抽象函数与嵌套函数（题型专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题03抽象函数与嵌套函数

目录

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

i典例引领£1方法透视（0变式演练

|【选填题破译】

题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性

।

i题型02两个混合型函数的抽象函数

题型03抽象函数与导数

I

题型04抽象函数赋值与构造

题型05判断零点个数

I

题型06根据零点个数求参

|第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性

【例1・1】（多选）已知了（"是定义在R上的偶函数，图象关于（1,0）对称，且当xe［0,l］时，/（X）单调递

减，则下列说法正确的有（）

A./(0)=1B.f[x+2)=-f(x)

C.“X）在区间［2,3］上单调递增D./（兀）v/（2025）

【例1・2】（2025高三上•浙江•专题练习）（多选）已知定义域是R的函数/'（X）不恒为0,满足

〃尤+y）=/（x）/（），）—〃心”/伏一），）,且/（一9=/伙）则（）

A./（^）=0B./(0)=1

C.x=2是函数/'（X）的一条对称釉D.〃女)+/(2Z)+〃3k)+…+”20252)=0

方收电视

1.周期性：/(X+4)=/(X)=T=。；j\x4-a)=-f(x)=>T=2。；

f(x+a)=-^—=>T=2a：(”为常数)

/U+。)=/(x+。)=7=卜-母

2.对称性：

对称轴：f(a-x)=f(a+x)^^f(la-x)=/(x)=>/(x)关于x=a对称；

对称中心：f(a-x)+f(g+x)=2bf(2a-x)+/(x)=2b=/(x)关于(〃,b)对称;

3.如果/(x)同时关于x=a对称，又关于0,c)对称，则/(x)的周期丁=|。一母

陵式饿栋

【变式1・1】(2025高三上•湖北黄冈•专题练习)(多选)已知定义域为R的函数/。)在(-1.0]二单调递减,

/(l+x)=/(l-x),且图象关于(2,0)对称,则()

A./(O)=/(-2)B./*)的周期7=2

C./(x)在(2,3)上单调递增D.fix)满足/(2025)>/(2026)>./(2027)

【变式1・2】(多选)已知函数)，=/(x)是定义在R上的偶函数，且满足/(x)+/(x+l)=L若1)=—

则下列说法中正确的是()

A./(0)=|B./(力的周期为2

C./(2O23)=1D./(x)的图象关于仁,；)中心对称

【变式1-3](多选)已知函数〃力的定义域为R,若函数〃2x+l)为奇函数,且〃4-力=〃力,则(：

A./(力对称中心是(；，0)B.函数/(x)的周期为4

2023

c./(3)=oD.若£/(k)=l,则〃0)=-1

hl

题型02两个混合型函数的抽象函数

典例引颔

【例2・1](25-26高三上•江苏南京•期中)(多选)已知定义在R上的偶函数〃工)和奇函数g(x)满足

〃l+x)+g(r)=l,则下列说法正确的是()

A./(1)=1

B.g(x)的图象关于x=-l对称

C.g(x)是以2为周期的周期函数

2025

D.£”24+1)=2025

I

【例2・2】(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足」(x+2)+〃力=0,且)，=/(2-另为偶函数，则下

列说法一定正确的是()

A.函数〃力为偶函数B,函数/(%)的图象关于(1。对称

C./(1)=0D.函数/(X)的图象关于x=l对称

方收透规

求抽象函数在特定点的函数值，最值以及解析式，或判断函数的单调性，奇偶性及周期性，往往在条件等

式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需耍的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用。

【变式2・1】(多选)己知函数/⑶与g。)的定义域均为R,且/*+l)+g(x-2)=3J(x-l)-g(T)=l,

若g(2x-l)为偶函数,则()

A.函数g。)的图象关于直线上=-g对称B.g(0)=1

2027

C.函数的图象关于点(L2)对•称D.E>(A)=2027

hl

【变式2-2](多选)已知函数〃力送(工)的定义域均为Rg(K+1)+/(1T)=1,/(x+l)-g(x+2)=l,

且y=〃x)的图像关于直线x=1对称，则以下说法正确的是()

A./")和屋”均为奇函数B.VxeR,/(.x)=/(x+4)

C.VxwR,g(x)=g(x+2)D.8(-1)=°

【变式2・3】(多选)己知函数八外,g*)的定义域均为R./。+1)+/(x-1)=g(x+2)是偶函数,

/(.v)+g(x+2)=2,g(3)=l,则()

A./(1)=!B./J)是奇函数

C.f(x)=f(x+6)D.x=3是/*)的对称轴

题型03抽象函数与导数

【例3，】(多选)已知函数“X)及其导函数r(x)的定义域均为R,记g(x)=rw，若/⑴是奇函数,

且f(K+l)=/(l-X)+X，则()

A./(x+4)=/(x)B."10)=5

100

c.g(x)=g(-x)D.》的=50

A=l

【例3・2】(多选)设定义在R上的可导函数/(力和g("的导函数分别为r(“和短(x)，满足

g(x)—/(l-戈)=l,/'(x)=g'(x+3),且g(x+l)为奇函数，则下列说法正确的是()

A./(0)=0B.g(x)的图象关于直线x=2对称

2025

c./(X)的一个周期是4D.£g(k)=o

方收遗规

1、奇函数求导变成偶函数

2、偶函数求导变成奇函数

变式假住

【变式3・1](多选)定义在R上的函数的X)与g(x)的导函数分别为广⑺和g'(x),若g(x)-/(3r)=2,

门x)=g'(x-l),且g(-x+2)=-g(x+2),则下列说法中一定正确的是()

A.g(x+2)为偶函数B./'(x+2)为奇函数

2024

C.函数/'(X)是周期函数D.ZgW=°

hl

【变式3・2】(多选)设定义在R上的函数的函与g(x)的导函数分别为广⑶和g'(x),若g(劝一/(3-x)=2,

广(幻=/@-1),且以x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.函数g(x)的图象关于x=l对称B./*)的周期为4

2023

C.伏)=0D.〃2)+/(4)=4

hl

【变式3・3](多选)己知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g'(x)=l,

f

f(x)-g(4-x)=3t若g(x)为奇函数,则()

A./(2)=2B.g[0)+gl4)=_2C.f(-\)=f(-3)D.g'(-4)=g14)

题型04抽象函数赋值与构造

这例引颔

【例4・1](25-26高三上•云南昆明•期中)若函数/6)的定义域为R,且/(x+y)+f(x-y)=f(“(y),

2026

/0)=1，则Z/(Q=()

hl

A.-3B.-2C.0D.1

[^14-2](多选)定义在R上的函数/(x)满足/3)=W(x)+4(y),则()

A./(0)=0B./(-1)=0

C./(x)为偶函数D.7")可能在(1,位)上单调递增

方法密视

一般采用赋值法，01，x,•是常见的赋值手段

【变式4-1］（25-26高三上福建厦门•期中）（多选）已知定义在R二的函数〃"满足〃x）=/（x-），）•/（），）,

当了＞0时，/（A）＞I,/⑴=3,则（）

A./⑶=27B."力为奇函数

C./（另在R上单调递增D.当x>l时，/(2x)>2/(x)+3

【变式4・2】（多选）己知定义在（YO,0）J（0,—）上的函数/。）满足学工，当xvO时,

/(x)<0,且/(1)=2,则()

A./（2）=1

B./（x）为偶函数

C.“X）在（0,y）上单调递减

D.任意存在再e。，使得/（X）+/（W）=X+W

【变式4・3](多选)函数/(0满足f(T)+〃x)=2A/(l+x)-/(l-x)=8x,xeR,则()

A.*2)=4B./⑶+"1)=18

C.y=f(x)-f为奇函数D./(X+2)+/(A)>0

题型05判断零点个数

【例5・1］（25-26高三上•海南海口•期中）设函数〃耳=三1±士1,则方程「⑴-呵⑴-5/=0的实数根

的个数可能为()

A.2B.3C.4D.5

【例5-2]若函数y=f(x)对x0R满足f(x+2)=f(x)，且x(3[-l，1]时，f(x)=1-x2,g(x)=

[l,x=O,

则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间x团卜5,11]内零点的个数为()

A.8B.10C.12D.14

方做电视

复合函数形式:y=f［g⑹,令：f=g(x),则y=/(g(x))转化为y=f(U，=g(x)其中何作中间变量.

g(x)叫作内层函数，＞=叫作外层函数.

支式信栋

【变式5・1】(25-26高三上•江苏淮安•月考)若定义在R上的函数/(%)满足/(x+2)=f(x),且当

2

口寸，f(x)=\-xt已知函数8。)='阴2，则函数心)=/(U)在区间b5,5］内的零点个数为(〉

A.14B.13C.12D.11

【变式5・2】已知函数"6=3，则函数尸(x)=/V(x)]—3"x)V的零点个数是()

|log3(x-l)|,x>l

A.6B.5C.4D.3

f(x\x<0

【变式5-3］已知函数.="函数)弓fM的图像关于直线工对称,令/?(x)=<,则方

g(xy=|g(x心>0

程e2/?(x)=x+e2解的个数为()

A.2B.3C.4D.5

题型06根据零点个数求参

共钠引名

【例6」】(2526高三上・湖南衡阳・月考〉已知函数/⑴-J；)若有另一函数

冢X)=f“)_2/(%)+1-24有且仅有3个不同零点，则常数4的取值范围为()

52°、225

A.B.C.D.

<2'75a<3'42,7

(x+2)",x<0

【例6-21(25-26高三上•上海・期中)已知函数/(幻=若/(x)=。有四个不同的解知勺，当，M，

|iog2x|,x>0

且百<工3〈七，则七（阳+*2）+一^7的最小值为

X3X4

方收遗规

对于嵌套型复合函数y=/lg（x）l的零点个数问题，求解思路如下:

（D确定内层函数〃=g（x）和外层函数y=/（〃）；

⑵确定外层函数/（〃）的零点〃=〃,•（，=1,2,3,....??）；

(3)确定直线〃=11,(1=1,2,3,〃）与内层函数〃=g（x）图象的交点个数分别为，4,〃2,4.......，q

则函数y=f［gM］的零点个数为q+/+%.......+a”.

‘支式信称

x24-2x4-1,x<0

【变式6-1］已知函数/"）二•X；0若函数g（"=/（'）-m小）+1恰有3个零点，则。的取值范

Inx,

围为（）

2,e+i1

A.e+-,+coB.C.e+-,+<»D.2,e+-

e

2x..

-7,x>0

e

【变式6-2］函数/（%）=•,若2/2（力-3/（耳+1=0恰有6个不同实数解，则正实数

sins+—,-n<x<0

I6)

。的范围为（)

10,10.

A.吟B.吟C.5’4D.了4

-x2-4A+1,A<0

【变式6・3】（25-26高三上•四川成都•期中）（多选）已知函数/（”=则下列说法正确

|log2x-l|,x>0，

的有（)

A.=3

/（"=：有3个实数根

B.

C.若/2（司-4（力+2〃+1=0有8个实数根，则

,961

D.若/（"=/有4个实数根，从小到大分别为巧,“2，占，v4，则Itl玉+毛+/+aet—

16

一02

一、单选题

1.已知4>0,设/(*)=2裳♦+:：*，(xe[-0。])最大值为M,最小值为N,那么A/+N=()

A.2017B.2019C.4036D.4038

e¥+l,x<0

2.已知函数/3)=•厂'-,若y=/(x)-a(〃£R)有三个零点A，/，M，且$<七</，则

x/2sinr,0<x<n

%+2占+38最大值为()

1171,cIEi》13TC137r.

AA.V'D.-----<1C.——1D.——41

444

_2t+2(<0

3.已知函数/(x)=rjg]x；o一，若函数X(x)=r(x)-4(力+6有8个不同的零点，则实数〃的

取值范围是()

A.(276,5]B,(2瓜5)C.(4,5]D.(4,5)

4.已知函数=八，则方程/(/(x)—2)=2实数根的个数为()

1+2x+2,“40

A.6B.7C.10D.11

5.已知函数=/X<\若仅存在一个整数从使得方程/(工)=6有4个不同的实根，则

x~-2nvc+4rnx>2

实数机的取值范围是()

A.(2,3]B.(2,3)C.(-2,2)D.(1,3)

6.已知定义在R上的函数/")恒大于0,对Vx,yeR,都有/(»2)，)="3./2(),),且/(1)=1,则

下列说法错误的是()

A./(。)=《B./W/(-x)=/2(O)

C.是奇数D./(X)有最小值

7.已知函数/(x),g(x)定义域均为R,g(x)的图象关于点00)对称,且满足/(l+x)+g(r)=4,

/(尤—3)+g(x)=4,则下列说法错误的是()

A.函数/(X)的图象关于x=-l对称B.函数g(x)的图象关于x=2对称

C.y=g(XT)是奇函数D.g(-l)+g(O)+g⑴+g(2)=l

二、多选题

8.已知定义在R上的函数/")满足/(x+A=/(x)+/