2026届高三数学二轮复习 突破练17 圆锥曲线的定义、方程与性质

专题突破练17圆锥曲线的定义、方程与性质

必备知识夯实练

1.（2025湖北黄冈二模）设成存0,“曲线收+如2=c为椭圆"是“>0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2025安徽淮北二模）若抛物线产=叙的焦点是椭圆C:9+?=l（〃>0）的一个焦点，则椭

圆。的长轴长为（）

A.2B.2V3

C.4D.8

22

3.（2025江苏苏州模拟）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C:»+/=1（公>加>0）的

右焦点为七右顶点为4上、下顶点分别为B2,BL点D在线段4方上,且附。|=2|。6.若

〃力&，则C的离心率为（）

Ai

Dt

4.（2025浙江台州二模）已知R尸2为双曲线。:捺一/1（〃>0方>0）的左、右焦点，过点Fi

作直线/与双曲线C的右支交于48两点，且|45|=|M|,cosN/8H=1,则双曲线。的离

心率为（）

AV21

A-BnV

C迪演

。3U'3

5.己知双曲线捺—自1（心0力＞0）的左、右焦点分别为—抛物线V=4信的准线/经

过R,且/与双曲线的一条渐近线交于点4若/~~三，则双曲线的方程为（）

A..g=iB.£Y=1

164416

22

C.Y%2=1D白V/i

6.（多选题）（2025山东泰安二模）已知双曲线谆-3=15＞0乃＞0）的左、右焦点分别为

尸尸2,则下列选项正确的是（）

A.若。=2/=h,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为百

B.若点P在双曲线。上，则直线PFi与尸B的斜率之积为捺

C.以线段为直径的圆与双曲线。在第一象限交于点P,且1Po|=|尸尺1,则双曲线。的

离心率e=V5+l

D.若过Fi的直线/与x轴垂直且与渐近线交于A,B两点,/4/。=会则双曲线C的渐近

线方程为卜=±275%

7.（多选题）（2025安徽黄山二模）已知抛物线C:y2=2px的焦点为冗点4（8,8）在抛物线上，

过点尸作直线交抛物线于M（X]"）,MX2g）两点，则下列说法正确的是（）

A.|MV|的最小值为4

B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切

C.当加=2丽时，则|MV|=9

D.丽丽=-12

8.（2022全国甲，文15）记双曲线。/一3=1（心0力＞0）的离心率为6,写出满足条件“直线

y=2x与C无公共点”的e的一个值:.

9.（2025江西宜春一模）已知抛物线C:炉=4工的焦点为F,点尸在。上且位于第一象限，过

点尸作直线垂直于。的准线,垂足为4,若直线力产的倾斜角为尊则仍产|=.

10.（2025湖北宜昌二模）已知椭圆谆+的左、右焦点分别为向尸2,过点B

的直线与C交于48两点.若|4B|=2|身切,|/8|=|8川，则椭圆。的离心率为________.

关键能力提升练

11.（2025河北秦皇岛二模）已知双川I线。:捺一，=1（〃>0方>0）的左顶点为4,右焦点为

He,。）,过点A且斜率为k的直线/与圆（x-c）2+y2=（c-a）2相切，与C交于第一象限的一点B.

若噂WAW1,则C的离心率的取值范围是（）

A.[3,3+2企]

B.[3,3+4A/3]

C.[3+2心7+4㈣

D.[3+473,7+473]

12.（多选题）（2025陕西西安二模）设双曲线C：5-捻=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为

万尸2,下列说法正确的是（）

A.若。的渐近线的斜率为土;，则C的离心率为第

B.若C的渐近线方程为片土条，且点（2,当在。上，则昕2

C.过点B的直线与C的右支相交于两点，若|48|=4〃,/万/8=90°，则。的离心率为

邈

2

D.若C的左、右顶点分别为且。是C上异于的一点，则直线的斜率之

积为之

22

13.（2025山东荷泽模拟）已知椭圆C：a+S=im>b>0）的左、右焦点分别为过点用

的直线交椭圆于尸,。两点，且PQ_LB04Q%F2=2SZ^/2,则椭圆C的离心率为.

核心素养创新练

2

14.（多选题）（2025浙江杭州二模）设曲线。y5-切），|=1,直线y=ax+b与曲线。的交点的可

能个数的集合记为。伍,。）,则（）

A.DQ力尸{0,1,2,3}

BQQ2）={0,l,2}

C.QQ-3〃）={0,l,2}

D.若。伍力）={3},则⑷，且“0

答案:

1.A解析若曲线ax2+by2=c为椭圆，则该椭圆的标准方程为t+4=l(a苑).

«b

因为椭圆中分母须大于0,所以30且「0,又因为"n0,那么ac>0且机>0,所以充分性

Qb

成立.

当ac>0时，比如a=6=l,c=l,此时曲线方程为/+产=],它表示的是圆不是椭圆，必要性不

成立.所以“曲线办2+如为椭圆”是Zc>0”的充分不必要条件.故选A.

2.C解析在抛物线产=以中，焦点坐标为(1,0).所以椭圆的焦点在x轴上，且。=1(。为椭

圆的半焦距).在椭圆中〃=/=3+1=4,又因为〃>0,所以。=2.则椭圆的长轴长为

2Q=2X2=4.故选C.

3.B解析由题可得，点32(0,6)43,0)4(c,0),・・・取=(a,・b).

,.・⑸0=2|。尸则点。为线段3户靠近点尸的三等分点,

故0(&料而=(&多)瓦?=(〃,/),

21,

由。。〃,得自多化简得吟=热故选B.

4.B解析由双曲线定义得,|力川-恒尸2|=|比可・田尸2|=2凡|BB|=2c.

设由F||=M3|=〃Z,则田B|=〃7-2Q,由图,用-出B|=2a，MB|=44,

在AABFi中,由余弦定理得cosNABFi=二贮竺Q=1

zmmy

解得m=3a,

；・中，由余弦定理得cosNF2BF1=cosNA:;①：=曰,

.•・7〃2=3/,故离心率《=£=々=卫..故选8.

Q733

5.D解析抛物线/=44工的准线方程为工=-遮,贝I」。=逐，则FI(-V5,0),F2(V5,0),

(_b(X=-C,

不妨设点/为第二象限内的点，联立•>=/可得”一生

即点力（-喏）.

因为力且

则△尸尸乂为等腰直角三角形，

仁=2,（a=1,

且|仍|=尸典,即舁2c,可得沁所以，c=V5,解得，b=2,

aa[c2=J+b\]c3

因此双曲线的标准方程为也。=1.故选D.

6.ACD解析由双曲线的性质知，焦点到渐近线的距离为6,故A正确；

当点。为双曲线顶点时,直线尸a与。人的斜率之积为o,故B错误；

由题意点尸在圆]2+72=。2上，又|p0|=|p/R,所以切三,代入圆的方程，可得"=苧，将点

Pg，学）代入双曲线方程可得，・一茶=1，

即4=3+2V5,

a

所以e=：=J1+*=V44-2A/3=V3+1,故C正确；

直线/的方程为x=c,与渐近线y=+3x相交于A（c年）,

所以及4=（2G%用=（c,0）,即c喈=需=*=也化简可得212,解得安河

。产注

所以双曲线渐近线方程为y=±2bx，故D正确.

故选ACD.

7.BCD解析由题得8=2px8,解得p=4,则C炉=8x,尸（2,0）,

由题可设直线MN:x=（y+2,联立抛物线方程得尸8/16=0,显然/>0,

所以巾+）2=8/942=-16,则|MN|=V1+仔”（丫1+丫2）2-4丫/2=8（1+产）28,当且仅当r=0时

等号成立,A错误；

由抛物线的定义知|MN|=K+X2+4,而线段MN的中点横坐标为中，

所以线段MN的中点与直线x=-2的距离为3署+2,即为|MN|的一半，

所以以线段"N为直径的圆与直线x=-2相切,B正确;

若M尸=2前，且">。>协则巾=2囱,而歹必=」6,

所以巾=4或沙2=・2企，

贝j?]4-y2=8r=2V2=i=^,

所以工1+工2=/。，1+歹2)+4=^乂2近+4=5,则|MN|=XI+X2+4=9,C正确;

由。M•0N=%戊2+y"2=/+1加次+2©।+、2)+4=-16--16+161+4=-12,D正确.

故选BCD.

8.2(答案不唯一，只要iv把V5即可)

解析由题意知,双曲线。的渐近线方程为歹=±*要使直线y=2r与双曲线。无公共点,

只需(Kg<2即可.由O]<2,#Ov袈44,所以1</《5,故1<e<V5.

9.4解析因为抛物线C：y=4x的焦点为£所以A(1,O),

由题意可得N4PF=/PFx,/APF+/4FP+NF4P=n,

所以ZFAP=TI-ZAFX=TI^=g,

oo

又由抛物线定义得IPn=IP「I,

所以APAF为等边三角形，设准线与x轴交于点尸，在Rt△，在尸中,NE4尸=30°,

所以|Z尸1=2甲广1=4,

所以|P户|=|4尸1=4.

10.噂解析由已知可设|&B|=x,

则MB|=2X,|8Q|=|/8|=3K

由椭圆的定义有田仔I+|8尸2|=2。=4%,故x=^.

.•・3B|=〃=|力B|,田号，故点A为椭圆的上顶点或下顶点.

川+空弼1

在△4E8中，由余弦定理推论得cosZFAB=—3=J.

]2Q,彳3

在△力中，设NO4B=d

故cosZF\AB=cos20=l-2sinW=g,得sin2^=^,

LLC|。尸2|•zjV3

故e=-=k；=sm0=:

a\AFQ\3

11.A解析依题意，点4(/,0),直线/的方程为y=k(x+a\

圆(x-cF+yTc-aF的圆心为(c,0),半径为c-a,

由直线/与圆(x-c)2+)^=(c-ci)2相切，得半要=。・%

>/好+1

令双曲线离心率为e,又日女<1,则詈=詈=耳亘=J1+专,

因此1+A=』7^日夜,2],即近-14£41,解得3忘《<3+2&,

所以。的离心率的取值范围是[3,3+2应].故选A.

12.ACD解析对于A,由C的渐近线的斜率为则/=i

所以c的离心率为Ji+\=当故A正确；

对于B,由C的渐近线方程为歹=±争，设C:^-/=Zr(Zr>0),

又点(2。在C上,所以;卜1=左,即。：《-产1,

所以4=75,故B错误；

对于C,由过点乃的直线与C的右支相交于两点,不妨设M用曰凡|8斤2|=〃，

若|48|=4凡/~/3=90。，

贝ij\AF\|=2Q+〃7|=2Q+〃，

在RtAAFiB中,由勾股定理得(2〃+〃7)2+(〃7+〃)2=(2〃+〃)2,结合加+〃=4〃,解得m=a,n=3a,

故ME|=3〃，MB|=4,

在RtZUR乃中,由勾股定理得(2c)2=(302+〃2,即4g0*,

所以C=a=半，故C正确;

对于D,设尸（M”o）（Xo/±4）,

则置一得=1，即羽=,（晶层），

又MuObMdO）,

b22

所以底如产士•'=-A=岑2二=与故D正确.

x（）+aXQ-aXQ-Q4XQ-Q4a,

故选ACD.

13-V解析由5纯乎2=25、尸1尸2,可得|。乃|=2|尸6],设|PR|=m,则|Q&|=2m,|P尸i|=2a・

M,|0R|=2a-2m,由。0_1_尸|0,则|PFi|2=|PQ2+|QF[F,即（2々_m）2=9〃?2+（2々-2M2,解得〃?《

所以|0R|=2a-2xI=阳。B|=|a,

在RtA0FiF2中，有IF1F2F=|Q&『+%『，即4c2=等+率解得捺.所以椭圆C的

离心率若=*

14.ACD解析当y20时有C1俨=1,且渐近线为片土宗当时有（7:《产=1：如图1.

L-1''、、、、

图1

曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，根据

对称性，只需讨论。20的情况.

若4=0,

当b<-l时，直线y=OY+b与曲线无交点；

当b=-\时，直线y=ax+6与曲线有1个交点；

当b>-\时，直线与曲线有2个交点；

当0<tz<1时，如图2.

y=ax+b

图2

由图知，以直线），=ax+b与椭圆部分相切为界，此时有1个交点；

此时〃不变,6—»-1,直线与曲线有2个交点;b--8,直线与曲线无交点，

所以当时直线与曲线的交点个数有0,1,2三种可能；

当b2-T时,Va6（09,直线y=or+Z?与曲线有2个交点；

当如图3,分别以直线片at+b与曲线双曲线、椭圆部分相切为界，

图