甘肃省某中学2025-2026学年高一年级上册期末考试数学试题（解析版）

西北师大附中

2025-2026学年第一学期期末考试试题

高一数学

一、单选题：本题共8小题，■每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合6={2,3,4},则/U8=（）

A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{1,3,4；D,{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案.

【详解】因为/={1,2,3},8={2,3,4},所以4U8={1,2,3,4}.

故选：D

1

2.函数/（幻二，1一2、的定义域是

yJx+3

A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-co-3)U(-3,0]D.(――3)UT1]

【答案】A

【解析】

1-2*>0

【详解】由题意得{

x+3>0

所以一3<xW0.

故选A.

71

3.为了得到函数丁二$沿2x+—的图象，需要把函数》二sin2x的图象（）

\/

71

A.向左平移三个单位长度B.向右平移2个单位长度

3

TT7F

C.向左平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度

6

【答案】C

第1页/共17页

【解析】

【分析】直接利用函数y=/sin（ar+°）的图象变换规律，可得结论.

n7T

【详解】•.•函数y=2sin（2x+；）=2sin2（x+w），根据图像左加右减的变换原则，

36

yr

只需把函数y=2sin2x的图象向左平移一个单位长度，

6

即可得到函数歹二sin（2x+?）的图象，

故选：C.

4.下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝ijac2>be2B.若a>h,则a2>b~

C.若a>b>0,〃7>0,则一+加<—D.若一1<。<5,2<〃<3,则一4<。一Z?<3

a+ina

【答案】D

【解析】

【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项

结论.

【详解】对于A,若a>b,当C=0时，则4c2=历2,故A错误；

对于B,若。=-2,〃二一3,满足。>〃，但故B错误；

h+mbfn（a—b]b+nib

对于C,因Q〉力>0,/w>0,由---------=———;>0,可得------>-,故C错误；

a+maaya+m）〃+a

对于D,由2<力<3,得一3<一》<一2,因一则一4<。一力<3,故D正确.

故选：D.

5.函数尸州sin2x的图象可能是

第2页/共17页

【答案】D

【解析】

71

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(],兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(x)=2忖sin2x,

因为x£RJ(-x)=2Tsin2(-x)=一2®sin2x=-/(x),所以f(x)=2忖sin2x为奇函数，排除选项A,B;

因为x呜,冗)时，/(x)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，

由函数的值域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶

性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

—X?——2.CIX—Qx<0

6.己知函数,、'八在R上单调递增，则。的取值范围是()

e+ln(x+l),x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(x)在R上单调递增，且xNO时，/(x)=e、+ln(x+1)单调递增，

--^—>0

则需满足,2x(-1),解得一iwawo,

<e°+In1

即。的范围是[-1,0].

故选：B.

第3页/共17页

7.已知Q=log23/=log35,c=(g'，则。，〃，c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

3

【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“二”分析判断.

2

333

【详解】因为”=2夜<3<4,可知：logpvk^vlog，即5<“<2：

333

3<5<36=3>可知：唾33<噢35<唾330UP1</?<T;

1>0,可知：()<(；了<(；)°=1，即0<,<1；

综上所述：c<b<a.

故选：A.

8.若定义在〃的奇函数人外在(，孙0)单调递减，且｛2)=0,则满足MXx-1)20的x的取值范围是()

A.[―l,l]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

c.[TO]"1,+8)D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等

于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数/、*)在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以/(x)在(0.+8)上也是单调避减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当2)5。,2)时，f(x)>0,当XE(-2,0)U(2,+8)时，/(x)<0,

所以由M(xT)20可得：

x<0fx>0

-nV或t=0

-2<x-l<0^[0<x-l<2^'

解得一或l«x«3,

第4页/共17页

所以满足犷'（X—1）之0的X的取值范围是[—1,0]U[1,3],

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知。>0,力>0,且。+6=1,则（）

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log?a+log2b^-2D.\[a+\[b<\[2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据Q+〃=l,结合基本不等式及二次函数知识讲行求解.

【详解】对于A,a2+h2

当且仅当。=6=1时，等号成立，故A正确;

2

对干B,a-h=2a-\>-\,所以2"-">2汽=’,故B正确;

2

a+6、1

对干C,log?a+log2b=log2ab<log

4

当且仅当。二力二!时，等号成立，故c不正确；

2

2

对于D,因为（6+四）=1+2xfab<1+«+=2»

所以&+&£6，当且仅当。=b=g时，等号成立，故D正确:

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学

运算的核心素养.

10.函数/（x）=sin（Gx+e）㈤>0,|同<3的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

I乙）

第5页/共17页

A.函数/(x)的一个对称中心为|0)

1\jr

B.直线x=--^-是函数/(x)图象的一条对称轴

1乙!

C.若|/($)-/(工2)|=2,则"一用|的最小值为，

D.方程/(x)=4在区间(0,，)上只有一个根时，实数。的取值范围为(—¥，*)U{1}

【答案】BC

【解析】

【分析】先根据函数图象求出函数解析式,然后逐个分析判断即可

【详解】由函数图象可得;=占一~=£,所以T二乃，

41216)4

所以女=“，得。=2,

co

所以/(x)=sin(2x+。),

因为点在函数图象上，

所以sin2xh(p—1,得—»(p=—F2R肛4EZ,

\12762

7T

所以0=3"+2k兀,keZ,

因为1同＜］，所以0=0，

所以/(x)=sin卜x+g,

第6页/共17页

对于A,因为/任.(_7t7T力不是函数/(》)的对称中心，所以A错误,

=sin2x—十一=—^0,所以

16I632

1\TI1\7T713万=1,所以直线工二一片是函数/(x)图象的

对干B,因为/=sin-2x-------1-----=sin

~V2123)T

一条对称轴，所以B正确,

rjp一

对于C,因为|/(xJ-/(x2)|=2=/(X)IM-/*)mm，所以卜7||的最小值为5='，所以C正确,

对于D,当工£。，不］时，2x+—e丁)，因为方程/(x)=。在区间0,不)上只有一个根，所以由

I，//

V3行

图可知。=1或一,即实数。的取值范围为--------，------U{1},所以D错误,

2222

11.函数y=/(A-)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,该结论可以

推广为：函数),=/(x)的图象关于点尸(。,力)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+〃)-b为奇函

2

数.已知函数g(x)=5q-(w>0).()

A.若m=l,则函数y=g(x)-l为奇函数

B若加=1,则g(—10)+g(-9)+…+g(9)+g(10)=20

C.函数g(x)的图象必有对称中心

2

D.^xeR,g[log2(2m)+x]4-g[log2(2/w)-x]<—

m

第7页/共17页

【答案】ACD

【解析】

【分析】中心对称函数的性质，利用函数》=/（》）的图象关于点夕（。/）成中心对称图形的充要条件是函

数p=/（x+。）-。为奇函数.对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C,直接利用定义判断,

求出对称中心点.选项D,不等式恒成立问题，根据g（x）的函数性质证明即可.

【详解】对于选项A,记==

l-2~x_2V-1

因为〃(r)==-/?"）,所以"X）为奇函数，故选项A正确;

1+2-7=2A+1

对于选项B,由选项A可知/Z(T)+〃(X)=O,从而g(-x)+g(x)=2,

所以g(-10)+g(-9)+…+g(9)+g(10)=2xl0+g(0)=21,故选项B错误;

对于选项C,记p(x)=g(x+o)-b.若p(x)为奇函数，则WxwR,

p(-x)+p(x)=O,即g(-x+d)+g(x+4)=26,

r+a

所以一-一+--一=2b,即2rM+2+2加=Z?(+加)(2-"+m)

2-x+a+m2""+〃？'八)

上式化简得VXG/?,2"(1一bm)(2r+2r)+2m-bm2-b4a=0.

a=log,m

2gM=°,解得，

则必有《

2m-bm~一64"=0b=—

m

因此当〃?>0时，g(x)的图象必关于点(log?"?，，卜寸称，故选项C正确；

2

对干选项D,由选项C可知,g(log/n+x)+g(log?M-x)=—.

22tn

当小〉0时，g(x)是减函数，Iog2(2〃7)=l+log2〃7〉log2〃7，所以

g[噫(2m)+x]+g[log2(2m)-xJ<g(log2/n+x)+g(log2m-x)=—,

故选项D正确.

故选：ACD.

第8页/共17页

三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算：7i°+e,n2-lg25-21g2=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据指数运算和对数运算的运算性质，直接求出结果.

［详解］7：°+e,n2-lg25-21g2=l+2-21g5-21g2=3-2(lg5+lg2)=3-2=1.

故答案为：1.

13.若0,£，—1—十—L2〃/+1恒成立"为真命题，则实数，〃的取值范围是_________

12Jsm~acos~a

【答案】［-20,20］

【解析】

【分析】转化为最值问题，利用T”的代换求最值求解.

(兀、1414(兀、

【详解】因为WOE0>~~---2-之"r+1,令/(a)=r"^—h—\,6^G0,—,

I2Jsin-acosasm~acosa\L)

则/+lw[/(a)L，

222

4_sin2a+cos2a4(sin«+cos«)cos2a4sincr

=

cos2asin2a+

>5+2>/4=9>

当且仅当W£=4s】7a,即tana=也时取等号,

sin-acos"。2

所以〃J+iw9，解得一2及4〃742VL

即实数〃?的取值范围是［-27伤,2人］.

故答案为：［一2应,20］.

(乃宴、

14.已知函数/(x)=3sin(@x+0)(其中。>0,一4乃)，若函数/。)在区间一；,=上有最小

\36)

值而无最大值，且满足一/19］，则实数9的取值范围是.

第9页/共17页

_..,_5冗7Z

【答案】----<(p<—

66

【解析】

【分析】根据/（一?）=-/'《|得到人从而求出环再根据x的范围得到21+济（一年+若+。）

因为函数/*）在区间上有最小值而无最大值，所以可得玉=-2£+°与々=生的范围，从

\36；33

而得到。的取值范围，得到答案.

（7T7l\（7T7r\

【详解】XG时，函数/（外在区间一丁,z上有最小值而无最大值，

k36；k36J

且满足

\3)\o7

兀7171

故

26132,

...24,

此时co-=2,

所以/(x)=3sin(2x+0),

兀兀

因E为“X£

\36,

1.7171

所以2x+ew—+(Py-+(P，

D3/

7124冗4万

而由一万＜0〈乃，可知一——＜———%①〈公，—<--\-(p<——

33333

因为函数/（M）在区间一£,£上有最小值而无最大值,

\36J

由二角函数图像可知X]=--楙+"与丫2=。+0

应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间,

3乃＜2万71

十0＜一彳

23

所以

7171,兀

——<—+(p<-

232

.57r7C

解得——<^<—.

66

第10页/共17页

.....,,,5/r

故答案为：——<（p<—.

66

【点睛】本题考查根据正弦型函数的性质求解析式，根据正弦型函数的最值求参数的范围，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合4={x|_24xTW5},非空集合8={X|〃I+14XW2〃L1}（〃Z£R）.

（1）若403=0,求〃?的取值范围；

（2）设命题YG力：命题〃：XG",若命题〃是命题4的必要不充分条件，求/〃的取值范围.

【答案】（1）{m\m>5}；

7

（2）fn2<m<—>.

2.

【解析】

【分析】（1）根据交集结果且4=0,列不等式求参数范围；

（2）由题设集合8是集合力的真子集，结合8工0,求参数范围.

【小问1详解】

由题意，知力={x|-2Wx-lW5}={x|-1WxW6},

乂,4门8=0,且6工0,

〃?+1W2m-1fzw+1<2ni-1

所以11X或,］，解得机>5,

〃？+1>62nt-\<-1

故阳的取值范围为{tn|m>5}.

【小问2详解】

•••命题P是命题q的必要不充分条件，

集合〃是集合力的真子集，且B,0,

w+1<2m-1

7

+（等号不能同时成立），解得2«〃7W一，

、2

2/w-1<6

7、

综上，胆的取值范围为{wZWwW7'.

I.2）

/X_sin（兀一夕）cos（2兀一8）

16.已知卜.乙消一/—T.

sinl^-―ICOS（TC+^）

第11页/共17页

（1）化简/（。），并求/的值;

（2）若/（6）=3,求2sii?4一3sin>cose的值.

【答案】⑴/（6>）=tan^,=

9

⑵—

10

【解析】

sin（兀叫cos（2兀叫

【分析】（1）利用三角函数诱导公式将/⑼一一。--网兀+。）化简'将7代入求值即可;

（2）利用I=sin2®+cos2,将2Sin2e—3sin6cose变形为2sm“-3s-"cosj继而变形为

sin。十cos'®

2tan2^-3tan^^、+狂nn-r

------；--------,代入求值即可.

tan26>+l

【小问1详解】

/⑼_sin（7i_，）cos（2兀一夕）

sin（。一,）cos（7T+g）

sin8cos（-。）

一sin（■一，卜一cos夕）

sin。cos。

一cos。（一cos0）

=tan0

JSn]（8兀、

则nlq§J=tan

27171

=tan—=-tan-

33

【小问2详解】

第12页/共17页

|+1(1)知，tan。=3.

贝2sin2。-3sin6cos6

2sin2。-3sin，cos0

sin2e+cos20

2sin2e-3sin8cos<9

________cos?0

sin20+cos20

cos20

2tan2。-3tan。

tan29+1

2X32-3X3

=~F+l-

9

io

17.为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供x（万元）的专项补贴.该企业在收到政府工£（0,20]

（万元）补贴后，产量将增加到;x（万件）.同时该企业生产gx（万件）产品需要投入成本/'（'）（万元）

x2-14x+70,0<x<10,z、

关干政府补贴X（万元）满足函数：/（x）=4225105现以每件此+6元的价格将

5x+---------,IO<x<20.\x）

x2

其生产的产品全部蚀出.（注：收益=销任金额+政府专项补贴-成本）

（1）求该企业收到补贴后生产所获收益〃（》）（万元）关于政府补贴x（万元）的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？

—x2+18x-65,0<x<10,

【答案】（1）〃（x）=115(225)

-----x+--,---10<x<20.

21一

（2）15

【解析】

【分析】（I）根据实际意义表示出收益〃口）即可；

（2）利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数各段的最大谊，然后可解.

【小问1详解】

第13页/共17页

/、—x~十18x—65,0<x<10,

（10A1

由题意，力（t）=—+6x-x+x-/（x）=b15（225、八八

Vx72----x+----,1A0<x<20.

21x,

【小问2详解】

2

由（1）知，当0cx<10时，/7（X）=-（X-9）+16,

则当x=9万元时，6（x）最大，其最大值为16万元：

当明.2。时，+理上当-3。芸，

'，2（x）22

22555

当且仅当x二----，即：》=15万元时，6（x）最大，其最大值为一万元.

x2

所以当x=15（万元）时，该企业收益最大，为£万元.

2

18.已知奇函数=■的定义域为［一。一2,切.

（1）求实数。力的值；

（2）判断函数/（X）的单调性，并用定义证明；

（3）当xc［L2］时，2+〃?/'。）+2、>0恒成立，求〃7的取值范围.

【答案】（1）。=1,b=3

（2）函数/（人）在［-3,3］上单调递增，证明见解析

（3）（-2x/6-5,+oo）

【解析】

【分析】（1）根据/（-%）=一/卜）求得。，再根据定义域关于原点对称求解力；

（2）利用定义法证明函数的单调性；

（3）令2'—1=，/e［l,3］,转化为一〃?<z+，+5在上恒成立，利用基本不等式求出Z+^+5

的最小值，即可得解.

【小问1详解】

•••/（司=唉，为定义域为［一”2,目的奇函数，

第14页/共17页

八2一1ax2x-\

***f(~x)-~f(x)»即

2-x+\2X+1

a-2r_-ax2'+1

整理得("l)(2'+l)=0,.•."1=0,解得。=1,

2、+l-2'+l

故一。-2二-3,

•••函数的定义域为［一。一2,可，则-a-2+b=0,解得6=3,

所以。=1,6=3；

【小问2详解】

2'-1

由(1)可知/(x)=xG［-3,3］,则函数f(x)在［-3,3］上单调递增.

2V+1

证明如下:任取石,》2W|-3,3］,且王<马，

\，/\2』—12^-12(2』_2七)

则山)一/⑸:FTTFTT(27)(27)'

­.-3<^<^2<3,二.2』一2勺<0,又2"+1>0,2*+1〉0,.../(xJ-/(%)<0,

/(xj</(9),••・/(X)在［一3,3］上单调递增;

【小问3详解】

2V-1>0，由2+W(x)+2*>0可得_,<(2+2)(2+1),

当<七［1,2］时，/(X)=

2V+12V-1

2A+2)(2X+1)

即当xe［1,2］时，-w<,令"2、一1"€口,3］,

2'-1

min

mu(，+3)(z+2)z“+5z+66.

则一切<----------=----------=，+—+5,

又z+9+5N2jfx£+5=26+5,当且仅当z二加时等号成立，所以—〃?<2#+5,

则加>一2"一5，

实数，〃的取值范围(-276-5,+8).

19.若函数/(x)在定义域内存在实数“满足/(T)二一歹(x),kwZ,则称函数/(x)为定义域上的“女

阶局部奇函数”.

第15页/共17页

(1)若函数/(xTtanx-Zsinx,判断/(x)是否为(0,4)上的“一阶局部奇函数”并说明理由；

(2)若函数/'(')=怆(〃7-力是［-2,2］上的“一阶局部奇函数”，求实数小的取值范围；

(3)已知函数/‘(X)的定义域为O,若恰好存在〃个不同的实数x「％，…，x”w。，使得

/(一七)=一姓(王)(其中，=1,2,…,〃则称函数/(工)为“〃级攵阶局部奇函数”，若函数

/")=4'一(帆+2)・2、+筝是定义在R上的“4