2025年高起专山西数学（理科）试题含答案

2025年高起专山西数学（理科）试题含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

答案：A

解析：甲站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，可以将乙和丙看作一个整体，这个整体与剩下的4名同学进行排列，共有5个位置可以放置这个整体。乙和丙两人还可以互换位置，所以总共有5×2=10种排法。剩下的4名同学有4!种排列方式，所以总共有10×4!=240种排法。但是，乙和丙作为一个整体，可以站在甲的左边或右边，因此最终结果应该是240÷2=120种。由于甲的位置固定，所以总的站法为120×2=240种。但由于甲在中间，所以实际上只有一半的站法是有效的，即240÷2=120种。此处有一个错误，正确答案应为180种。

2.若函数f(x)=x²2x+c在区间（∞，1）内是减函数，在区间（1，+∞）内是增函数，则实数c的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：f(x)=x²2x+c是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=1。由于在区间（∞，1）内函数是减函数，在区间（1，+∞）内是增函数，说明x=1是函数的极小值点，即f'(1)=0。对f(x)求导得f'(x)=2x2，代入x=1得f'(1)=22=0，符合条件。由于对称轴为x=1，所以c=1²2×1=12=1。这里有一个错误，实际上c的值应为2，因为c是函数的纵截距，即f(0)=c，而f(0)=0²2×0+c=c。由于函数在x=1处有极小值，所以c=1。

3.已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）在x=1处有极大值，则（）

A.a<0，b<0

B.a<0，b>0

C.a>0，b<0

D.a>0，b>0

答案：B

解析：函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处有极大值，说明a<0（开口向下），且f'(1)=0。对f(x)求导得f'(x)=2ax+b，代入x=1得f'(1)=2a+b=0。由于a<0，要使2a+b=0，则b必须大于0。

4.已知函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相交于点A，B，若点A的横坐标小于点B的横坐标，则函数f(x)在区间（A，B）内（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：B

解析：由于函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相交于点A，B，且点A的横坐标小于点B的横坐标，说明在区间（A，B）内，函数f(x)的斜率小于直线的斜率2。因此，函数f(x)在区间（A，B）内是单调递减的。

（以下题目因篇幅限制，仅展示题目和答案，解析略）

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an1（n≥1），则数列{an}的通项公式为（）

答案：C

6.已知函数f(x)=log₂(x1)的定义域为（）

答案：B

7.若直线y=mx+1与曲线y=√x²4x+3相切，则实数m的值为（）

答案：D

8.已知函数f(x)=|x2|+|x+1|的最小值为（）

答案：B

9.若方程x²2ax+a²+1=0（a为常数）有两个相等的实数根，则a的取值范围为（）

答案：C

10.已知函数f(x)=x²+mx+n（m，n为常数）在x=1处有极小值，且f(0)=1，则m+n的值为（）

答案：D

二、填空题（每题4分，共40分）

11.已知函数f(x)=x³3x²+2x+5，求f(1)的值。

答案：1

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2an1+1（n≥2），a1=1，求S5的值。

答案：31

13.已知函数f(x)=x²2x+c（c为常数）在区间（∞，1）内是减函数，在区间（1，+∞）内是增函数，求c的值。

答案：1

14.已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）在x=2处有极小值，且f(0)=4，求a+b+c的值。

答案：4

15.已知函数y=f(x)的图像与直线y=3x2相交于点A，B，若点A的横坐标小于点B的横坐标，则函数f(x)在区间（A，B）内的单调性为______。

答案：单调递减

三、解答题（每题20分，共40分）

16.已知函数f(x)=2x³3ax²+4x+1（a为常数），求a的取值范围，使得f(x)在区间（∞，2）内单调递增。

解：对f(x)求导得f'(x)=6x²6ax+4。要使f(x)在区间（∞，2）内单调递增，需f'(x)≥0在区间（∞，2）内恒成立。即6x²6ax+4≥0在区间（∞，2）内恒成立。解得a的取值范围为a≤1。

17.已知数列{an}的通项公式为an=2n1（n为正整数），求证：数列{an}的前n项和Sn为n²。

证明：Sn=a1+a2+...+an=(2×11)+(2×21)+...+(2n1)=1+3+5+...+(