2026高中数学一轮总复习：第1章 集合、常用逻辑用语与不等式（教师卷）

第一节集合

课标要求

1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属干关系.

2.理解集合之间包含与相等的含义，耗识别给定集合的子集.

3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.

4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.

X识•逐点夯实»»

（如一植理［―

L元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性；

（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法；

（3）元素与集合的两种关系：属于，记为已；不属于，记为e；

（4）五个特定的集合及其关系图：N•或N+我示正整数集,N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数

集，。表示有理数集,R表示实数集.

提醒（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含（），而

N*（N+）表示正整数集，不包含0.

2.集合间的基本关系

、、表示

自然语言符号语言图形语言

关系

集合A中任意•个元素都是45彳二^）

子集集合8中的元素（或B3A）或1-----1

表示

关系、自然语言符号语言图形语言

真子集集合但存在兀素且.¥4A

（或磴人）

集合A的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合

集合相等A=B（AiHl

B的任何一个元素都是集合A的元素

要分A=0或4#0两种情况讨论，不要忽略,4=0的情况.

3.集合的基本运算

类别

并集交集补集

表示

图形语言q人④

4U0

[uA=LrIU,

符号语言

或xEB}且x£用且淄川

口常用结论

1.子集的传递性：AQB,8&C=ACC.

2.若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2”个，真子集有2〃一1个，非空真子集有2"一2个.

3.等价关系：U4=8TUA3[U8.

r-arg

I.判断正误.(正确的画7：错误的画“x”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.(x)

(2)已知集合从={-1,0,1},3={0,1,4},则AC8={0,1}.(<)

(3)集合{xlx=/)用列举法表示为(一1,1}.(X)

(4)若{F,1}={0,1},则x=0,1.(X)

(5){.vIy=AT-\-1}={yIy=AT+1}={Cx,y)|y=d+l}.(X)

2.(人A必修一P14习题4题改编)设集合S={xI£>—2},T={xI-4WxWl},则([RS)UT=()

A.{xI-2<x<l}B.UIA<-4}

C.{xID.{xIx21}

解析：C因为S={xI七>一2},所以35=51^<—2}.而7'={—-4在入£1},所以([RS)U?=UIA<-

2)U{xI—4WxWl}=氏Ix〈l}.

3.(人A必修一P35复习参考题8题改编)若集合M={(x,y)ly=l},集合N={(x,y)Ix=0},则MAN

=()

A.{0,1}B.{(0,1))

C.{(L0)}D.{(0,1),(1,0)}

解析：B集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为。的点集，所以MCN={(0,1)},故选B.

4.已知集合A={0,1,f-5R,若一4£A,则实数x=1或4.

解析：V—4^A,Ax2—5x=-4,.\x=1或x=4.

5.(苏教必修一P12习题7题改编)已知集合4={xIOVxV。},B=(xI1<A<2),若咳A,则实数。的取值范

围是(2,+8).

解析：由图可知”>2.

考点•分类突破»»

集合的基本概念（基础自学过关）

铝鹿1».

1.已知集合A={xI〃一〃>0},且IS,2EA,则()

A.a>1B.

C.2VaW4D.2&V4

解析：D•・•侔A,・・・2Xl-aW0,解得〃22,又・；2£4,.\2X2-a>0,解得a<4,.•.2WaV4.故选D.

2.已知集合A={(x,y)I『+)2w怖，xez.yez),则A中元素的个数为()

A.4B.5

C.8D.9

解析：B因为.F+)2W6，x£Z,所以x可取一1,0,1.当工=一1时，得)，=0；当x=0时，得>，=一1,0或

1；当x=1时，得y=0.所以4={(一1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)},共有5个元素.

3.设4,b£R,集合{1,。+力，。}={0,&b},则“2025+62026=0

解析：由题意知aWO,所以。+/?=0,则2=-1,所以4=-1,〃=1.故.2025+02026=-1+1=0

a

4.若集合以If+2丘+i=o}中有且仅有一个元素•，则满足条件的实数&的取值集合是1I,一”.

解析：若集合{xld+2h+1—0}中专且仅有一个元素，则方程9+2丘+1—0有两个相等的实数根，即/一

(22)2—4=0,解得攵=±1,所以出的取值集合是{1,-1).

练后悟通

解决与集合中的元素有关问题的一般思路

看尢索州*r7定/合是做/左是危良

的」—I;根据承制*件用文复合元素久季，我

工裁1色件的值

I、%：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：

■尤京料植I注6中元萦的互分懂

集合间的基本关系(师生共研过关)

2»_____________________

[M1](!)(人A必修一P9练习3(2)题改编)已知集合/=(工1/=2+akwz\,N={xIx=g+I,kGZ\,

则(A)

A.MUNB.NUMC.M=ND.MQN=0

(2)已知集合4=5IaVxVa+2},B={xI(x+2)(x-3)<0},且AQB,则(C)

A.-IW〃W2B.~\<a<2

C.-2MW1D.-2<a<l

解析：(l)A/=&lx=%+$女£Z}={x|x=掌，A£Z},N={.x|x=?+1,A£Z}={xIx=?,kWZ\,因为

2k+l,表示所有的奇数，而k+2,k£Z表示所有的整数，则MUN.故选A.

(2)由(x+2)(x-3)V0,解得一2VxV3,所以8={xI—2Vx<3},集合A={xIaVxVa+2}H。.因为

ANB,所以fN—2，解得一2WaW].

(a+2<3,

解题技法

1.判断集合间关系的常用方法

[■衿卜.........二二岁.小《

1*2明帕£去士什幺.鼻4桑舍;

但生*叵H的无京构以.再“JCR合t上的"U则;

修♦合关系

:♦♦»♦，）一：脩购数修Avcnnlfl

2.求参数的方法

将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、

Venn图化抽象为直观进行求解.

提醒当8为A的子集时，易漏掉8=0的情况.

□跟粽训练

1.设全集U=R,则集合M={0,1,2}和2={%|x（x—2）log2X=0}的关系可表示为（)

解析：A因为N={xIx(x—2)log认=0}={1,2},M={0,1,2},所以N是M的真子集.故选A.

2.（2025•南宁第一次适应性测试）已知集合4={2,4,6,8,9）,B={\,2,3,4,5,8},又知集合C是这样

一个集合：若集合。的各元素都加上2,它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2,它就变成8的一

个子集.试写出这样的一个集合C={4,7}（答案不唯一）.

解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合。={0,2,4,6,7）,8中的元素都加上2得到集合后={3,

4,5,6,7,10}.因此集合C是集合。和集合E的公共元素所组成的集合G={4,6,7}的非空子集，故这样的集

合。有7个，答案不唯一，如。={4,7}.

集合的基本运算（定向精析突破）

力/3►__________________________________4

考向1集合的运算

[M21（1）（2024新高考/卷1题）已知集合八一{xI-5V/V5）,8—{-3,-1,0,2,3},则八08一

（A）

A.{-I,0}B.{2,3）

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

解析：（1）法一因为A={xl一遮＜工＜遮）,-1,0,2,3},且注意到IV遥＜2,从而4cB={-

1,0}.故选A.

法二将集合8中的元素代入集合A中，排除易得选A.

（2）12025•贵阳摸底）已知全集U=R,集合A={xl—1WXW3}：B={yIy=2\x£R）,则图中阴影部分所对

应的集合为（A）

u

A.{xIx<—1}B.UIxC—I)

C.{xIxWO或x>3}D.{xI0V.W3}

解析：(2)因为B={yI)，=2\xGR},所以B=(0,+为).而题图中白色部分表示Au8=［—I,+«>),故

阴影部分所对应的集合为［R(AU8)=(-8,-1).故选A.

解题技法

集合基本运算的方法技巧

*支*5*'五*晨^H

免於「1文文理,值墀•一九二次不等A力•艮等

访］3,满［件k：程工,孑元方由完»

|戛合「:也”件的最简等婚w人.将臬合洋党也人示出表

［询二一“用支4我并&(讣4%£攵4根必妻时彳得；

［奈加厂!财找，♦或Venm近叱解决

考向2利用集合的运算求参数

【13】已知集合人={%£2IfV3},B={xIa<x<a^］,若AC8有2个元素，则实数。的取值范围是()

A.(一条0)U(1,+-)B.(一会0)

C.(--,-1)U(--,0)D.(--,-1)

222

1，

解析：CA=UGZI.r<3)={-l,0,1),8={xIa<rVa+：},若AC8有2个元素，则3或

2［0<a+-<1

-1<a<0,o1o1

,3解得一：V〃V—1或一:V"V0,所以实数a的取值范围是(一3-1)U(一30).故选C.

吟>1,22

解题技法

利用集合的运算求参数的方法

(1)与不等式有关的集合，一般利龙数轴解决，要注意端点值的取舍；

(2)若集合中的元素能一一列举，也一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.

考向3集合的新定义问题

【修4】〔多选〕对任意A,HGR,记人㊉e二bI入e4U8,且KADB},并称4㊉B为集合A,8的对称差.例如，

A={\,2,3},B={2,3,4),则从引8={1,4}.下列命题中，为真命题的是()

A.若A,4NR且A㊉6=4,则A=0

B.若A,8GR且4㊉8=0,则A=B

C.若A,8=R且A㊉8UA,则AN8

D.存在A,4QR,使得从啰8=(CRX)㊉(CRB)

解析：ABD对于A选项，因为A㊉B=A,所以且.此40川，所以AGB,且B中的元素不能

出现在AC6中，因此A=。，故A为真命题；对丁B选项，因为A㊉4=0,所以。=LrIx£AU6,且H

4GB},所以AUB与AA8是相同的，所以A=B,故B为真命题；对于C选项，因为A㊉8GA,所以丘|

x^AUB,且熙AnB}NA,所以BCA,故C为假命题；对于D选项，若A={x|xV2},B={x\x>\],则AU8

=R,|i<x<2},所以A㊉IxWl或x22},CRA={XIx>2},h8={xlxW1},所以((RA)U

([RB)={xIxWl或x22),([RA)A([R8)=0,所以([R/D㊉(CR8)={xIxWl或x22},因此人㊉4=

(CRA)e(CR8),故D为真命题.故选A、B、D.

解题技法

解答集合新定义问题的关键是认其阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，联系

所学过的知识找出解题的突破口.

□»«««

I.(2024•上饶一模)设全集U=R,集合A={xI3">9},B={xI-24一},则([〃)GB=()

A.[-1,0)B.(0,5)

C.[0,5]D.[-2,2]

解析：DA={xIy>9}={xIx>2},故[M={xIxE2},所以(CuA)f18={xI-2SxW2}=[—2,2].

2.已知集合4={xI〃-2<xVa+3},B={xI(x-1)(工一4)>0}.若AU8=R，则”的取值范围是()

A.(一8,i)B.(1,3)

C.[1,3]D.[3,+8)

解析：B因为集合A={xI“一2VxVa+3},B={xI(%—1)(%—4)>0}={xI1或x>4},且AUB=R,

所以Q-'解得1V〃V3,即〃的取值范围是(1,3),故选B.

_a+3>4.

3.对于任意两集合A,B,定义A-B={xI且送B},A*B=(A-B)U(B-A),记4={工|420},B=

{xI~3^x^3],则A*8=卜I-3«()或x>3}.

解析：VA={xIx20},B={xI-3«}，：.A-B={xIx>3},B-A={xI-3&V0}..•"%={xI-3Wx

VO或i>3}.

课时•鼠除检测美.倚力I.后u习

A级基础达标

1.(2022•全国乙卷1题)设全集U=(l,2,3,4,5},集合M满足CuM={1,3},贝lj()

A.2£MB.3WM

C.44何D.5WM

解析：A由题意知"={2,4,5},故选A.

2.(2024.苏州3月适应性考试)已知集合4={-2,0,1,3},8={-1,0,I,2),则人的真子集个数为

()

A.2B.3

C.4D.5

解析：B因为A={-2,0,1.3},0,1,2},得到4nA={0,1},所以APR的其子集个数为22一

1=3,故选B.

3.(2023・新高考〃卷2题)设集合A={0,-a],B={\,a-2,2〃-2},若AU8,则a=()

A.2B.1

C.：2D.-1

解析：B由题意，得0£8.又8={1,a-2,2“一2},所以〃-2=0或2a—2=0.当〃-2=0时，a=2,此时A

={(),-2}.8={1,0,2},不满足人舍夫.当2〃-2=0时，〃=1,此时八={0,-I},«={1,一1,()},

满足.综上所述，。=1.故选B.

4.(2025・潍坊高考模拟考试)已知集合A={xIlog3(2J+1)=2},集合4={2,a},其中若AU3=/L

则a=()

A.1B.2

C.3D.4

解析：D法一(直接法)由2X+1=32,得X=4,所以A={4}.由4U8=8,得AU8,所以。=4,故选D.

法二(排除法)由2%+1=32,得x=4,所以A={4}.〃=1时，AUB={\,2,4}W8,排除A；。=2时不满足集

合元素的互异性，排除B；〃=3时，AU8={2,3,4}#8,排除C故选D.

5.设全集/是实数集R,A/={xl），=ln（A-2））与、=口|行忘01都是/的子集（如图所示），则阴影部分所表

示的集合为（）

A.{xIx<2}B.{xI—2^x<1}

C.UI1<x^2]D.{xI-2Wx<2}

解析：C集合M表示函数y=ln(x-2)的定义域，由工一2>0,解得工>2,故M={xI4>2}；由三W0,解得

1<XW3,即"=JI1VXW3),而图中阴影部分表示([/M)ON={x\x^2}O{x\l<x<3}=UIl<x<2}.

6.已知集合A={xlx=2〃，〃£N},8={xl*—orV0},且AGB中只有一个元素，则实数。的取值范围是

()

A.(2,4]B.(2,4)

C.(2,3]D.[2,4]

解析：A由题意得A={xIx=2〃，〃£N}={0,2,4,6,8,…},B={xIx2—av<0}={x\x(x-a)VO},由

于AGB中只有一个元素，所以4>0,B=(0,a),因此APB={2},得2V〃W4,故选A.

7.(创新命题设置)已知集合A,8与集合4B的对应关系如下表所示：

4(1,2,3,4,5}(一1,0,1)(-4,8}

B{2,4,6,8}{—2,—1,0>1}{-4,-2.0,2}

AB[1,3,5,6,8}{-2}{-2,0,2,8)

若4=]-2026,0,2026),8={-2026,0,2027),试根据表中的规律写出A.B=()

A.{2026,2027}B.{-2026,2026}

C.{-2026,2027}D.{2026,-2027}

解析：A通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A8表示的是AU8中的元素再去掉AA8中的元

素，故当A={-2026,0,2026(,8={—2026,0,2027}时,A8={2026,2027).

8.〔多选〕已知全集为U,集合A,B,C均为U的子集.若人HB=。，AnCW。，8GCW0,则下列说法一定正

确的是()

A.A=[u(BAOB.CQiu(AU8)

C.AUBUC=UD.AG4nC=0

解析：AD由题意得AC]述，又加(8AC)=(]述)U([uC),所以AC「(/(8GC),故A正确；符合题意

的集合A,B,C及全集U的关系可月如图所示的Venn图表示，由图可知C不是[u(AUB)的子集，故B错误；

集合AJ8UC与全集U不一定相等，故C错误；由APB=。，可得4nBAC=。nc=。，故D正确.综上，选

A、D.

〃=°,/出若对任意x£R,加+〃

9.〔多选〕设A,B是R的两个子集，对任意xER,定义：〃?=

[1,x^A,[1,x^B.

=1,则4,4间的关系为()

A.B=(RAB.8=[R(ADB)

C.4=(R8D.A=[R(AA8)

解析：AC因为机=°‘依''〃=!"油"’且对任意x£R,所以〃?，〃的值一个为0时，另一个

.1,(1,xWB,

为I,即x£A时，淤4或时，KA,所以A,4间的关系为8=[RA或A=[RB,故选A、C.

10.己知集合A={x,f+l,-1}中的最大元素为2,则实数x=I.

2

解析：因为F+l—x=(A—1)+7>0,所以『+l>x,所以f+1=2,解得x=l或x=—1,显然x=-1不满

24

足集合元素的互异性，故舍去，经检验X=1符合题意.

11.设/是全集，非空集合P，Q满足P星Q91,若含有P,Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个

运算表达式可以是一0门(/。)=0(答案不唯•).

解析：由尸些Q些/,可得Venn图如图听示，从而有PG(1/Q)=0.

12.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐

讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，5人

听了全部讲座，则听讲座的人数为184.

解析：设全年级同学是全集U,听数学讲座的人组成集合人，听历史讲座的人组成集合B,听音乐讲座的人组成集

合C,根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62十7十5十11十4十50十45=184.

Bffi绿台应用

13.(旬新考法)设A(0,0),B(4,0),C(r+4,4),D(r,4)(re[0,I,2}).记N(r)为。月8。。内

部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(力的集合是()

A.{9,1(),11)B.[9,10,12)

C.{9,11,12}D.{10,11,12}

解析：C如图所示，当f=0时，口人BGOi的四个顶点是A(0,0),B(4,0),Ci(4,4),D\(0,4),符

合条件的点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,

3),去9个，N(0)=9,故选项D被排除掉；当/=1时，oABG%的四个顶点是A(0,0),B(4,0),C2

(5,4),D2(B4),同理知N(l)=12,故选项A被排除掉；当，=2时，的四个顶点是A(0,

0),B(4,0),J(6,4),%(2,4),

14.(新定义)〔多选〕若非空数集M满足对任意弟)£M,都有x-y^M,则称M为“优集”.已知

集合A,B是“优集”，则卜列命题中止确的是()

A.AP8是“优集”

B.4U8是“优集”

C.若AU8是“优集”，则AQ3或6cA

D.若AUB是“优集”，则AAB是“优集”

第二节常用逻辑用语

课标要求

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.

2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系.

3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识•逐点夯实»»

tMW»»

i.充分条件与必要条件

命题“若p,则q”和“若q,则p”都

“若p,则/为真命题”若p,则/'为假命题

真假是真命题

推出

P=qp-poq

关系

条件〃是〃的充分条件,〃不是〃的充分条件,。不是〃的亡是〃的充分必要条件,简称_

关系〃是〃的必要条件必要条件充要条件

提醒(1)A是B的充分不必要条件且(2)A的充分不必要条件是4<%=A且AA3.

2.全称量词和存在量词

类别全称量词存在量词

量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个

符号V3

命题含有全称量词的命题,叫做全称量词命题含有存在量词的命题,叫做存在量词命题

命题“对M中任意一个x,p(x)成立"可用符号“存在M中的元素工，p(x)成立"可用符号简记为

形式简i己为“VxWA/,p(>)“"mxWM,p(x)”

3.全称量词命题和存在量词命题的否定

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记VxEM,p(x)3x^M,p(x)

否定3x^M,p(x)Vx^M,p(x)

提醒对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.

口常用结论

1.若〃是。/的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.

2.〃是g的充分不必要条件，等价于q是〃的充分不必要条件.

3.用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A={x|〃(x)},B={x\q(x)}.

(1)TiAQB,则〃是q的充分条件，g是〃的必要条件；

(2)若A些B,则〃是q的充分不必要条件，g是〃的必要不充分条件；

(3)若A=B,则〃是q的充要条件.

4.命题〃和〃的真假性相反，着判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.

(对点自一|一一

1.判断正误.(正确的画，错误的画“义”)

(1)全称量词命题一定含有全称量词.(X)

(2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(Y)

(3)当〃是q的充分条件时，q是〃的必要条件.(7)

(4)若已知p：1和y：xN1,则〃是g的充分不必要条件.(Y)

2.(人A必修一P27例1、P28例2改编)下列命题中的假命题是(

A.VxER,2r-|>0B.VxWN",(x-l)2>0

C.3xo^R»1gxo<1D.mxo£R，tanxo=2

解析：BX£N"4，X-1WN,得（A—1）2>o,当且仅当.r=l时及等号，故B不正确：易知A、C.D正确.

3.（人A必修一P21例3（3）改编）“冷，>0”是“xVO,y<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：B因为盯>0=/XV0,y<0,且x<0,）V0=孙>0,所以"个>0”是"xVO,）V0"的必要不充分条件.

4.（苏教必修一P47本章测试10题改编）若命题“V.r£R,x2—x+aHO”的否定是真命题，则实数。的取值范围

是（）

A.工B.6/^-

44

C.a>-D.a<-

44

解析：BVxER»x2—x+aKO的否定是三工£R,x2—x+〃=0,因为原命题的否定是真命题，即方程x2—工+。=0

有实根，所以/=（-1）2—4X1X420,所以aW士故选B.

4

5.若。>加"是~>3”的充分不必要条件，则〃?的取值范围是（3,十"）.

解析：因为是“4>3”的充分不必要条件，所以（w,+=）是（3,+8）的真孑集，击图可知加>3.

考点•分类突破八透零点I.堂雷博

wMI

充分条件、必要条件的判定（基础自学过关）

爵盒1►

I.（2024•天津高考2题）设m0£R,则“/="，，是"3"=3”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：C由函数），=•?是增函数可知，若则〃=岳由函数y=3,,是增函数可知，若3"=3",则.故

%3=护”是“35”的充要条件，故选C.

2.设x£R,则-5xV0”是“ILlIVI”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：B不等式x2-5xV0的解集为4={xI0<x<5},由Ix—1I<1得一1〈工一1V1,其解集为8={1|0<工

<2},则集合8是4的真子集，所以“x2—5xV0”是“|x—1|VI”的必要不充分条件，故选B.

3.（2025•青岛一模）已知直线小〃和平面叫a9a,方u。，则2〃a”是“〃〃//'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：B当。时，a与b平行或异面，当。〃8时，ata,/?Ca,则4〃a,所以"4〃。"是"a〃〃"的必

要不充分条件.故选B.

练后悟通

充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p=q,9n〃进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

(2)集合法：根据p,夕对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

充分、必要条件的探究与应用(师生共研过关)

爵座2».

【■1】(2024•南昌三模)已知p：“x>2”，q：r—>0"，若〃是q的充分不必要条件，则实数a的取值

范围是()

A.2]B.(-8,2]

4

C.+8)D,[2,+8)

4

解析：B若〃是9的充分不必要条件，故x2—x-〃>0在x>2时恒成立，故得〃V『一x,令f(x)=x1—x,由二

次函数性质得/(x)在(2,+-)时单调递增，则/(x)>/(2)=2,可得(—8,2],故选B.

解题技法

应用充分、必要条件求解参数范围的方法

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式

(组)求解；

(2)注意区间端点值的检险.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取

决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

□««««

1.一元二次方程。/+5.1+4=0(a¥0)有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是()

A.(一8,())B.(0,+8)

C.(―8,2)D.(―8,一|)

解析：C由题意，记方程ad+5x+4=()(aWO)的两根分别为川，M，因为一元二次方程ad+5x+4=()

4

x1X2--<0,解得avo,根据选项可得aV2是aVO的必要不充分

(A=25—16。>0,

条件.

2.若关于x的不等式lx—1IV。成立的充分条件是0VxV4,则实数a的取值范围是[3,+8；.

解析：Ix-1I<a=>l-a<x<l+a,因为不等式Il1IV。成立的充分条件是0〈x<4,所以(0,4)&(1-

a,1+。)，所以(I""解得〃23.

(1+a>4,

全称量词与存在量词(定向精析突破)

原造3».

考向1含量词命题的否定及真假判定

1.己知命题p：3xGR,工=-1或%=2,则()

A.p：V/R,xW—1或x#2

B.p：Vx^R,—1且xW2

C.p：VxGR,x=~lfix=2

D.p：mKR,x=-1或x=2

解析：R注意“r=—1或丫=2”的否定是“r#—I口丫#2"，所以命题〃的否定是“DK.x#—I月

xW2”.

2.(2024・新高考〃卷2题)已知命题p：VxER,Ix+1I>1；命题夕：3x>0,k则()

A.〃和q都是真命题B.p和q都是真命题

C.〃和q都是真命题D.〃和乡都是真命题

解析：B法一因为Vx£R,Ix+1I20,所以命题〃为假命题，所以p为真命题.因为x3=x,所以9一x=

0,所以工(/-1)=0,即x(x+l)(x—1)=0,解得x=—1或x=0或x=1,所以mx>0,便得V=x,所以

命题夕为真命题，所以夕为假命题，所以〃和g都是真命题，故选B.

法二(特殊值法)在命题p中，当工=一1时，lx+l|=0,所以命题〃为假命题，〃为真命题.在命题q中，

因为立方根等于本身的实数有一1,0,1,所以mx>0,使得丁=%,所以命题夕为真命题，夕为假命题，所以

〃和夕都是真命题，故选B.

3.〔多选〕下列说法正确的是()

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B."V.Gy£R,x2十尸一。”的否定是Tx,y£R,V十产<0"

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.“A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件

解析：AB对于A,“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称量词命题，A正确：对于B,Vx,

y£R,.~+)，220的否定是mx,x2+/<0,B正确；对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是

“所有的奇数能被3整除“，C错误；对于D,由A=4可得sinA=sin8,又sinm=si喏，A=p8=拳AWB,

故人=8是sinA=$in8的充分不必要条件，D错误.故选A、B.

练后悟通

1.含量词命题真假的判断方法

判定全称量词命题“Vx£M,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x,证明.(x)成立；要判定存

在量词命题p(x)”是真命题，只要在集合M内找到一个x,使〃(x)成立即可.

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写;

(2)否定结论，即对原命题的结论进行否定.

考向2含量词命题的应用

【■2】已知命题使奴—x+ZWO”是假命题，则实数〃的取值范围是(）

A.(一工，0)B.(0,-)

88

C.(；,+8)D.(1,+°0)

8

解析：C因为命题“mx£R,使奴2—x+2W0”是假命题，所以命题“R,ar2—x+2>0”是真命题，当〃

=。时，得《不符合题意：当启。时，得{二;fa<。，解得〃吗

解题技法

由命题的真假求参数的方法

(1)全称量词命题可转化为恒成立问题；

(2)存在量词命题可转化为存在性芮题：

(3)全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.

口跟标训练

已知命题〃；VA-C[|,2],『一0。0,命题q:VACR,JV2I2avI2—4*0,若命题〃和q都是真命题，则实

数。的取值范围是（）

A.（一8,-2]U{1}B.（一8,-1]

C.（一8,1]D,1]

2

22

解析：A当〃：VAG[1,2],x—a20为真命题时，aWx在[I,2]上恒成立，因为x£[l,2],所以/£[1,

4],所以aWl；命题0』+2四+2—aXO的否定q：3R>工2+2公；+2—。=()为真命题时，4=4/

—4(2—a)>0,即a&-2或a-1.因为命题〃和(/都是真命题，所以a=1或aW—2.

课时•履踩椀测»»关雷■力■后■习

A级[暮础达标:

I.下列命题中既是全称量词命题,又是真命题的是()