2025-2026学年上海黄浦高三一模数学试题 附答案

/黄浦区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．函数的定义域是__________.2．若直线与平行，则__________.3．已知集合，，则__________.4．已知是虚数单位，则__________.5．若的展开式中的系数为160，则实数__________.6．甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则该密码被破译的概率为__________.7．已知边长为3的正的三个顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为1，则球的体积为__________.8．若正数满足，则的最小值为__________.9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、1为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则_________.10．已知数列是公差为2的等差数列，数列也为等差数列，且，则__________.11．如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边分别经过点，则该展览区的最大面积约为__________平方米（精确到1平方米）.12．若图形上的每个点都在圆上或在圆内部，则称圆为的一个覆盖圆.设由函数（）与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______.二、选择题(本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.13．下列函数中，既是偶函数又在上严格减的函数是（）A．B．C．D.14．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则D．若，，则 15．若数列同时满足如下条件：（i）是无穷数列；（ii）是严格增数列；（iii）存在正数，使得对任意的，都有的前项的和.则称具有性质.关于如下结论：其中正确的说法是（）①存在等差数列具有性质；②存在等比数列具有性质.A．①和②均正确B．①和②均错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确16．已知点，，则的取值范围是（）A．B．C．D.三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1、2小题满分各为4分,第3小题满分6分.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去20天苹果的日销售量(单位:kg),按从小到大的排序结果如下:62,74,75,84,84,85,85,85,86,87,89,92,93,94,97,99,101,104,107,117.(1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数；(2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量;(3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率.18.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，在几何体中，四边形是矩形，上平面，，，分别是线段的中点.(1)求证:平面；(2)设平面与平面的交线为，求二面角的大小.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.在中，.(1)求的长和的正弦值；(2)若点在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于.20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知双曲线的中心位于坐标原点,焦点分别在轴的正、负半轴上,,直线是的一条渐近线,直线与有且只有一个公共点.(1)求的方程；(2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；(3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合.(1)若，求；(2)若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”.(3)若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围. 黄浦区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.2.3.4.5.6.7.8.1449.10.11.213612.二、选择题(本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.13.B14.C15.D16.B三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1、2小题满分各为4分,第3小题满分6分.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去20天苹果的日销售量(单位:kg),按从小到大的排序结果如下:62,74,75,84,84,85,85,85,86,87,89,92,93,94,97,99,101,104,107,117.(1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数；(2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量;(3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率.【正确答案】（1）（2）（3）（1）∵，故该水果店过去20天苹果日销售量的平均数为90kg.…………4分（2）∵，故过去20天苹果的日销售量的第80百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为100kg.…………8分（3）过去20天苹果的日销售量超过90kg共有9天，所以“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”的概率为；…11分“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率为.…14分18.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，在几何体中，四边形是矩形，上平面，，，分别是线段的中点.(1)求证:平面；(2)设平面与平面的交线为，求二面角的大小.【正确答案】（1）证明见解析（2）（1）设是的中点，连，分别是的中点，，又是中点，且四边形ABCD是矩形，，，故四边形是平行四边形，所以∥，…4分又平面，平面，∥平面.…6分（2）以为坐标原点，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由平面，可得∥轴.……………7分由,,,得,,设是平面的一个法向量，二面角的大小为.由可得故.……10分又是平面的一个法向量，所以,………13分可得,故二面角的大小为.…14分19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.在中，.(1)求的长和的正弦值；(2)若点在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于.【正确答案】（1）（2），存在（1）在中，，故.…………3分由，可得.…………6分（2）在中,,…………7分由，可知故.…………11分,由且且,故存在，使得，即存在，使得在处的瞬时变化率等于.……14分20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知双曲线的中心位于坐标原点,焦点分别在轴的正、负半轴上,,直线是的一条渐近线,直线与有且只有一个公共点.(1)求的方程；(2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；(3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.【正确答案】（1）（2）或.（3）存在符合题意（1）设的方程为，的焦距为，则，即，由是的一条渐近线，可知，即，故，可得，，所以的方程为.……………4分（2）由消去得，由且，可得，此时点的坐标为.…7分设，由为直角向量，可得，即，解得或，故点的坐标为或.……………10分（3）的斜率为，故可设的方程为.…………11分由在直线上，故可设，代入，可得，故，…………13分将的方程代入的方程，可得，设点的横坐标分别为，则故，……17分故当时，，所以存在常数λ，使得总成立.………18分21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合.(1)若，求；(2)若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”.(3)若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）（1），即，可得，解得或.故.……4分（2）若且为周期函数，则存在非零常数，使得对一切恒成立，故对一切恒成立，所以；由，即对一切恒成立，可知对一切恒成立，故对一切恒成立，所以.故存在非零实数，使得.………7分若且存在非零实数，使得，则对一切,都有与恒成立，可知对一切,与恒成立，从而恒成立，所以为周期函数.综上可知：若，“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”.