2025-2026学年上海松江高三一模数学试题 附答案

/松江区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则__________.2．抛物线的焦点到其准线的距离为__________.3．不等式的解集为__________.4．复数（其中是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为__________.5．某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为__________..6．已知的二项展开式的各项系数之和为32，则该二项展开式中项的系数为________（结果用数值表示）.7．比较两数的大小：_________.8．设，若，则__________.9．已知平面内两个非零向量相互垂直，，若，则实数_____.10．将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有__________种不同的排法（结果用数值表示）.11．某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为__________（结果精确到）.12．在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为__________.二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．若空间中三条不同的直线满足，，则“”是“共面”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，对任意的时，均有的是（）A．B．C．D．15．已知函数，，函数.若对任意，都有，则方程的解的个数为（）A．6B．7C．8D．9 16．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论：①当时，；②的最大值为（）.A．①正确，②错误B．①②都正确C．①错误，②正确D．①②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数的周期为，在时取到最大值4，记．（1）求函数的表达式；（2）若数列为等差数列，，记，求数列的前项和．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥的底面是直角梯形，，是边长为2的正三角形，侧面底面．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：，．（1）求这组数据的极差和中位数；（2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为＂长发球回合＂，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是＂长发球回合＂的概率；（3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是的最小值是，满足．（1）求该椭圆的离心率；（2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率；（3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为的面积为，求的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数，正常数，记．（1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意正整数，都有．松江区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．2．43．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．B14.C15.B16.B三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数的周期为，在时取到最大值4，记．（1）求函数的表达式；（2）若数列为等差数列，，记，求数列的前项和．【正确答案】（1）（2）(1)由题意得：，所以．2分由函数在时取得最大值4，∴，4分则，∴，又，所以，∴.6分(2)∵，，数列为等差数列，8分则，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，10分所以．14分18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥的底面是直角梯形，，是边长为2的正三角形，侧面底面．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）（1）证明：取中点H，连接AH，PH．因为是正三角形，所以；1分又因为侧面底面，侧面底面，所以底面，所以PA在底面上的射影即为AH．3分在和中，，所以，所以，所以，5分所以．6分（2）因为，所以到平面的距离即为到平面的距离．7分因为，侧面底面，侧面底面，所以，9分又因为，所以平面侧面．10分取PB中点E，连接CE，则，所以，CE即为所求．--12分因为三角形是等边三角形，所以．所以点到平面的距离是．14分（法二）建立空间直角坐标系证明：（1）取中点，连接．因为，所以；1分又因为侧面底面，侧面底面，所以底面．以为坐标原点，CB为轴，OP为轴，建立如图空间直角坐标系．3分因为，所以，∴，，∵，5分∴，∴．6分（2）设平面一个法向量为，因为，所以，不妨设则所以．10分因为，所以．14分本小题也可以用等积法求解．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：，．（1）求这组数据的极差和中位数；（2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为＂长发球回合＂，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是＂长发球回合＂的概率；（3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由．【正确答案】（1）极差和中位数（2）（3）一局定胜负对甲更有利（1）数据从小到大依次是：3.2,4.1,4.7,5.3,5.8,6.5,7.2,8.9，9.6,12.4.所以这组数据的极差为；中位数．4分（2）设至少有2个是“长发球回合”为事件，则，6分所以．8分即：从这10个发球回合中随机抽取2个，至少有2个是“长发球回合”的概率为．（3）一局定胜负,甲获胜的概率为；三局两胜，甲获胜的概率为；10分∵∴∴14分因此从甲的角度考虑，一局定胜负对他更有利．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是的最小值是，满足．（1）求该椭圆的离心率；（2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率；（3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为的面积为，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）（1）∵，，∴，∴，∴离心率.4分（2）∵,∴椭圆方程为，∴左焦点为，设右焦点为（1,0）.∵,∴.设点坐标为，则，解得从而点坐标为，∴,∴直线的斜率为.10分（3）由（1）知，，∴，∴椭圆方程为.显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，则由消去并整理得，从而有，，所以,12分因为,所以，所以，14分由与相似，所以，16分令，则，从而，即的取值范围为.18分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数，正常数，记．（1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意正整数，都有．【正确答案】（1）单调递增（2）（3）证明见解析(1)由题知，QUOTE1，+∞1，+∞，由题意得恒成立，所以函数在区间QUOTE1，+∞1，+∞上严格增．4分(2)方法一：，，5分令，则有两个不同的正解，6分所以只需满足，得到，8分此时，当时，严格增.当时，严格减.当时，严格增.存在极大值和极小值，综上所述，，10分方法二：，，5分令，则有两个不同的正解，6分即，当时有两个不同的交点，，数形结合得，8分此时，当时，严格增.当时，严格减.当时，严格增.存在极大值和极小值，综上所述，．10分方法三：，，5分令，=1\*roman