分层随机抽样+获取数据的途径-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章统计9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径学习目标1.了解分层随机抽样的概念.2.掌握分层随机抽样的一般步骤和相关的数据计算.3.理解简单随机抽样与分层随机抽样的异同.4.了解数据的随机性及数据获取的基本途径.基础落实·必备知识一遍过知识点1

分层随机抽样1.分层随机抽样的定义

每个个体只能属于确定的层一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为

.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为

.

层比例分配

思考辨析分层随机抽样的适用条件是什么?提示

在总体中存在着明显的层次,不同层次个体之间差异较大,层内个体间差异较小.自主诊断1.为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况,拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异,而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的是(

)A.抽签法 B.按性别分层随机抽样C.按年龄段分层随机抽样 D.随机数法C解析

依题意,由于居民人数多,且男、女使用手机扫码支付的情况差异不大,老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异,所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选C.2.(人教B版教材习题)某中学初中部有学生1850人,高中部有学生1250人.若要用分层随机抽样的方法从这所学校抽出62名同学来了解大家对学校伙食的看法,那么所抽出的初中部学生数与高中部学生数的比是多少?知识点2

获取数据的途径

获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题,一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法,并有效地避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境,通过精心的设计安排试验,以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过,其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据,去伪存真,为进一步的数据分析奠定基础思考辨析获取某一类数据的途径是否唯一?提示

不唯一,可以多种途径相结合来获取数据.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)要了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间,可以采用调查的方式获取数据.(

)(2)农科院获取小麦新品种的产量可以通过查询获取数据.(

)√×2.下图是国家对某沙漠地区植树面积计划的统计图.(1)图中的树高表示什么?从图中能获得哪些信息?(2)各年份约种树多少万亩?(3)若每人每年平均植树10亩,在各时间段需要多少人?解

(1)树高表示计划植树亩数,从图上看,计划植树面积一年比一年多.(2)2021年种树约50万亩,2022年种树约75万亩,2023年种树约100万亩,2024年种树约150万亩,2025年种树约200万亩.(3)2021年需5万人,2022年需7.5万人,2023年需10万人,2024年需15万人,2025年需20万人.重难探究·能力素养速提升探究点一对分层随机抽样概念的理解【例1】

(1)某校有1700名高一学生,1400名高二学生,1100名高三学生.高一数学兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查,则下列说法正确的是(

)A.高一学生被抽到的可能性最大 B.高三学生被抽到的可能性最大C.高三学生被抽到的可能性最小 D.每名学生被抽到的可能性相等D解析

在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等.故每名学生被抽到的可能性相等,故选D.(2)①从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查;②某社区有1200户家庭,其中高收入家庭420户,中等收入家庭470户,低收入家庭310户,为了调查该社区购买力的某项指标,要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本.上述问题中,各自宜采用什么抽样方法?解

①采用抽签法,因为总体容量较小,宜采用抽签法.②采用分层随机抽样,因为购买力与收入有关,社区中家庭收入层次明显,宜采用分层随机抽样.规律方法

分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则(1)前提:分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.(2)遵循的两个原则:①将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本量与每层的大小成比例.变式训练1(1)现有以下两项调查:①从40台刚出厂的同一型号同一批次的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测;②在某校800名学生中,O型、A型、B型和AB型血的学生依次有300,200,180,120人.为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是(

)A.①②都采用简单随机抽样B.①②都采用分层随机抽样C.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样D.①采用分层随机抽样,②采用简单随机抽样C解析

对于①,40台刚出厂的同一型号同一批次的大型挖掘机最适宜采用简单随机抽样来抽取4台进行质量检测.对于②,为了研究血型与色弱的关系,就得考虑血型的差异,所以最适宜采用分层随机抽样.故选C.(2)(2025江西南昌高一期末)某中学选派270名学生参加市广播体操比赛,其中高一108人,高二、高三各81人,现要在比赛前抽取10人检验对广播体操的掌握程度,先将270名学生按年级分层,再在每一层用简单随机抽样抽取相应人数.将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1,2,…,270.如果抽到的号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.则不符合抽样方案的是(

)A.① B.② C.③ D.④D

探究点二分层随机抽样的应用【例2】

(苏教版教材例题)某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12000人,其中持各种态度的人数如表所示.电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样?很喜爱喜爱一般不喜爱2

4354

5673

9261

072解

可用分层抽样,其总体容量为12

000.因此,采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”的2

435人、“喜爱”的4

567人、“一般”的3

926人和“不喜爱”的1

072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.规律方法

分层随机抽样的步骤

变式训练2某单位有职工500人,其中男性职工有320人,为了解所有职工的身体健康情况,按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人进行调查,则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多(

)A.28 B.30 C.32 D.36A探究点三分层随机抽样中的相关计算问题【例3】

交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(

)A.101 B.808

C.1212 D.2012B变式探究1若将本例中“甲社区有驾驶员96人”改为“甲、乙社区驾驶员共99人”,则N的值是什么?变式探究2在本例中,假设甲、乙、丙、丁四个社区所抽取的驾驶员进行新法规测试的平均分分别为92,95,96,92,那么四个社区总体的平均分是多少?(保留小数点后一位数字)

规律方法

1.一个总体中有N个个体,用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,若第i层的个体数为Ni,则第i层被抽取的个体数等式中含有四个量,已知其中任意三个量,就能求出第四个量.2.在分层随机抽样中,注意以下关系:(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.变式训练3某校高二有创新班学生400人,实验班学生800人,为调查总体学生数学成绩的平均值,按比例分配进行分层随机抽样,从创新班抽出20人,从实验班抽出40人,通过计算创新班平均成绩为125分,实验班平均成绩为95分,则高二总体数学成绩平均值为(

)A.110 B.125

C.95 D.105D探究点四获取数据途径的选择【例4】

粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题,在现有条件下,降雨量对粮食生产的影响是非常巨大的.某次降雨之后某地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次,气象台获取这些数据的途径是(

)A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据 D.通过查询获取数据C解析该地的气象记录和降雨量都是通过观察得到的.故选C.规律方法

选择获取数据的途径的依据选择获取数据的途径的依据主要是根据所要研究问题的类型,以及获取数据的难易程度.有的数据可以有多种获取途径,有的数据只能通过一种途径获取,选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性.变式训练4下列数据一般需要通过试验获取的是(

)A.某颗子弹的射程B.某学校的男女生比例C.某品牌手机的市场占有率D.某班级期中考试的数学成绩A解析

选项A,某颗子弹的射程没有现存数据可以查询,因而需要通过试验获取;选项B,某学校的男女生比例可以通过查询获取,不需要通过试验获取;选项C,某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取,不需要通过试验获取;选项D,某班级期中考试的数学成绩可以通过查询获取,不需要通过试验获取.故选A.本节要点归纳1.知识清单:(1)分层随机抽样的定义.(2)分层随机抽样的应用及相关运算.(3)获取数据的途径及调查方案的设计.2.方法归纳:数据处理.3.常见误区:注意在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相同.学以致用·随堂检测促达标123451.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,则样本容量n为(

)A.50 B.60 C.70 D.80C123452.某学校的教师配置及比例如图所示,为了调查各类教师的薪资状况,现采用分层随机抽样的方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中,青年教师