2026年高考必刷题数学专项训练立体几何

2026年高考必刷题数学专项训练立体几何姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2026年高考必刷题数学专项训练立体几何

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.已知空间中三点A，B，C，且向量AB=(1,2,-1)，向量AC=(2,1,3)，则向量BC的坐标为

A.(1,-1,-4)

B.(-1,1,4)

C.(3,1,2)

D.(-3,-1,-2)

2.设直线l过点A(1,2,3)，且方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则点B的坐标为

A.(4,0,7)

B.(2,3,4)

C.(3,1,5)

D.(1,4,6)

3.已知平面α过点A(1,2,3)，且法向量为(1,-1,1)，则平面α上的点B满足向量AB=2向量AC，其中C为点(2,1,0)，则点B的坐标为

A.(3,0,2)

B.(1,4,4)

C.(2,1,3)

D.(0,3,5)

4.设直线l1过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，直线l2过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)，则l1与l2的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的位置关系为

A.相交

B.平行

C.重合

D.异面

7.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的位置关系为

A.相交

B.平行

C.重合

D.异面

8.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与直线l1过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)的位置关系为

A.相交

B.平行

C.重合

D.异面

9.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的法向量的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的法向量的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知空间中三点A(1,2,3)，B(2,1,0)，C(3,0,-1)，则向量AB+向量AC的坐标为

2.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则点B的坐标为

3.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，则平面α上的点B满足向量AB=2向量AC，其中C为点(2,1,0)，则点B的坐标为

4.设直线l1过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，直线l2过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)，则l1与l2的夹角的余弦值为

5.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的夹角的余弦值为

6.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的法向量的夹角的余弦值为

7.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的法向量的夹角的余弦值为

8.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与直线l1过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)的法向量的夹角的余弦值为

9.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的位置关系为

10.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的位置关系为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.已知空间中三点A(1,2,3)，B(2,1,0)，C(3,0,-1)，则下列向量中与向量AB垂直的向量有

A.(1,-1,1)

B.(2,-1,-3)

C.(-1,1,3)

D.(0,0,1)

2.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则下列说法正确的有

A.点B在直线l上

B.向量AB与向量AD平行

C.向量AB与向量AD同向

D.向量AB与向量AD反向

3.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，则平面α上的点B满足向量AB=2向量AC，其中C为点(2,1,0)，则下列说法正确的有

A.点B在平面α上

B.向量AB与向量AC平行

C.向量AB与向量AC同向

D.向量AB与向量AC反向

4.设直线l1过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，直线l2过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)，则下列说法正确的有

A.l1与l2相交

B.l1与l2平行

C.l1与l2异面

D.l1与l2重合

5.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则下列说法正确的有

A.平面α与平面β相交

B.平面α与平面β平行

C.平面α与平面β重合

D.平面α与平面β异面

6.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则下列说法正确的有

A.直线l与平面α={x-y+z=1}相交

B.直线l与平面α={x-y+z=1}平行

C.直线l与平面α={x-y+z=1}重合

D.直线l与平面α={x-y+z=1}异面

7.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则下列说法正确的有

A.平面α与平面β的法向量垂直

B.平面α与平面β的法向量平行

C.平面α与平面β的法向量同向

D.平面α与平面β的法向量反向

8.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与直线l1过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)的法向量的夹角为锐角

A.直线l与直线l1的法向量垂直

B.直线l与直线l1的法向量平行

C.直线l与直线l1的法向量同向

D.直线l与直线l1的法向量反向

9.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则下列说法正确的有

A.平面α与平面β相交

B.平面α与平面β平行

C.平面α与平面β重合

D.平面α与平面β异面

10.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的位置关系为相交

A.直线l与平面α相交

B.直线l与平面α平行

C.直线l与平面α重合

D.直线l与平面α异面

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.已知空间中三点A(1,2,3)，B(2,1,0)，C(3,0,-1)，则向量AB+向量AC=向量AC

2.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则点B的坐标为(3,5,8)

3.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，则平面α上的点B满足向量AB=2向量AC，其中C为点(2,1,0)，则点B的坐标为(3,4,2)

4.设直线l1过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，直线l2过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)，则l1与l2的夹角为90°

5.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的夹角为90°

6.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的位置关系为平行

7.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的位置关系为相交

8.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与直线l1过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)的位置关系为异面

9.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，则平面α与平面β的法向量的夹角为90°

10.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，则直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，则直线l与平面α={x-y+z=1}的法向量的夹角为45°

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知空间中三点A(1,2,3)，B(2,1,0)，C(3,0,-1)，求向量AB与向量AC的夹角余弦值

2.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，求直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，求点B的坐标

3.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，求平面α上的点B满足向量AB=2向量AC，其中C为点(2,1,0)，求点B的坐标

4.设直线l1过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，直线l2过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)，求l1与l2的夹角余弦值

5.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，求平面α与平面β的夹角余弦值

6.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，求直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，求直线l与平面α={x-y+z=1}的法向量的夹角余弦值

7.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，求平面α与平面β的法向量的夹角余弦值

8.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，求直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，求直线l与直线l1过点B(2,1,0)，方向向量为(1,1,-1)的法向量的夹角余弦值

9.已知平面α过点A(1,2,3)，法向量为(1,-1,1)，平面β过点B(2,1,0)，法向量为(1,1,-1)，求平面α与平面β的位置关系

10.设直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)，求直线l上的点B满足向量AB=3向量AD，其中D为点(0,1,2)，求直线l与平面α={x-y+z=1}的位置关系

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：向量BC=向量AC-向量AB=(2,1,3)-(1,2,-1)=(1,-1,-4)

2.A

解析：向量AB=3向量AD=3(0,1,2)=(0,3,6)，点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(0,3,6)=(1,5,9)，但题目中给出的选项A为(4,0,7)，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为(1,5,9)

3.A

解析：向量AB=2向量AC=2(2,1,0)=(4,2,0)，点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(4,2,0)=(5,4,3)，但题目中给出的选项A为(3,0,2)，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为(5,4,3)

4.C

解析：l1与l2的夹角余弦值=|(1,-1,2)·(1,1,-1)|/(√(1^2+(-1)^2+2^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=|1-1-2|/(√6*√3)=|-2|/(√18)=1/√9=1/3，夹角为arccos(1/3)，约等于60°

5.B

解析：平面α与平面β的夹角余弦值=|(1,-1,1)·(1,1,-1)|/(√(1^2+(-1)^2+1^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=|1-1-1|/(√3*√3)=|-1|/3=1/3，夹角为arccos(1/3)，约等于60°，但题目中给出的选项B为45°，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为60°

6.B

解析：直线l的方向向量为(1,-1,2)，平面α的法向量为(1,-1,1)，方向向量与法向量平行时，直线与平面平行，因为(1,-1,2)不是(1,-1,1)的倍数，所以直线与平面相交

7.A

解析：平面α与平面β的法向量的点积为(1,-1,1)·(1,1,-1)=1-1-1=-1，不为0，所以平面α与平面β相交

8.D

解析：l1与l2的方向向量为(1,-1,2)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-2=-2，不为0，所以l1与l2相交

9.D

解析：平面α与平面β的法向量的点积为(1,-1,1)·(1,1,-1)=1-1-1=-1，不为0，所以平面α与平面β相交

10.A

解析：直线l的方向向量为(1,-1,2)，平面α的法向量为(1,-1,1)，方向向量与法向量平行时，直线与平面平行，因为(1,-1,2)不是(1,-1,1)的倍数，所以直线与平面相交

二、填空题答案及解析

1.(3,-1,-1)

解析：向量AB=(2-1,1-2,0-3)=(1,-1,-3)，向量AC=(3-1,0-2,-1-3)=(2,-2,-4)，向量AB+向量AC=(1+2,-1-2,-3-4)=(3,-3,-7)

2.(4,1,8)

解析：向量AD=(0-1,1-2,2-3)=(-1,-1,-1)，向量AB=3向量AD=3(-1,-1,-1)=(-3,-3,-3)，点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(-3,-3,-3)=(1-3,2-3,3-3)=(-2,-1,0)，但题目中给出的选项为(4,1,8)，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为(-2,-1,0)

3.(5,4,3)

解析：向量AC=(2-1,1-2,0-3)=(1,-1,-3)，向量AB=2向量AC=2(1,-1,-3)=(2,-2,-6)，点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(2,-2,-6)=(1+2,2-2,3-6)=(3,0,-3)，但题目中给出的选项为(5,4,3)，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为(3,0,-3)

4.1/√6

解析：l1与l2的方向向量为(1,-1,2)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-2=-2，l1与l2的夹角的余弦值为|-2|/(√(1^2+(-1)^2+2^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=2/(√6*√3)=2/√18=1/√9=1/3

5.1/√6

解析：平面α与平面β的法向量为(1,-1,1)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-1=-1，平面α与平面β的夹角的余弦值为|-1|/(√(1^2+(-1)^2+1^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=1/(√3*√3)=1/3，但题目中给出的选项为45°，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为60°

6.1/√6

解析：直线l的方向向量为(1,-1,2)，平面α的法向量为(1,-1,1)，方向向量与法向量的点积为1-1-2=-2，直线l与平面α的法向量的夹角的余弦值为|-2|/(√(1^2+(-1)^2+2^2)*√(1^2+(-1)^2+1^2))=2/(√6*√3)=2/√18=1/√9=1/3，但题目中给出的选项为45°，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为60°

7.1/√6

解析：平面α与平面β的法向量为(1,-1,1)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-1=-1，平面α与平面β的法向量的夹角的余弦值为|-1|/(√(1^2+(-1)^2+1^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=1/(√3*√3)=1/3，但题目中给出的选项为45°，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为60°

8.1/√6

解析：l1的方向向量为(1,-1,2)，l2的方向向量为(1,1,-1)，l1与l2的法向量为(1,-1,2)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-2=-2，l1与l2的法向量的夹角的余弦值为|-2|/(√(1^2+(-1)^2+2^2)*√(1^2+1^2+(-1)^2))=2/(√6*√3)=2/√18=1/√9=1/3，但题目中给出的选项为45°，与计算结果不符，因此题目选项可能有误，正确答案应为60°

9.相交

解析：平面α与平面β的法向量的点积为(1,-1,1)·(1,1,-1)=1-1-1=-1，不为0，所以平面α与平面β相交

10.相交

解析：直线l的方向向量为(1,-1,2)，平面α的法向量为(1,-1,1)，方向向量与法向量的点积为1-1-2=-2，不为0，所以直线l与平面α相交

三、多选题答案及解析

1.B,C

解析：向量AB=(2-1,1-2,0-3)=(1,-1,-3)，与向量AB垂直的向量满足点积为0，B.(2,-1,-3)·(1,-1,-3)=2-1+9=10≠0，C.(-1,1,3)·(1,-1,-3)=-1-1-9=-11≠0，因此B和C都与向量AB垂直

2.A,B,C

解析：向量AB=3向量AD=3(-1,-1,-1)=(-3,-3,-3)，A.点B在直线l上，因为点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(-3,-3,-3)=(-2,-1,0)，在直线l上，B.向量AB与向量AD平行，因为向量AB是向量AD的3倍，C.向量AB与向量AD同向，因为向量AB和向量AD方向相同，D.向量AB与向量AD反向，因为向量AB和向量AD方向相反，因此A、B、C正确

3.A,B,C

解析：向量AC=(2-1,1-2,0-3)=(1,-1,-3)，向量AB=2向量AC=2(1,-1,-3)=(2,-2,-6)，A.点B在平面α上，因为点B坐标为A坐标加上向量AB坐标，即(1,2,3)+(2,-2,-6)=(3,0,-3)，在平面α上，B.向量AB与向量AC平行，因为向量AB是向量AC的2倍，C.向量AB与向量AC同向，因为向量AB和向量AC方向相同，D.向量AB与向量AC反向，因为向量AB和向量AC方向相反，因此A、B、C正确

4.A,B

解析：l1与l2的方向向量为(1,-1,2)和(1,1,-1)，这两个向量的点积为1-1-2=-2，不为0，所以l1与l2相交，A正确；同时，这两个向量的点积不为0，所以l1与l2不平行，B正确；l1与l2不可能重合，因为方向向量不同；l1与l2不可能异面，因为它们在同一平面内，因此A、B正确

5.A,B

解析：平面α与平面β的法向量为(1,-1,1)和(1,1,-1)，这两个向量的点积