高中数学北师大版必修三课堂讲义：算法的基本思想

§1算法的基本思想

学习目标1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想(重点).2.了解

算法的含义和特征(重点).3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法(重、难点).

预习教材P75—83完成下列问题:

知识点1算法的含义及特征

1.算法的概念

在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作的或可计算的步骤,通过实施这些

步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.

2.算法的特征

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限的操作之后停止，不能

是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到逾定的结

果，而不应当模棱两大.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤

只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进

行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

⑷不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有丕

国的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器

计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

3.算法与计算机

计算机解决任何问题都要依赖于篁法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确

的步骤，即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能

够解决问题.

【预习评价】下列关于算法的说法(正确的打错误的打X)

(1)求解某一类问题的算法是唯一的()

(2)算法必须在有限步操作之后停止()

(3)算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊()

(4)算法执行后一定产生确定的结果()

提示由于算法具有有限性、确定性等特点，因而(2)(3)(4)正确，而解决某类问

题的算法不一定唯一，从而(1)错.

答案(1)X(2)V⑶，(4)7

知识点2算法的设计

1.设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计

算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语

言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

2.设计算法的要求

(1)写出的算法必须能解决一类问题.

(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.

(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

【预习评价】

写出一个算法，求任意给出的凡b,3d这4个数的平均数.

提示第一步，输入“，b,c,d这4个数的值.

第二步，计算S=〃+b+c+d.

笫三步，计算

第四步，输出V的值.

题型一算法的概念

[例1]下列说法中是算法的有(填序号).

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1:

③求以A(l,1),B(—l,-2)两点为端点的线段48的中垂线方程，可先求出A8

中点坐标，再求心〃及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段A8的中垂线

方程；

④求1X2X3X4的值，先计算1X2=2,再计算2X3=6,6X4=24,得最终结

果为24；

蜷>2x+4.

解析①说明了从上海到拉萨的行程安排.

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.

③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.

④给出了求1X2X3X4的值的过程并得出结果.

故①@③④都是算法.

答案①②③④

规律方法算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或某一

类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.

【训练1】算法的有穷性是指()

A.算法必须包含输出

B.算法中的每个步骤都是可执行的

C.算法的步骤必须有限且在执行有限步操作后结束

D.以上说法都不正确

解析算法的有穷性是指算法应包括有限的操作步骤，并在有限步内结束.不能

步骤无穷，执行时也不能不结束执行步骤.故选C.

答案C

题型二算法的设计

【例2】所谓正整数〃为素数是指：〃的所有线数只有1和〃.例如，35不是素

数，因为35的约数除了1和35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就

只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数〃(〃>1)是否为素数的算法.

解算法如下：

第一步，给出任意一个正整数〃

第二步，若〃=2,则输出“2是素数”，判断结束.

笫三步，令〃7=1.

第四步，将〃2的值增加1,仍用机表示.

第五步，如果机2〃，则输出“〃是素数”，判断结束.

第六步，判断〃，能否整除〃，

①如果能整除，则输出“〃不是素数”，判断结只；

②如果不能整除，则转第四步.

规律方法设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步躲；

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.

【训练2]判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

解第一步，给定大于2的整数几

第二步，令i=2.

第三步，用i除〃，得到余数厂

第四步，判断。=()”是否成立.若是，则〃不是质数，结束算法；否则，将i

的值增加1,仍用i表示.

第五步，判断是否成立.若是，则〃是质数，结束算法：否则，返回第

三步.

互动

题型三算法的应用

探究

【探究1】一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无

祛码)将假银元找出来吗？

解方法一算法如下.

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚

就是假银元，若天平平衡，则进行第二步.

第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称

量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.

方法二算法如下.

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.

第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平天平衡，则假银元就在轻的那一

组；否则假银元在未称量的那一组.

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚眼元放在天平左、右两边称量，

若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平立衡，则未称量的那一枚是假银

元.

【探究2】在银行的自动柜员机上取款，要经过插卡、输入密码、操作、取钱、

拔卡一系列的过程，请设计一个算法完成这件事.

解第一步，将银行卡插入自动柜员机.

第二步，输入银行卡的密码.

第三步，选择“取款”，并输入所取钱数.

第四步，从出款口取钱.

第五步，取出银行卡.

【探究3】“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略

超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋.据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘

密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1〜

3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1〜5报数，结果最后一个士兵报

3：③乂令士兵从1〜7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队

里士兵的总数.请设计一个算法，求出士兵至少有多少人.

解第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2；

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20,…

第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.

第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到8,23,38,

53,….

第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.

规律方法对于查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，

首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法.

课堂达标

1.下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是（）

A.在家里一般是妈妈做饭

B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

C.在野外做饭叫野炊

D.做饭必须要有米

解析算法是做一件事情或解决一个问题的程序或步骤，故选B.

答案B

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()

A.这个算法可以求所有的冬点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求所有零点的近似解

D.这个算法可以求变号零点近似解

解析二分法的理论依据是函数的零点存在定理.它解决的是求变号零点的问

题，并不能求所有零点的近似值.

答案D

3.已知直角三角形两直角边长为mb,求斜边长。的一个算法分下列三步：

①计算。=1届+4；

②输入直角三角形两直角边长b的值：

③输出斜边长c的值.

其中正确的顺序是.

解析算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步

骤是赋值、计算.

答案②①③

4.下面是解决一个问题的算法：

第一步：输入x.

第二步：若x24,转到第三步；否则转到第四步.

第三步：输出入一1.

第四步：输出f—2i+3.

当输入x的值为时，输出的数值最小值为.

2A—1(x24),

解析所给算法解决的问题是求分段函数/氏)=L今的函数值

.k—2x十3(x<4)

问题，当x24时，yU)=2¥—122X4—l=7；

当/V4时，火1)=/一〃+3=(_¥—1)2+222,所以«X)min=2,此时x=l.即输入

上的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

答案12

5.写出解方程『一2(—3=0的两种以上的算法.

解方法一第一步：将方程左边因式分解，得(x—3)(x+1)=0；①

第二步：由①得工一3=0,②

或x+l=0；③

第三步：解②得x=3,解③得上=-1.

方法二第一步：移项，得/一左=3;①

第二步：①两边同加1并配方，得(工一1)2=4;②

第三步：②式两边开方，得式一1=±2;③

第四步：解③得x=3或工=一1.

方法三第一步：计算方程的判别式判断其符号

21=22+4X3=I6>0:

第二步：将4=1,/?=—2,c=—3,代入求根公式

—b±\]b2-4ac2

x=2a，传xi=3,X2=-1.

课堂小结

1.算法的特点：有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.

2.算法设计的要求：

(1)写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用.

(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.

(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果.

基础过关

1.下列可以看成算法的是()

A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之

后做适当的练习题

B.今天餐厅的饭真好吃

C.这道数学题难做

D.方程2?—x+1=0无实数根

解析A是学习数学的一个步骤，所以是算法.

答案A

2.我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方

程组的解，二分法求函数的零点等，对算法的描述有：

①对一类问题都有效；

②算法可执行的步骤必须是有限的；

③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义：

④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.

以上算法的描述正确的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析由算法的概念可知①②③④都正确，因而选D.

答案D

3.下列各式中r的值不能用算法求解的是（）

A.T=l2+22+324-42+-4-1002

…1,1,1,1,,1

B-T=2+3+4+5+-+50

C.T=l+2+3+4+5+…

D.T=1-24-3-4+5-6+-+99-100

解析根据算法的有限性知C不能用算法求解.

答案C

4.如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A,B,C,杆子上有若干碟子，把所有

的碟子从8杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的

碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是

解析直接进行分析，将最小的碟子命名为①，口间的碟子命名为②，最大的碟

子命名为③，进行如下移动：①fA,②一C,①一C,③-A,①②一A,

①一A,此时按要求全部放好，移动7次.

答案7

5.给出下列算法:

第一步，输入x的值.

第二步，当x>4时，计算），=工+2；否则执行下一步.

第三步，计算y=,4__r.

第四步，输出y.

当输入x=0时，输出y=.

解析0V4,执行第三步，尸山一0=2.

答案2

6.写出求1X2X3X4X5X6的一个算法.

解第一步，计算1X2,得到2.

笫二步，将笫一步的运算结果2乘3,得到6.

第三步，将第二步的运算结果6乘4,得到24.

第四步，将第三步的运算结果24乘5,得到120.

第五步，将第四步的运算结果120乘6,得到720.

第六步，输出运算结果.

7.鸡兔同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个

算法，求出鸡和兔各有多少只.

解第一步，设有x只鸡，y只兔，列方程组

x+y=30,①

V

,2x+4y=100.②

第二步，②+2+①X(-l),得y=20.

第三步，把)=20代入x=30—)，，得x=10.

10,

第四步，得到方程组的解_

420.

第五步，输出结果，为1()只，兔20只.

能力提升

8.一个算法步骤如下：

第一步，S取值0,i取值1.

第二步，若i<9,则执行第三步；否则，执行第六步.

第三步，计算S+i并结果代替S.

第四步，用i+2的值代替i.

第五步，转去执行第二步.

第六步，输出S

运行以上算法，则输出的结果S等于()

A.16B.25

C.36D.以上均不对

解析解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S=l+3+5+7+9=25.

答案B

9.对于算法：第一步，输入几

第二步，判断〃是否等于2,若〃=2,则〃满足条件；若，i>2,则执行第三步.

第三步，依次从2到(“一1)检验能不能被〃整除，若不能被〃整除，则执行第四

步；若能整除〃，则结束算法.

第四步，输出几

满足条件的〃是()

A.质数B.奇数

C.偶数D.约数

解析此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最

小的质数，这个算法通过对2到(〃一1)一一验证，看是否有其他约数，来判圻其

是否为质数.

答案A

1().下面给出了解决问题的算法：

第一步：输入乂

第二步：若则否则y=/+3.

第三步：输出y.

(1)这个算法解决的问题是________;

⑵当输入的x值为时，输入值与输出值相等.

2x~1(xWl),

答案(1)求分段函数y=的函数值

斤+3(x>l)

(2)1

11.请说出下面算法要解决的问题_______.

第一步，输入三个数，并分别用4、b、C表示；

第二步，比较。与〃的大小，如果4<4则交换〃与人的值；

第三步，比较。与C