测综合跨界融合，挑战创新考点一：平面直角坐标系中的面积问题解｜题｜技｜巧求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形.1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算；2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系.易错点：忽略动点的位置多样性，只算单一情况（比如动点在直线上方/下方、x轴正/负半轴，会导致面积表达式不同，最终坐标不同）题型1规则图形（三角形、四边形）的面积计算1．（2025雁塔区模拟）如图，等边△ABC的顶点A在y轴上，顶点B、C在x轴上，直线y=−3x+3经过点A、C，则等边△ABC的面积是()A．4 B．23 C．5 D．3【答案】D【分析】分别令x,y=0，得出A,C的坐标，进而根据等边三角形的性质得出BC=2，进而根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：当y=0时，−3x+3=0，解得：x=1，∴点C的坐标为(1，0)，∴OC=1；当x=0时，y=−3×0+3=3，∴点A的坐标为(0,3)，∴OA=3．∵△ABC为等边三角形，AO⊥BC，∴BC=2OC=2×1=2，∴S∴等边△ABC的面积是3．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题、坐标与图形，求得A,C的坐标是解题的关键．2．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，P3a,a是反比例函数y=3x与⊙O【答案】5【分析】本题考查了反比例函数与圆的综合，扇形面积的计算，理解图示，掌握反比例函数图形的性质是关键．根据题意得到P3,1，如图所示，连接OP，取圆与反比例函数交点A,B,C，则OP=32+1【详解】解：∵点P3a,a是反比例函数y=3x与⊙O∴33a解得，a±1，∴a=1，即P3,1如图所示，连接OP，取圆与反比例函数交点A,B,C，∴OP=3根据反比例函数图象关于原点对称得到，点A关于点O的对称点为点B，点P关于点O的对称点为点C，∴连接AB,CP，则∠AOP=∠BOC，∴AP⏜∴第一象限的阴影部分与第三象限的阴影部分的和为14∴阴影部分的面积为=1故答案为：523．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y=x2−3上，那么正方形ABCD【答案】36【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点D的坐标是m,2m，点A、D恰好在抛物线y=x2−3上，得到2m=m2−3，解得，m1=3,m2=−1【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y=x∴BO=CO=1∴可设点D的坐标是m,2m，∵点A、D恰好在抛物线y=x∴2m=m解得，m1∴点D的坐标是3,6，∴正方形ABCD的边长为6，∴正方形ABCD的面积是36，故答案为：364．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与双曲线y=mx（其中km≠0）相交于A−2,3，Bn,−2(1)分别求出直线与双曲线的函数解析式；(2)求△ABP的面积．【答案】(1)双曲线的函数解析式为y=−6x(2)15【分析】（1）把A−2,3代入y=mx求得m=−6，再把B（2）根据题意求得P0,−2，即BP=3，AD=5【详解】（1）解：∵双曲线y=mx的图象经过点把A−2,3∴双曲线的函数解析式为y=−6∵双曲线y=−6x的图象经过点把Bn,−2解得n=3，∴B3,∵直线y=kx+b经过点A−2,3把A−2,3、B解得k=−1b=1∴直线的函数解析式为y=−x+1；（2）解：过点A作AD⊥BP的延长线交于点D，∵BP∥x轴，B3,−2，∴P0,−2∴BP=3，AD=3+2=5，∴S△APB【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次解析式和反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．题型2不规则图形的面积割补法1．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5cm，则剩余部分的面积是（

A．25πcm2 B．252πcm2 【答案】D【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切于C，连接OC,OA，∵小圆与AB相切于C，∴OC⊥AB，∴AC=1在Rt△AOC中，O则剩余部分的面积为：12故选：D．2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是．【答案】4【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接AD，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，再根据S阴影【详解】解：连接AD，∵ABCDEF是正六边形，∴∠BCD=∠CDE=∠B=120°，AB=BC=CD=2，∴∠BCA=30°，∠CDA=∠EDA=60°，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=4，∴AC=AD∴S阴影故答案为：433．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx(x<0)(1)求m和直线的表达式；(2)根据函数图象直接写出不等式kx+b>m(3)求△ABO的面积．【答案】(1)m=−12；y=x+8(2)−6<x<−2(3)16【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．（1）已知双曲线y=mx过点A(−2,6)，将点A的坐标代入双曲线方程，即可求出m的值，先将点A的坐标代入双曲线方程求出a的值，再将点A和B的坐标代入直线方程，联立方程组求解k和（2）根据函数图象，找出直线y=kx+b在双曲线y=mx上方时x的取值范围，即为不等式（3）可先求出直线y=kx+b与x轴的交点C，然后根据三角形面积公式S=12×底×高，将【详解】（1）解：∵点A−2,6在双曲线y=∴m=−2×6=−12，又∵B−6,a在双曲线y=∴−6a=−12，解得a=2．由题意得：−2k+b=6−6k+b=2，解得k=1∴y=x+8．（2）解：由（1）可知k=1，m=−12，所以不等式kx+b>mx可化为根据函数图象，直线y=x+8在双曲线y=−12x上方时，x的取值范围是所以不等式x+8>−12x的解集为（3）解：如图，设直线AC与x轴交于点C，当y=0时．x+8=0，∴x=−8，∴C−8,0∴S4．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，一次函数y=k1x+bk1≠0的图象与反比例函数y=k2x(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若将点E向右移动5个单位长度至点D，连接AD，BD，求△ABD的面积．【答案】(1)一次函数表达式y=x+3，反比例函数的表达式y=4(2)252【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，点的平移，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键（1）待定系数法求解析式即可；（2）由y=x+3得，当y=0时，x+3=0，则E−3,0，根据将点E向右移动5个单位长度至点D，得D【详解】（1）解：把A1,4代入反比例函数y=k2∴k2∴反比例函数解析式为y=4把B−4，n代入y=∴B−4,−1把A1，4k1解得：k1∴一次函数解析式为y=x+3；（2）解：由y=x+3得，当y=0时，x+3=0，∴x=−3，∴E−3,0又∵将点E向右移动5个单位长度至点D，∴D2,0∴DE=5，∴S△ABO题型3含动点的面积动态计算1．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=4【答案】5【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作AH⊥BC于点H，先根据已知数据证明△AHB和△BFE是等腰直角三角形，再设EF=BF=x0<x<6，则CF=BC−BF=10−x，列出矩形桌面面积关于x【详解】解：如图，作AH⊥BC于点H，∵AD∥BC∴∠D=180°−∠BCD=90∵∠D=∠BCD=∠AHC=90∴四边形AHCD是矩形，∴HC=AD=4，AH=CD=6，∴BH=BC−CH=10−4=6=AH，∴△AHB是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵矩形EFCG中EF⊥CF，∴△BFE是等腰直角三角形，∴设EF=BF=x0<x≤6，则CF=BC−BF=10−x∴矩形桌面的面积S=EF⋅CF=x⋅10−x∴当x=5时，S取最大值，即当EF=5时，矩形桌面面积最大．故答案为：5．2．（2025·陕西西安·模拟预测）在一块三角形钢板ABC中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点F在边BC上，顶点D，E分别在边AB、AC上，已知AB=AC=5，BC=6，DE∥BC，则当三角形DEF的面积最大时，DE的长为．【答案】3【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式、二次函数的图象性质是解题的关键．过点A作AG⊥BC交BC于点G，交DE于点H，根据相似三角形的判定与性质得DEBC=AHAG，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出AG的长，设GH=x，则AH=4−x，根据三角形面积公式将△DEF的面积用含x的代数式表示出来，根据二次函数的图象性质，确定当【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC交BC于点G，交DE于点H，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△ADH∽△ABG，∴DEBC=∴DE∵AB=AC=5，BC=6，∴BG=1在Rt△ABG中，AG=设GH=x，则AH=4−x，∴DE∴DE=6−3∴S∴当x=2时，S△DEF∴DE=6−故答案为：3．3．（2025·河北·一模）如图，直线y=3x−1交x轴于点A，直线l交x轴于点B3，0，且与直线y=3x−1(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求△ABC的面积；(3)若P是直线BC上的点，当△ABP的面积与△ABC的面积的比为2:1时，求点P的坐标．【答案】(1)y=−x+3(2)8(3)−1,4或7,−4【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出点A13,0（3）先根据S△ABC=83，S△ABP:S△ABC=2:1，求出S【详解】（1）解：将点C1,m代入y=3x−1中，得m=2∴点C1设直线l对应的函数解析式为y=kx+bk≠0将点B3，0，C解得k=−1b=3∴直线l对应的函数解析式为y=−x+3；（2）解：在y=3x−1中，令y=0，解得x=1∴点A1∴AB=3−1∴S△ABC（3）解：∵S△ABC=8∴S△ABP∴12∴yp∴yp=4或将yp=4或yp解得xp=−1或∴点P的坐标为−1,4或7,−4．4．（2025扬州市三模）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：【问题情境】在平面直角坐标系中不重合的两点Mx1,若x1=x2，则MN∥若y1=y2，则MN∥【实践操作】（1）根据上面的结论，填空．①已知：点E5,−2、点F5,2，则EF的长度为②若点M−1,1、Nn+1,n，且MN∥x轴，【拓展应用】（2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段AB至线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点D），连接AC、BD．若A−4,0，B−1,2，C−1,b①直接写出a、b的值；②是否存在点Pt,12t，使三角形PBC的面积等于三角形BCD【答案】（1）①4；②3；（2）①a=2，b=−4；②存在，点P的坐标为5,5【分析】（1）①由题意知EF∥y轴，可得②由MN∥x轴可得n=1，继而得到N2,1（2）①根据平移的性质及点的坐标可知线段AB向右平移3个单位再向下平移4个单位得到线段CD，即可得a、b的值；②分别表示出三角形PBC的面积为3t+1，三角形BCD的面积为9，可得3【详解】解：（1）①∵点E5,−2、点F5,2∴EF∥∴EF=−2−2即EF的长度为4，故答案为：4；②∵点M−1,1、Nn+1,n，且∴n=1，∴N2,1∴MN=−1−2即MN的长度为3，故答案为：3；（2）①∵平移线段AB至线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点），A−4,0，B−1,2，C−1,b又∵点A的横坐标−4加3得到点C的横坐标−1，点B的纵坐标2减4得到点D的纵坐标−2，∴线段AB向右平移3个单位再向下平移4个单位得到线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点），∴a=−1+3=2，b=0−4=−4；②∵B−1,2，C−1,−4，D2,−2∴BC∥∴三角形PBC的面积为：12三角形BCD的面积为：12∵三角形PBC的面积等于三角形BCD面积的2倍，∴3t+1解得：t=5或t=−7，∴点P的坐标为5,52或−7,−72【点睛】本题考查坐标与图形，两点间距离，点坐标平移的规律，三角形的面积等知识点，正确理解两点间的距离的意义是解题的关键．题型4函数图像与坐标轴围成的面积1．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点C在x轴上，顶点A的坐标为3,4，C的坐标为6,0，M,N分别是OC边，AB边上的点，且线段MN将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分．若点M的坐标是1,0，则点N的坐标为．【答案】8,4【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接AC和OB，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段MN必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键．【详解】解：如图，连接AC和OB，交于点G．∵四边形OABC是平行四边形，∴G为AC中点，∵点A的坐标为3,4，C的坐标为6,0，∴G3+62,∵线段MN平分平行四边形OABC的面积，∴MN必过G点，∵点M的坐标是1,0，∴点N的坐标为92×2−1,2×2+0即故答案为：8,4．2．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若m−n≠−2，称点m,n与点n−2,m+2互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为．【答案】y=−x+6或【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．【详解】设点m,n在直线上，其友好点n−2,m+2也在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，将点m,n和n−2,m+2代入解析式得：n=km+bm+2=n−2k+b∴直线l的表达式为y=−x+b，当x=0时，y=b，即直线l与y轴交点为0,b，当y=0时，0=−x+b，解得x=b，即直线l与x轴交点为b,0，∴S=1∴b=±6∴直线的表达式y=−x+6或y=−x−故答案为：y=−x+6或y=−x−3．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,4,B3,0，点C在y轴的负半轴上，以BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，点A(1)若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标；(2)在（1）的条件下求△BCD的面积．【答案】(1)D(2)15【分析】（1）先利用坐标求出OA、OB长度，根据勾股定理算出AB，再依据轴对称性质得BD=AB，进而求出OD，确定D坐标；（2）设C坐标，由轴对称知CD=AC，用勾股定理列方程求C坐标，再根据轴对称图形面积相等，结合三角形面积公式算△BCD面积．本题主要考查了平面直角坐标系、勾股定理、轴对称的性质及三角形面积公式，熟练掌握轴对称性质和勾股定理是解题的关键．【详解】（1）解：∵A(0,4),B(3,0)，∴OA=4,OB=3，∴AB=O根据轴对称可知BD=AB=5，∵点D在x轴的正半轴上，∴OD=OB+BD=8．∴点D的坐标为D(8,0)．（2）解：设点C的坐标为C(0,y)(y<0)，由题意可知CD=AC，即CD在Rt△OCD得82+y∴点C的坐标为C(0,−6)．∴AC=10，∴所以△BCD的面积为15．题型5反比例/二次函数中的面积问题1．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，连接OA,OB,OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1S（2）如图2所示，若OM=MN=NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是．【答案】=72【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义：（1）根据“过双曲线上任意一点与原点所连接的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，即S=1（2）如图，设OC与BN，AM交于G，H，AM交OB于点K，则S△OAM=S△BON=S△SOP=12k，设OM=MN=NP=a，则Aa,ka，B2a,【详解】解：（1）如图，根据题意得，S△AOM∴S△AOM即S1故答案为：=；（2）如图，设OC与BN，AM交于G，H，AM交OB于点K，则S△OAM设OM=MN=NP=a，则Aa,ka，∴AM=−ka，BN=∵AM∥∴△OMK∽△ONB，∴MKBN=OMON=∴MK=12BN=k4a∴AK=AM−MK=ka−k∴图中阴影部分面积=S△AOK+S梯形∵图中三块阴影部分的面积之和为62，∴31解得，k=72故答案为：722．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−32x+3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y=−14(x−2)2(1)求抛物线表示的函数解析式；(2)若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．【答案】(1)y=−(2)10【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积（1）分别把y=0，x=0代入函数y=−32x+3中，可求得点C2,0，D0,3，将点D（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为2,4，因此PC⊥x轴，PC=4，过点D作DE⊥PC于点E，则DE=2，根据三角形的面积公式可求出S△CDP=12PC⋅DE=4；把y=0代入函数y=−14【详解】（1）解：把y=0代入函数y=−32x+3解得x=2，∴C2,0把x=0代入函数y=−32x+3∴D0,3∵抛物线y=−14(x−2)∴−14×∴抛物线表示的函数解析式为y=−1（2）解：∵抛物线的函数解析式为y=−1∴顶点P的坐标为2,4，∵C2,0∴PC⊥x轴，PC=4，过点D作DE⊥PC于点E，则DE=2，∴S△CDP把y=0代入函数y=−14(x−2)解得x1=−2，∴A−2,0，B∴AC=4，∵D0,3∴DO=3∴S∴S四边形3．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=−x2+bx+3（b是常数）与y轴交于点A，且经过点B3,0．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为(1)求抛物线的解析式；(2)当点M落在x轴上时，求m+n的值；(3)作直线MA、NB相交于点P．①当△PAB与△MAB面积相等时，求m的值；②当△PAB的面积大于△PMN面积的14时，直接写出m【答案】(1)y=−(2)m+n=3(3)①m=−32；②−【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）由二次函数解析式可得Mm,−m2+2m+3，Nn,−n2+2n+3，即得−m2+2m+3=0，解得m=3或m=−1，进而由点M在点N左侧，MN∥AB得到m=−1，即得到M（3）①由题意画出函数图象，由△PAB与△MAB面积相等，可得AP=AM，即得P−m,m2−2m+3，利用待定系数法求得直线MN的解析式为y=−m+n−2x+3+mn，即得到−m+n−2=−1，得到m+n=3，n=3−m，又可得直线PN的解析式为y=−n+1x+3n+3，把P−m,m2−2m+3代入得m2−2m+3=n+1m+3n+3，进而解得m=−32或m=3，由点P在第一象限即得到m=−32；②由①知当m=−32时，△PAB与【详解】（1）解：把点B3,0代入y=−x2解得b=2，∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：∵点M、N是抛物线上两点，横坐标分别为m、n，∴Mm,−m2∵点M落在x轴上，∴−m解得m=3或m=−1，∵点M在点N左侧，MN∥∴m=−1，∴M−1,0∵抛物线y=−x2+2x+3与y∴A设直线AB的解析式为y=kx+c，把A0,3和B3=c0=3k+c解得k=−1c=3∴直线AB的解析式为y=−x+3，设直线MN的解析式为y=−x+d，把M−1,00=1+d，∴d=−1，∴直线MN的解析式为y=−x−1，由y=−x2+2x+3y=−x−1，解得∴n=4，∴m+n=−1+4=3；（3）解：①如图，∵△PAB与△MAB面积相等，∴AP=AM，∴A是MP的中点，∴P−m,设直线MN的解析式为y=px+q，把Mm,−m2−m解得p=−m+n−2∴直线MN的解析式为y=−m+n−2∴−m+n−2∴m+n=3，∴n=3−m，设直线PN的解析式为y=ax+t，把B3,0和N0=3a+t−解得a=−n+1∴直线PN的解析式为y=−n+1把P−m,m2整理得，m2∴m2整理得，2m解得m=−32或∵点P在第一象限，∴m<0，∴m=−3②由①知，当m=−32时，△PAB与∴S△PAB∵AP=AM，MN∥∴PB=BN，∴S△PMB∴S△PAB当点M、N重合时，m=n，∵m+n=3，∴m=3∵点Mm,−m2∴m≠0，∴当△PAB的面积大于△PMN面积的14时，m的取值范围为−32【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用，平行线等分线段定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．4．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a≠0经过点P2，1，直线y=kx+1k≠0与抛物线交于A，B两点(点A在y(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，求k的值；(3)若作点P关于y轴的对称点P'，直线AP'与直线BP相交于点Q，试探究：△P【答案】(1)y=(2)k=(3)△PP'Q【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键．（1）根据抛物线y=ax2a≠0（2）根据△AMP与△BMP的面积之比是1:4，通过线段比例关系和韦达定理求解k的值；（3）通过点P关于y轴的对称点P'和直线AP'、BP的方程，联立求解交点【详解】（1）解：已知抛物线y=ax2a≠0将点P2,1代入抛物线方程可得：1=a×22∴抛物线的函数表达式为y=1（2）解：若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，则AM:BM=1:4，∵点A、M、B在同一直线上，则4xM−联立直线y=kx+1与抛物线y=14x整理得x2∴xA+x由①②得：xA×−4∵点A在y轴左侧，∴xA∴−1×xB=−4∴−1+4=4k，即k=3（3）解：点P关于y轴的对称点P'直线y=kx+1与y轴交于点M，则点M0,1设点A、B的坐标分别为：m,14m由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=1将点M0,11=1整理得：mn=−4，由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y=1同理可得，P'y=1联立上述两式得：14解得：x=2m+2n∵mn=−4，则y=1=1=−1∴点Q的纵坐标为−1为定值，即△PP∵PP'=2−−2=4，∴S△P考点二：坐标系中的规律探索问题解｜题｜技｜巧该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。题型01沿坐标运动的点的规律1．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点A12,2，A23,1，A34,1，A46,3，A．2698 B．2699 C．2700 D．2702【答案】C【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次+2、+1、+1、⋯，从点O到点A2025【详解】解：根据从原点O出发，点A12,2，A23,1，A34,1，可知横坐标的变化规律是依次+2、+1、+1、⋯，每三个是一次循环运动，∵2025÷3=675，∴从点O到点A2025∴A2025的横坐标为故选：C．2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2⋯，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是（

A．2024,0 B．2023,1 C．2025,2 D．2025,1【答案】D【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，确定点的变化规律是解题关键．根据题意可得第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，即可求解．【详解】解：根据题意，可得第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2⋯由此发现，第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，∵2025÷4=506⋯1，∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是2025,1．故选：D．3．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如0,1,−1,2,A．43,45 B．44,45C．−43,45 D．−42,45【答案】C【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有(2n−1)个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而452【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有(2n−1)个，且这n个点的横坐标从左往右依次是−n+1,∵45∴最左边的点坐标为(−44,∴第2024个点的坐标为−43,45．故选：C．4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A11,−3，A23,−3，A34,0，A46,0，A5【答案】2891,−【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，据此可求得A【详解】解：∵A11,−3，A23,−3，A34,0，A4∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，∵2024÷7=289⋅⋅⋅1，∴A2023的坐标为2890,0∴A2024的坐标为故答案为：2891,−3题型02绕原点呈“回”字形运动的点的规律1．（2025·湖南湘潭·二模）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为A．(1014,0) B．(1016,0) C．(2,1016) D．(2,1014)【答案】A【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出当脚码分别为偶数和奇数时的坐标规律，即可得到答案．【详解】解：由图可得：∵A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A∴得到规律，当n为奇数时：A2n−1当n为偶数时：A2n−1∵2025=2×1012+1，∴n=1012，∴A2025故选：A．2．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P10,0，P20,1，P31,1，【答案】−506,−506【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y=−x+1x<0的图象上，点【详解】解：∵P10,0，P20,1，P31,1，P41,−1，P5−1,−1，P6−1,2，由此发现：点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y=−x+1∵2025÷4=506⋅⋅⋅1，∴点P2025∴点P2025故答案为：−506,−506．3．（2025广安市模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P10,0，P20,1，P31,1，P【答案】−505,−505【分析】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面直角坐标系当中点的规律是解题的关键．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余1的点在第三象限的角平分线的点上，再根据第三象限内点的符号得出答案即可．【详解】解：∵P10,0，P20,1，P31,1，∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上，由规律可得，2021÷4=505⋯1，即点P2021∴点P2021故答案为：−505,−505．题型03图形变换的点的规律1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为6,32，△ABC的顶点A的坐标为4,3．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B【答案】−10,272【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出AP=52进而得出A2P=2A【详解】解：依题意，A1∴A2设直线AP的解析式为y=kx+bk≠0，代入6,3∴3解得：k=−∴y=−设A∴m−6解得：m1∴A故答案为：−10,272．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点1,0，2,0的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C落在点3,0的位置，第2次滚动使点D落在点4,0的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是（

）A．2025,1 B．2025,0 C．2026,1 D．2026,0【答案】C【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点A随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的A点坐标，找到滚动次数与点A坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点A的坐标．【详解】解：第1次滚动点A1的坐标为2,1第2次滚动点A2的坐标为4,1第3次滚动点A3的坐标为5,0第4次滚动点A4的坐标为5,0第5次滚动点A5的坐标为6,1…，每滚动4次一个循环，∴A4n+14n+2,1，A4n+24n+4,1∵2025÷4=506⋯1，∴A即A2025故选：C．3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC=120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A【答案】1349+674【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接A1B，求得A1B=33，OD=32，OC=3，分别得到A11,33，A23+3,33，A3【详解】解：连接A1由题意得∠BOC=∠BCO=30°，∠BO'C=∠B∴A1∴A1B=OB⋅tan30°=3∴OC=C∴A1A2同理A3⋯，An△OBC滚动一次得到A1，△OBC滚动四次得到A2，△OBC滚动七次得到∴△OBC滚动2024次后停止滚动，则n=2024+1÷3=675时，故答案为：1349+67434．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，OA1=OB1，∠A1OB1=120°，将△A1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形△A2OB2，点A11,0【答案】−【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由题意可得旋转三次完成一周，点B3，B6，B9⋯在第三象限，每变化一次腰长增加1，且OB3=3，OB6=6，OB9【详解】解：第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点∴OA第二次变化后得到等腰三角形△A3OB3∴OA第三次变化后得到等腰三角形△A4OB4∴OA⋯，∵△A1OB1∴旋转三次完成一周，∴点B3，B∵每变化一次腰长增加1，∴OB3=3，O∵2025÷3=675，∴点B2025在第三象限，且O∵∠A∴∠OB∴点B2025到y的距离为20252，到x的距离为∴点B2025的坐标是−故答案为：−20255．（2025·山东淄博·二模）小明用绘图软件绘制了二次函数y=12x2−x+12的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于x轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为C，如图所示．按横坐标从0.1开始依次增加0.1的规律，在图象C上取20个点，得到P10.1,y1【答案】1【分析】本题考查了中心对称，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图象可得，函数图象关于点1,0中心对称，结合题意可得y1+y2+【详解】解：由图象可得，函数图象关于点1,0中心对称，∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴0.1+1.92=1，0.2+1.8∴y1+∴y1∵P∴y10=∴y1故答案为：126．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1=90°，∠AOA1=30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，过点A，A1，A2作弧A【答案】−【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出OA1=OAcos30°=232=2×23，OA2=OA1cos30°【详解】解：根据题意可知：OA=2，OAOAOA……OA∵点A，A1，A2作弧点A2，A3，A4……，∴A4048∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048∴OA∵∠AOA1=30°，∠A1∴12次操作循环一周，∵4048÷12=337⋅⋅⋅4，∴∠AOA过点A4048作A4048M⊥x∴∠MOA∴OM=OAA4048∴A4048∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为−2故答案为：−2题型04坐标轴与直线相结合类规律1．（2025·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1−1,1在直线y=x+b上，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1，作等腰直角三角形A1B1B2（B2与原点A．22024−1,2C．22025−1,2【答案】B【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A2(0,2)，A3(2,4)，A4(6,8)，根据坐标的变化即可找出变化规律An【详解】解：依题意结合等腰三角形的性质，结合图象得出点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上，且A1∵A把A1(−1,1)代入得出1=−1+b，∴b=2，∴直线y=x+b=x+2，当x=0时，则y=0+2=2，∴A∵A2∴A2把x=2，则y=2+2=4，即A3∵A3∴把x=OB4=4+2=6即A4…，∴An(∴A2025的坐标为2故选：B2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=−12x+3上，连接BA1，B1A2，B【答案】2【分析】根据一次函数的解析式可得点B的坐标是0,3，设点B1的坐标是x1,−12x1+3，根据正方形的四条边都相等可得x1=−12x1+3，从而求出正方形OA1B1【详解】解：当x=0时，y=−1∴点B的坐标是0,3，∵点B1在直线y=−设点B1的坐标是x则点A1的坐标是x1,0，点C∵四边形OA∴OA1=∴x解得：x1∴B1的坐标是∴正方形OA1B∴OC∴BC∵OA∴△BC∴B∴1解得：C1∴B∴S设点B2的坐标为x则点A2的坐标是x2,0，点C∴A四边形A1∴A1A∴x解得：x2∴A∴B2的坐标是∴A∴B∵A∴△B∴B∴2解得：C2∴B∴S∵B1的坐标是2,2，B2∴B∵B1的坐标是2,2，点B的坐标是∴BB∵B1D∴B又∵四边形OA1B∴B1C∴B∴∠BB∴△BB1D∴S∴当S△BB1同理可证△B1B则S△⋯，∴S故答案为：23【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出△BB1D3．（2025·河北唐山·二模）如图，△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3【答案】4【分析】本题主要考查了规律型、点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，掌握从特殊到一般探究规律，再利用规律解决问题的思路是解题的关键．分别过点A1,A【详解】解：如图，分别过点A1,A∵A12,2，∴OC=CB1=∴S1设B1D=a，则A2∴OD=OB∴点A2坐标为4+a,a将点A2坐标代入y=−12x+3得：∴B1B2∴S2同理求得B2∴S3∴S2025故答案为：434．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A1的坐标为(2,0)，以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l【答案】2【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作B1H⊥x轴于点H，依次求出【详解】解：作B1H⊥x轴于点∵B1,B∴OH=B∴∠B∵A12∴OB∵B∴OB∴OA∴A同理，OA∴OA同理，OO∴OA即点A2024的横坐标是2故答案为：210125．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，把Rt△OA1B1置于平面直角坐标系中，点A1的坐标为3,4，点B1的坐标为3,0，∠OA1B1与∠OB1A1的平分线交于点P1，过点A1作OA1的垂线，交x轴于点B【答案】2×【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，涉及角平分线的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形等相关知识点，综合性强，难度较大，根据作图规律分别求出OB2、O作P1C⊥A1B1于C，P1D⊥OB1于D，P1E⊥OA1于E，连接OP1，证明四边形P1CB1D【详解】解：作P1C⊥A1B1于C，P1D⊥OB∴∠P1∵A∴∠A∴四边形P1∴B∵∠OA1B1与∴P∵A∴Rt∴A同理OE=OD，∵点A1的坐标为3,4∴OB1=3∴OA设P1∴B∴OE=OD=3−x，A1∴3−x+4−x=5，∴x=3+4−5∴OD=2，∴P∵B∴∠A∴∠OA∴B∴OB∵A∴A∴△OA∴A1B∴A∴OA作P2C1⊥A2B2于C1同理可求P2∴OD∴P250作P3C2⊥A3B3于C2同理可求OB3=3×259P3∴OD∴P⋯⋯依此类推，可得P2025的坐标是2×故答案为：2×256．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交【答案】5×【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，正确求出正方形的边长，并找出规律是解题的关键．先利用勾股定理求出AD的长，得到AB=BC=AD，再利用三角形相似得到A1B，【详解】解：A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，∴OA=1,OD=2，∴AD=AB=BC=5∵正方形ABCD，正方形A1∴∠OAD+∠A∴∠A∵∠AOD=∠A∴△AOD∽△A∴AOA∴1A∴A1∴A1同理可得，A2B2……A2025正方形A2025B2025故答案为：5×37．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线l∶y=−33x上，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，将△AOB沿过点A的直线翻折，使斜边落在l上，得到△AO1B1，再将△AO1B1绕点O1旋转【答案】−【分析】本题主要考查了点的坐标规律和解直角三角形，根据题意找到点的规律是解题的关键．根据题意可求得A−3,1，OB=1，AB=3，∠AOB=60°，OA=2，根据翻折和旋转的性质可得A−3,1，O1−23,2，A【详解】解：已知B0,1，AB⊥y轴，A在y=−可得A−3,1，OB=1，AB=3，∴翻折、旋转后可得∠AB1O1=90°，O∴A−3,1，O1−23,2如图，可求出B1的坐标为−3−由图可知翻折、旋转后B点的规律为4次一个循环，即B1到B∵2025÷4=由图可知B1和B5的纵坐标、横坐标的距离与O1即纵坐标距离相差6−2=∴B2025的坐标为−故答案为：−40518．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+1与直线l2：y=−32x+3分别交y轴于点A，B．以AB为直角边在其左侧作Rt△ABC，且另一直角边满足BC=12AB，过点C作A1B1∥AB分别交直线l1与l2于点A1，【答案】(【分析】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出BnCn、AnBn变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出AB长度，由BC=12AB可求出点C坐标，又因为A【详解】解：∵直线l1：y=−12x+1与∴A(0,1)，直线l2：y=−32x+3与∴B(0,3)，∴AB=2，BC=1∵BC⊥AB，∴C(−1,3)，又∵过点C作A1B1∥AB分别交直线l1与∴A∴A又∵过点C1作A2B2∥A1B1∴A∴A以此类推，B3B4…Bn∴B则S△故答案为：(39．（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线y=2x与直线y=2x相交于点A，B，在直线y=2x上取点A12,a1,B1−2,b1，A23,a2,B2−3,b2,A3【答案】508,【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据2025÷4=506⋅⋅⋅1，得出点C2025在矩形M【详解】解：根据题意可知：C1,C2,C3,C4在矩形M1∵2025÷4=506⋅⋅⋅1，∴点C2025在矩形M∴横坐标为507+1=508，把x=508代入y=2x得：∴C2025故答案为：508,1考点三：实际情境函数的信息解读解｜题｜技｜巧根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.题型01从函数图像中获取信息1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程ykm与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（

A．乙车先到达B地 B．A、B两地相距300C．甲车的平均速度为100km/h D．在8【答案】C【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可．【详解】解：由图象可知，A，B两城相距300km，甲车先出发，乙车先到达B故选项A、B不符合题意；甲的速度为：300÷11−6乙的速度为：300÷10−7故选项C错误，符合题意；由交点的横坐标可知，乙车在8：故D不符合题意．故选：C．2．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）(0≤x≤n),PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m,81)，且经过E(1,225)和F(n,225)A．m=12 B．n=24C．点C的纵坐标为240 D．点(15,85)在该函数图象上【答案】D【分析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2=225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG=m−1，勾股定理求出m的值，判断A；当x=n时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG=HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C【详解】解：如图，作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2=225，当点Q运动到点G的时候，PQ2在Rt△PGH中，由勾股定理，得：225=81+解得：m=13，故选项A错误；∴AG=m=13，HG=m−1=12，当x=n时，点Q运动到点B，则PB∴PB=PH，∵PG⊥AB，∴BG=HG=12，∴AB=13+12=25，故选项B错误；∴当x=0，即点Q在A点时，∴AP∴点C的纵坐标为250；故选项C错误；当x=15时，点Q运动到点K，则：AK=15，∴GK=AK−AG=2，∴PK∴点(15,85)在该函数图象上，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置，是解题的关键．3．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速vkmh之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60D．若车速从25km/h增大到【答案】C【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数μ与车速vkm【详解】解：A、由图象可知，当v=0时，μ=0.9，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，原说法正确，不符合题意；B、由图象可知，当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不高于60kmD、由图象可知，当v=25时，μ=0.75；当v=60时，μ=0.71，即车速从25km/h增大到60故选：C4．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x<1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围x≥1000内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（

）

A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x=2000时，y有最大值C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y=0.4时，x=600【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．【详解】解：A．当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1000+30002=2000，即当x=2000C．由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意；D．当y=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．故选B．5．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（

）A．当P=440W时，I=2A B．Q随C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多【答案】C【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当P=440W时，I=2根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．题型02与函数综合1．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度y m/s(1)求AB所在直线的函数表达式；(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．【答案】(1)y=−(2)3【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先设OA所在直线的函数表达式为y=kxk≠0，再代入1,2进行计算，得2=k，然后求出A点坐标为2,4（2）理解题意，则当y=0时，−43x+203【详解】（1）解：设OA所在直线的函数表达式为y=kxk≠0把1,2代入y=kx，∴2=k，∴y=2x，当x=2时，y=4，即A点坐标为2,4，设AB所在直线的函数表达式为y=mx+b得4=2m+b2=3.5m+b解得m=−4∴AB所在直线的函数表达式为y=−4（2）解：由（1）得AB所在直线的函数表达式为y=−4依题意，当y=0时，−解得x=5，∴5−2=3，∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力当小铝块浸入液面后，F拉力【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力N与小铝块各自下降的高度【解决问题】(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．(2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为mN，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为mN，则乙液体中小铝块浸入的深度为ncm，直接写出m【答案】(1)弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示数为2.5；(2)F拉力(3)m=0.6，n=1.6【分析】本题考查了一次函数的应用．（1）直接根据图②作答即可；（2）设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b（3）由题意可知小铝重为4N，将x=8代入F拉力=−0.3x+5.8得F拉力=3.4，将F拉力=G重力−F浮力变形即可求出m=0.6【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示数为2.5；（2）解：设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F由图可知F拉力=k1分别将6,4，10,2.8代入F拉力6k解得：k1∴F拉力（3）解：由题意可知小铝重为4N将x=8代入F拉力=−0.3x+5.8得则F浮力=G则使乙液体中的小铝块所受的浮力为0.6N∴F拉力设当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F由图可知F拉力=k2分别将6,4，10,2.5代入F拉力6k解得：b2即F拉力将F拉力=3.4代入得：解得：x=38∴深度为n=383．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程ym与甲行走的时间(1)乙步行的速度为___________m/min,MN(2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式；(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m【答案】(1)90，3960(2)y=30t−540(3)当甲出发33min或58.5min【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）观察图像可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走50min时，乙到达（2）求出C点坐标，待定系数法求出BC段的函数关系式即可；（3）分18≤t≤50和t>50两种情况，求出t的值即可．【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：360÷6=60m/min设乙的速度为xm/min，由题意，得：60×18=x⋅18−6，解得：故乙的速度为90m/minMN之间的路程为：90×50−6故答案为：90，3960；（2）由图像可知：C点的纵坐标为3960−60×50=960，∴C50,960当18≤t≤50时，设y=kt+b，把B18,0，C18k+b=050k+b=960，解得：k=30∴y=30t−540；（3）当18≤t≤50时，令y=30t−540=450，解得：t=33；当t>50时，60t=3960−450，解得：t=58.5；综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：(1)A，C两区相距__________米，a=__________；(2)求线段EF所在直线的函数解析式；(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）【答案】(1)240,7.5(2)y=15x−135(3)7分或11分或13分【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．（1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a；（2）求出E9,0，由图象可得F15,90，设直线EF的解析式为（3）由题意可分三种情况分别进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为150+90=240（米），由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a=150故答案为：240,7.5（2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区，∴点E的横坐标为9010∴E9,0设直线EF的解析式为y=kx+bk≠0，把E9,0，9k+b=015k+b=90，解得：k=15∴线段EF所在直线的函数解析式为：y=15x−135；（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，则150−20x+90−10x=30，解得x=7，即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，则15t−135=30，解得t=11，即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为y=k1x+b112k1+∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x−360；则15n−135−解得n=13，即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．5.（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：小华离开家的时间/161850小华离家的距离/0.6②填空：小华从公园返回家的速度为____________kmmin③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2【答案】(1)①0.1,0.6,1.8②0.12③y=(2)12<x<24【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息．（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．【详解】（1）解：①小华去书店的速度为0.6÷6=0.1km/min1分钟时小华离家的距离为0.1km由图可知18分钟时，小华离家的距离为0.6km50分钟时，小华离家的距离为1.8km故答案为：0.1,0.6,1.8；②小华返回家的速度为1.8÷故答案为：0.12；③由①得小华去书店的速度为0.1km/min∴当0≤x≤6时，y=0.1x；由图可知，当6<x≤18时，y=0.6；当18<x≤30时，假设直线解析式为y=kx+b，将18,0.6，30,1.8代入解析式得解得k=0.1∴y=0.1x−1.2；综上，y=0.1x（2）解：如图所示，y2根据题意可知，小华妈妈的速度为0.05km所以其直线解析式为y2当y1令0.05x=0.6，解得x=12，经验证6<12<18，符合题意；令0.05x=0.1x−1.2，解得x=24，经验证18<24<30，符合题意；结合图形，当y1<y6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共得要1300元．(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．(2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000频，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲km、y乙km分别是甲、乙两车离①甲车的速度是________km/h．②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x【答案】(1)购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元(2)当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元(3)①80；②1.5或4.5或6.5【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：（1）根据题意列方程组求解即可；（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；（3）①求出解析式代入计算即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．【详解】（1）设：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元由题意得a+2b=750解得a=350答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元（2）设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片8000−m颗，所需资金为w元由题意得：w=350∵k=−150<0∴w随m的增大而减小∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，∴8000−m≥3m解得m≤2000∵m取正整数∴当m=2000时，w取最小值，w最少此时8000−m=6000答：当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元（3）①设y乙的解析式为将点0,60，7,480代入y得b=60解得k所以，y乙的解析式为y当x=3时，y所以，甲车的速度为240÷3=80②y甲的解析式为将点3,240代入y得240=3k1所以y甲的解析式为当函数y乙的图象在函数y可列方程60x+60−80x=30解得x=1.5当函数y乙的图象在函数y可列方程80x−60x−60=30解得x=4.5当甲车到达N地，乙离目的地30km时，可列方程60x+60=480−30解得x=6.5综上所述，x的值为：1.5或4.5或6.5．考点四：动点的函数图像问题解｜题｜技｜巧题型01根据函数图像求具体值1．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，BC=4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，CF=y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出y关于x的函数关系式是解题的关键．首先推导出△AEB∽△EFC，设AB=m，利用相似三角形的性质求出y关于x的函数关系式为y=1m(4x−【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∴∠CEF+∠CFE=90°，∵BC=4，BE=x，∴CE=BC−BE=4−x．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90