五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(河南专用)13：圆有关性质（学生版）

专题13圆有关性质考点一、圆周角定理及其推论的应用1．（2023·河南·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明．(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．考点二、三角形外接圆的性质3．（2021·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为．考点三、垂径定理的应用4．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为．考点四、圆内接四边形的性质5．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．考点五、切线性质的应用6．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为．7．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．考点六、正多边形与圆的综合8．（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．考点七、扇形弧长与面积的计算9．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为．10．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．(1)求k的值；(2)求扇形的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．考点八、隐圆问题11．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为，最小值为.考点九、圆与相似三角形的性质与判定的综合13．（2021·河南·中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．专练一、隐圆问题的应用14．（2025·河南平顶山·模拟预测）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中，，为直角，则该圆的半径为（

）A． B． C． D．15．（2025·河南驻马店·三模）如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为，最小值为．16．（2025·河南信阳·三模）如图，等边中．点为边中点，点为边上一点，且，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为．17．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，D是边的中点，点E是平面内一点，且，连接，过点B在直线的右侧作，且，连接，则线段的最小值为；连接，则当最大时，点E的坐标为．18．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，当时，的长为．19．（2025·河南焦作·二模）如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点逆时针旋转至，直线与交于点，若，则的最大值是，最小值是．20．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一张半圆形纸片，是其直径，C是半圆O上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径于点．若点恰好落在点处．(1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点(保留作图痕迹)；(2)分别连接、、，请判断四边形的形状，并说明理由；(3)连接，与、分别交于点F、G，则．专练二、垂径定理的应用21．（2025·河南焦作·三模）如图，直线是东西方向的海岸线，北侧是海面，南侧是陆地．信号塔位于码头南偏西方向上，位于码头南偏东方向上．已知信号塔的信号覆盖面是以为半径的圆形，之间的距离为，则海面上被信号覆盖区域（阴影部分）的面积约为（

）（结果精确到．参考数据：）A． B． C． D．22．（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点是圆上一点，于点．若，，则的长是（

）A． B． C． D．23．（2025·河南南阳·三模）如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（

）A． B． C．或 D．或24．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（

）A． B． C． D．25．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为寸．26．（2025·河南安阳·二模）如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为27．（2025·河南信阳·模拟预测）周末，爸爸妈妈带着小明和小红兄妹俩去游乐场游玩，在游玩如图1的摩天轮时，妈妈因为恐高在水平地面处等候，爸爸带着兄妹二人在处依次登上摩天轮游览，当小明所乘坐的座舱正好在点正上方时，发现爸爸所处的位置点和小红所处的位置点的连线恰好平行于水平地面，而且点在同一直线上，已知，切摩天轮于点．如图2，连接．(1)求证：；(2)若点为与的交点，且，求妈妈的等候点与切点的距离的长．专练三、与圆有关的角的应用28．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．29．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．30．（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（

）A． B．6 C． D．331．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，已知是的直径，C是上一点，连接．若，则的度数是（

）A． B． C． D．32．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，是直角三角形，．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出以为直径的圆，并标出圆心的位置（保留作图痕迹，不写作法）；(2)的平分线与交于点，连接、，求证：．33．（2025·河南驻马店·三模）如图，内接于，为的直径，．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，求证：．34．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接．(1)请用圆规和无刻度的直尺作图：过点作边的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，求证：．35．（2025·河南·模拟预测）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1．【问题研究】请根据图1中信息回答：（1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）；（2）求摩天轮的半径；【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即．（3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，）专练四、三角形外接圆的性质36．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别是线段上的动点（两点均与端点不重合），且始终满足，连接与相交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．的最小值为37．（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（

）A．点 B．点 C．点 D．点38．（2025·河南周口·一模）如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为．39．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，分别是射线，射线上的点，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为．

40．（2025·河南·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上．(1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积．专练五、切线的性质与判定41．（2025·河南安阳·三模）摇摇马也叫木马，是形状像马的儿童玩具，如图1是某品牌设计生产的摇摇马水平放置的示意图，其长槽符合圆的一部分．点O是长槽所在圆的圆心．的半径为，已知摇摇马静止时点A，B所在的直线与地面平行，且A，B两点之间的距离为．将图1中的摇摇马玩具沿地面向右作无滑动滚动，如图2所示，当与相切于点B时，点A的竖直高度为（长槽的厚度忽略不计）（

）A． B． C． D．42．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，以为直径的交于点，与相切，且于点．若，，则的长为．43．（2025·河南驻马店·三模）如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接．(1)求的度数；(2)若，求的长．44．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长．45．（2025·河南郑州·三模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点．连接．(1)尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)①求证：平分；②若，求的长．46．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．(1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切；(2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径；47．（2025·河南驻马店·三模）图1是洛阳衡山路北魏大墓出土的金币图片，淇淇为找圆形金币的圆心，在其边缘标注了点A，B，C．(1)我们可以通过作不同弦的垂直平分线，来确定交点的位置即为圆心O．请据此利用无刻度的直尺和圆规在图2中画出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）：(2)如图3，淇淇正确地画出了圆心O，连接，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点O作于点E，交于点F，连接交于点G．求证：．48．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点），垂足D在线段上

，垂足M在线段外

(1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离．专练六、扇形弧长面积的计算49．（2025·河南郑州·三模）如图①，，是上的两定点，圆上一动点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是，图②是随变化的关系图象，则下列说法错误的是（

）A．的半径为 B．，两点间的距离为C．点的运动速度为 D．的度数为50．（2025·河南信阳·三模）如图，将扇形沿射线方向平移得到扇形，点D为的中点，，当点D的对应点落在上时，阴影部分的面积为（

）A． B．C． D．51．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，扇形的圆心角为，点在上，且，，阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．52．（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．53．（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（

）A． B． C． D．54．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．55．（2025·河南南阳·三模）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的．56．（2025·河南周口·三模）如图，矩形的长，宽，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，则图中阴影部分的面积为．57．（2025·河南周口·三模）如图所示，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则的长．（结果保留）58．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点．(1)求直线的解析式．(2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积．59．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接．(1)求反比例函数的表达式；(2)求证：；(3)直接写出阴影部分的面积．专练七、正多边形与圆60．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（

）A． B． C． D．61．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为则点的坐标为（

）A． B． C． D．62．（2025·河南周口·二模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（

）A．1 B． C．2 D．363．（2025·河南郑州·一模）将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则（

）A． B． C． D．64．（2025·河南洛阳·三模）如图，在正六边形中，直线从点出发向右平移，且，设直线在正六边形内部截得的线段的长为，平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为(

)A．2 B． C． D．65．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为．66．（2025·河南平顶山·二模）如图，分别以正六边形的顶点B，C为圆心，长为半径作圆，若正六边形的边长为4，则两圆在正六边形内部重合的面积为．67．（2025·河南周口·一模）如图，正方形内接于，是的中点，．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的平行线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求的长．专练八、圆与相似三角形的综合68．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动．【初步探究】如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点．（1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．（2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：．【尝试应用】（3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．69．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点．(1)过点作于点，求证：．(2)若，，求的半径．70．（2025·河南平顶山·一模）如图，点O是线段的中点，以为直径作，点C是上一点，过点C作，分别交，于点E，D，作，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．71．（2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程．证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．，（①）．，∴，．，．，，即，．∴，②．．根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____；(2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长．72．（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等．已知：如图，的两条弦相交于点．求证：．证明：如图，连接，∵，，∴①___________，___________∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整；(2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径．6．（2025·河南安阳·二模）把一个直立的火柴盒放倒（如图），通过用不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．用分别表示和