云南省建水县四校2026届高一下数学期末综合测试试题含解析

云南省建水县四校2026届高一下数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是第三象限的角，若，则A． B． C． D．2．已知分别为的三边长，且，则=（）A． B． C． D．33．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A． B．2 C． D．5．已知，则().A． B． C． D．6．已知直线经过两点，则的斜率为（）A． B． C． D．7．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．若,则（）A． B． C． D．9．设均为正数，且，，．则（）A． B． C． D．10．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为等差数列，若，则_____．12．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________13．在等比数列中，，的值为______.14．终边在轴上的角的集合是_____________________．15．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．16．△ABC中，，，则=_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．轿车轿车轿车舒适型100150标准型300450600（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，

记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．18．（1）己知直线，求与直线l平行且到直线l距离为2的直线方程；（2）若关于x的不等式的解集是的子集，求实数a的取值范围.19．如图所示，在直三棱柱中，，，M、N分别为、的中点．求证：平面；求证：平面．20．设角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.21．已知关于的一元二次函数，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数.（1）若，，求函数有零点的概率；（2）若，求函数在区间上是增函数的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.【详解】因为是第三象限的角，所以，因为，所以解得：，故选D.【点睛】本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.2、B【解析】

由已知直接利用正弦定理求解．【详解】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，由正弦定理得．故选B．【点睛】本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，属于基础题．3、A【解析】

取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．4、D【解析】

利用三角形面积公式列出关系式，把，已知面积代入求出的长，再利用余弦定理即可求出的长．【详解】∵在中，，且的面积为，

∴，

解得：，

由余弦定理得：，

则．

故选D．【点睛】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5、C【解析】

分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.【详解】因为，所以，于是有，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.6、A【解析】

直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案。【详解】故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题。7、B【解析】

可采用建立空间直角坐标系的方法来求两条异面直线所成的夹角，【详解】如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，，，由几何关系可求得，，，，为中点，,，，答案选B.【点睛】解决异面直线问题常用两种基本方法：异面直线转化成共面直线、空间向量建系法8、A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．9、A【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．10、B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。12、【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．13、【解析】

由等比中项，结合得，化简即可.【详解】由等比中项得，得，设等比数列的公比为，化简.故答案为：4【点睛】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.14、【解析】

由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合是，所以，故答案为.15、【解析】

先求出，再化简得即得的取值范围.【详解】由题得OM=,由题得由题得..所以的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此考点：正余弦定理三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）400；（2）；（3）【解析】

（1）由分层抽样按比例可得；（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．【详解】（1）由题意，解得；（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．（3）由题意，满足的有共6个，函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，∴所求概率为．【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．18、（1）或；（2）【解析】

（1）根据两直线平行，设所求直线为，利用两平行线间的距离公式，求出的值，从而得到答案；（2）解一元二次不等式，然后按，，进行分类讨论，得到答案.【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，所以两平行线间的距离为，解得或，所以所求直线方程为或.（2）解关于x的不等式，可化为，①当时候，解集为，要使是的子集，所以，所以得到，②当时，解集为，满足解集是的子集，符合题意，③当时，解集为，此时解集不是的子集，不符合题意.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查根据平行求直线方程，根据平行线间的距离求参数，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.19、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

(1)推导出，从而平面，进而，再由，，得是正方形，由此能证明平面．取的中点F，连BF、推导出四边形BMNF是平行四边形，从而，由此能证明平面．【详解】证明：在直三棱柱中，侧面底面ABC，且侧面底面，，即，平面，平面，，，是正方形，，平面取的中点F，连BF、在中，N、F是中点，，，又，，，，故四边形BMNF是平行四边形，，而面，平面，平面【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）由，可得出，进而得出，结合可求出角的值，可求出的值，再利用反余弦的定义即可求出角的值；（2）由题意可得出，，可计算出，根据反三角的定义得出，，利用两角和的正弦公式求出的值，即可得出角的值.【详解】（1），，，，则，可得，所以，可得.因此，；（2），则，所以，，由（1）知，所以，，，，，，由同角三角函数的基本关系可得，，由两角和的正弦公式可得，因此，.【点睛】本题考查反三角函数的定义，同时也考查了利用两角和的正弦公式的应用，在求角时，不要忽略了求角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.21、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情况，求出满足的情况总数，即可得到概率；（2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足表示的区域的面积，即可得到概率.【详解】（1）由题可得，，从集合中随机