高考数学专项复习：指数函数与对数函数（解析版）

专题04指数函数与对数函数

考点一：指数

1.（2023春•福建）已知2"=4，2"=8,则2'""的值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】D

【详解】因为2"'=4，2"=8，所以尸"=为、2"=4x8=32.

故选：D

2.（2022春・天津）已知2m=3,2"=5，则2"”"的值为（）

5

A.-B.2C.8D.15

3

【答案】D

【详解】2WHn=2wx2n=3x5=15.

故选:D

考点二：指数函数的图象和性质

1.（2025•北京）已知函数6"。，则/（x）的最小值是（）

X12-2x,x>0

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】D

【详解】当X40时，==x=（）,/（x）有最小值1:

当工>0时，/（x）=x2-2x=（x-1）2-1,x=I,f（x）有最小值・1；

所以/（%）的最小值是-L

故选：D

2.（2025•河北）已知函数/（#=2一,-2若函数/*）的最大值为1,则实数。=（）

7799

C

A.-8-B.8--8-8-

【答案】B

【详解】/（幻=2--2（277+4,令1=2-飞（0,80）,

贝ijy=+/+a=_2（/_‘]+1_〃，当/=：,x=2时，），=:+〃=l,解得〃=：.

•I4J8488

故选：B

3.（2025•河北）已知函数/。）=2——25+〃.关于函数/（*）的单调性,下列判断正确的是（）

A./（%）在（YO,2）上单调递增B.f（x）在（fo,2）上单调递减

C./（X）在+8）上单调递增D..f（x）在上单调递减

【答案】A

【详解】令2T=地＞0）,函数人/=2-*-25+。可化为为y=-2/+/+的＞0）,

因为函数y=-2/+，+a”＞0）开11向上，对称轴为/=；,即x=2.

当（）＜，＜,时，函数y=-2r+1+a（t＞0）单调递增：

4

当时，函数），=-2『+/+必＞0）单调递减，又因为v=2-*在R上单调递减，

由复合函数的单调性可得，函数M在（-00,2）上单调递增.

故选：A.

4.（2025•河北）已知函数/（刈=2-'-2。+4.若函数/"）有两个零点,、x『给出下列不等式:

+x

（1）x,+x2＞4；②〃用+天）＜0；③/（玉+Z-I）＞一（；@/（-^2-2）＞0.

其中恒成立的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】/（x）=2r-21-2"+a=2一、一2x（2r丫+a,

令"x）=0,则2、（2。）2-27-〃=0,令"2一”＞0,可得2产T—〃=0，

令屋。=2/2——%则函数g⑴有两个不同的正零点，

A=1+8«＞0

所以，:＞。，解得-：＜”（）,

48

8（0）=-4＞0

由通意可知，2一币、2f是关于/的二次方程2『-/-4=0的两根,

由韦达定理可得2』=2』』=一:6（0,』],

所以，2vZ）V」=2T,所以，_（司+石）＜-4,可得内+为＞4,①对;

16

由韦达定理可得一■!=2"),则〃=—2X2")e

4V,+X2)2>X+Xi)

所以,/(x,+x2)=2-2x2-'+a=^-2xf-^l=£^1<0,②对：

—)=2+f-2"+afZ.闿

二一2"屋③对：

24W)

)(演+室-2)=2-2Tg-2)+a=_2a_2*2(2)+〃=一,一婷=一〃(8°+1)>0,④对.

故选：D.

y-3r

5.(2023春・浙江)函数/(x)=；——77的大致图象是()

【详解】因为/（幻=,：,一：»定义域为R,

3~X-3V3T—3”

且f(―工)

|-x+2|+|-x-2|

所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误;

V-3r

当；趋向正无穷时，显然=;——”的分子增长快于分母增长，y趋向正无穷，故A正确B错误.

|J+2|+|X-2|

故选：A

6.（2023春•湖南）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立

107,0</<0.1

方米空气中的含药量），（单位：mg）与时间f（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为），=（1丫一。八，

（。为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始,

)

B.a=0.2,i()=0.5

C.%=0.6D.a=0.1,/0=0.5

【答案】C

【讲解】当，-o.i时，y=L代入解析式得得々=0.1,

1O

令(4广。」=0.25,解得i=0.6,即a=0.1,/0=0.6,

16

故选;c

7.（2022•北京）已知函数/（x）=2、，xs[0,-Ko）,则/*）（）

A.有最大值，有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

【答案】C

【详解】/（耳=2'在[0,y）上是增函数，

所以最小值为/（。），没有最大值.

故选：C

【详解】解：由y=2-x=6J,得函数y=2"是以!为底数的指数函数，

且函数为减函数，故D选项符合题意.

故选：D.

9.（2022春•广西）函数y=（gj的图象与y轴的交点坐标是（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（0,2）D.（1,1）

【答案】B

【详解】令x=0,则），=6[=1,故函数），=（《）"的图象与），轴的交点坐标是（0,1）.

故选：B.

10.（2021春•河北）已知函数〃刈=/,则不等式/（工）<1的解集是（）

A.（T>,-2）B.（1,4-co）C.（—1,1）D.（-2,2）

【答案】C

【详解】由〃“<1得，朋7<1,则eW<e°，根据尸9在R上单调递增，所以凶一1<0,

解得一1<X<1,即〃x）<1的解集为（Tl）,

故选:C

11.（2021春•浙江）已知函数〃工）=2忖+加，aeR,则/“）的图象不可熊是（）

yI

A.B.

【答案】D

【详解】/（耳=加+底定义域为R.

因为/（一力=2问+"-力2=2忖+正弓。），所以）可（力为偶函数.，其图像关于），轴对称,

对照四个选项的图像，只能选D.

故选:D

12.（2021秋•浙江）不等式21T<4的解集是（）

A.（-1,3）B.S,T）U（3,用）

C.（-3J）D.（9,-3）51，物）

【答案】A

【详解】解：由指数函数），=2,在R上单调递增，"T<4=22，

所以|x-l|v2,进而得—2vx—lv2,即一1<x<3.

故选：A.

13.（2021春•福建）函数），=3、的图象大致为（）

【答案】A

【详解】因为3>1,所以y=3,单调递增，且恒过点（0,1）,

故A为正确答案.

故选：A

14.（2021秋•河南）函数/（幻=刀"的图象关于（）

A.y轴对称B.直线）对称

c.坐标原点对称D.直线对称

【答案】A

4v4-111

【详解】/（幻=昔1=]（2，+2»所以〃­）=5（27+2"）=八幻，函数为偶函数，图象关于y轴对称.

故选:A.

15.（2021秋•广西）函数），=2"（lWx<2）的最大值为（）

I1_1

A.-B.-C•-D.4

753

【答案】D

【详解】因为函数），=2'为增函数，

所以函数）=2"（1《入42）的最大值为22=4.

故选：D.

16.（2021•北京）下列各点中,在函数/（x）=2r-I的图象上的点是（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（1,0）D.（1,2）

【答案】A

【详解】解：因为—1,所以/⑼=2°-1=0,故函数过点（0,0）.

故选：A.

17.（2021•北京）已知2">2,>4，则（）

A.a>b>2B.b>a>2C.a<b<2D.b<a<2

【答案】A

【详解】2a>2b>4=22:.a>b>2

故选：A

18.（2023春・湖南）已知函数y="（a>0,且。工1）的图象过点（2,4）,则。=.

【答案】2

【详解】将（2,4）代入），=/得/=4=a=2，

故答案为：2

19.（2022春•浙江）已知函数〃x）=3・2）+2,对于任意的94。』，都存在芭W04],使得

/（菁）+2/（七+〃?）=13成立，则实数〃?的取值范围为.

【答案】

【详解】•・•/(N)耳5,81.13一；(©6I，4,

+m)=3-2工+'"+2e[3・2'"+2,3•2I+,M+21,

2m>-]]

3-2w+2>-

由题意得，2=«；nl°g2六〃"噫三

6

3-2w+,+2<42-'<±3

-3

故答案为：Iog2；1og2；

o3_

20.(2021・贵州)已知函数/(耳=优(a>0且4工1),〃1)=2,则函数/(x)的解析式是.

【答案】/(x)=2*(XG/?)

【详解】由已知可得/(1)=。=2,因此，/(x)=2v.

故答案为：/(x)=2v(xe/?).

21.(2023春•浙江)己知函数/口)=2川，8。)=川人-2al.

⑴若g(x)是奇函数，求。的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；

⑵对任意百e[-l，y),总存在唯一的/W⑵内)，使得/(5)=膜七)成立，求正实数〃的取值范围.

【答案】⑴"0,g。)在R上单调递增

⑵J

44

【详解】(1)「g(x)为奇函数,

则8(1)+履-1)=|1-2同一|1+勿|=0,解得々=0.

此时g(x)=x|x|,

又g(x)+g(-x)=x|x|T|x|=0,又g。)的定义域为R,

此时g(x)为奇函数

所以若g(x)为奇函数，a=0,

当工之。时，g(x)=d在上单调递增，

当"0时，g(x)=-丁在(y,0)上单调递增，

乂观外为定义在R上的连续函数，

故式》)在R上单调递增.

(2)当工«-1,物)时，/(x)=2,+,,/./(x)e[l,-K»)

/、x2-2ax,x>2a

g(、)=2"一-

-x+2ar,x<2^

①当2〃W2时，屋”在［2,2)上单调递增，「.网2)=4-445,a>^,：.~<a<\.

②当2<%<4时，g(x)在［2,2a］上单调递减，在［2a,转)上单调递增.

g(2)=T+4a<1,〃<?,­.

③当2之4时,g(x)在［2,可上单调递增,在［«2可上单调递减，在［2a,y0)上单调递增.

「•月(。)=-(。『+2/<I,-l<a<\,不成立.

35

综上可知，—<a<—.

44

22.(2023春•福建)函数/")=1一^^,〃zwR.

⑴求函数/(x)的定义域；

(2)若/㈤为奇函数,求右的值;

⑶当〃?=-4时，不等/(工)之如一、在xe(O,y)恒成立，求k的取值范围.

【答案】(i)(3,o)U(o,y)

(2)/n=-2

(3)k<9

【详解】(1)依题意可得解得xwO,

所以/(X)的定义域为(-OO,0)U(0,-KO).

(2)若f。)为奇函数,所以f(M+f(r)=0,

1―+1_门=0,所以2=y+i

e-x

「UhlC〃?〃2C〃L/〃C_

所以2=----+----=-------=-m,所以〃?=一2.

e'-I1-e'e'-1

4

(3)当〃?=-4时，/(x)=l+--,

e-1

,、4

所以不等式/(X)之品、在X£(0,”)恒成立，即1+——>ke-x,

e—1

即er上一令g(x)=e'+£

er-l6V'er-

+如士+

g(x)=e'++5,

ev-l

因为X£(0,+oo),所以

44

所以e「l+」一+522+5=9,

c'-l

4

当且仅当eI=E取等'

4ev

所以心产+二=9

min

故七的取值范围为k49.

23.(2022春•浙江)己知函数.f(x)=a'+x—?(x>0),其中

(1)若〃2)匕4,求实数〃的取值范围;

⑵证明：函数/")存在唯一零点；

⑶设/(%)=。，证明：片一。+2＜/(玉+1)＜2〃一加+2.

【答案】(1)1＜。＜2；

⑵证明见解析；

⑶征明见解析.

【详解】(1)因为/(x)=a*+x-§(%>0),

由f(2)=a2+2-aW4,可得/一〃一2式0,

所以(a-2)(a+l)WO,即一1W〃W2,又白>1,

所以1<。42；

(2)证明:因为函数f(x)="+x卫(x>0),其中"1,

X

月斤以/(X)在(0.+8)I.单调递增.Rf(\)=a+\-2a=\-a<0,

1+卜0,

f(2)=a2+2-a=a—

2

所以由零点存在定理，得〃工)在(L2)内有唯一零点，即函数/(X)存在唯一零点;

⑶证明:若/(厮)=0,则不«1,2)=>玉+1€(2,3),

所以〃2)=/+2_〃</(q+1),又/(%)=4力+/一上=0,-2。-Ao,

所以〃入0+1)""+(%+1)-州)+伉+1)-二7

%+1X。X。+1

2、

22t/+(x+l),

一"一/十0

•%%+1,

2“。-2+本

令屋〃)=2/-24+2-/(与+1)=2a2+

2

乂2-一＞0,所以g(a)的图象开口向上,

Ao

-I

对称轴a=-11.<0

4伉-I)4(z3+1)

所以g(〃)在(1，田0上单调递增,

所以g(〃)>g⑴=2-21+%-2+2、22

•l+l-x0=l——+----

与+1,-0%+1

“0+工0-2(/+1)+2./+%)-2(“0+2)(%-1)、八

%)(与+1)/(与+1)%(面+1)

即"毛+1)<2片一%+2,

所以a~—a+2V/(为+1)v2t—北+2.

24.(2022秋•福建)已知函数/卜)=吐匚,g(x)="二.

(1)从/(x).g(x)中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论：

⑵法函数〃(x)=/(x)-4g(x)有零点，求实数”的取值范围.

【答案】⑴若选/(X),则/⑺为奇函数;若选g(x),则g")为偶函数.

⑵(T1)

【详解】(1)解：若选了(X)，则“X)为奇函数，证明如下：因为/(T)=±F=-/(%)且定义域为R,所

以f(x)为奇函数；

若选g(x)，则g(x)为偶函数,证明如下：因为g(T)==^=g(x)且定义域为R,所以g(*为偶函数:

(2)解：因为函数人(x)=/(x)-ag(x)有零点,

所以方程=:-〃x萼二=(),即。=ME=n=i-wj有解，

22e'+e-xe2x+1e2x+l

I?

因为e2*>0,所以e2'+l>l,0<—―-<1,所以一1<1一丁一-<1,

e+Ie"+1

所以一1<。<1,即实数。的取值范围(T,l).

考点三：对数

1.(2025•北京)lgl00=()

A.-100B.100C.-2D.2

【答案】D

【详解】lg!00=lgl02=21gl0=2:

故选：D.

2.(2022春・贵州)Ig2+lg5=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【详解】解：lg2+lg5=lg(2x5)=lgl0=l.

故选：D

3.(2021春•天津)已知lg2=a,lg3=b,则怆6的值为()

A.—B.abC.a-bD.a+b

b

【答案】D

【详解】显然Ig6=lg(2x3)=lg2+lg3=a+b；

故选：D.

4.(2021秋•浙江)log318-log32=()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

1Q

【详解】log，18-iog32=log3—=log39=2.

故选：B.

5.(2021秋•贵州)log28=()

A.5B.3C.2D.0

【答案】B

J

【详解】log28=log22=31og22=3.

故选：B

6.(2025•山西)若f(10x)=x,则f(5)=

【答案】Ig5

【详解】试题分析：令10乂=3贝］x=lgf,/（f）=lg，，.♦.f⑸=lg5

质log内x>0则历

7.（2023春•新疆）已知函数/*）=•i,

【答案】2

logx,x>0

【详解】因为/（幻=<2所以/(4)=1鸣4=2.

x+3tx<0

故答案为：2

8.（2022春•辽宁）计算logs3+log、；的值为

【答案】0

【详解】解：log33+10g31=log33+log.3-'=log33-log.3=0

故答案为：o

9.（2021秋•青海）已知1亭=2,则X=.

【答案】100

【详解】由1"=2,则％=1()2=100

故答案为:100

,„,I

10.(2023春・浙江)计算(lg2-lg-=

164；

【答案】|41

考点四：对数函数的图象和性质

1.(2025•北京)将函数3=的图象向上平移1个单位长度，得到函数3=/(力的图象，则f(x)=()

A.log2(.v+l)B.1+log,x

C.iog2(x-l)D.-l+log2x

【答案】B

【详解】将函数y=1og2.i的图象向上平移i个单位长度，得到函数y=i+Qg2K.

故选：B.

1-x,x<0

2.(2025•河北)已知函数/(*=<，”八，则/(幻的最小值是()

[log2(x+2),x>0

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】当x40时，函数/(的=1-4在(YO,01上单调递减，

所以当x=0时，函数/(幻=1一”有最小值为/(0)=1,

当h>0时，函数/(A)=log2U+2)在(0,+8)上单调递增，

所以〃彳)>八0)=1呜2=1,

l-x,x<0

综上，当x=0时，函数/(、)=।,小八有最小值为1.

log2(A：I2),x>0

故选：c

3.（2025•江苏）已知函数/"）为奇函数，且当工>0时，”x）=log3（2x+l）,则1）=：）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【详解】因为函数/（0为奇函数，且当x>0时,/（x）=log3（2x+l）,

所以/（-1）=-川）=-1%（2+1）=-1.

故选：A.

4.（2023春•浙江）函数/(x)=log2*+3)+*+2)°的定义域是()

A.[-3,-HX))B.(—3,-2)5—2,TO)

C.(-3,+oo)D.[-3,2)U(2,y)

【答案】B

x+3>0

【详解】由题意知,=>%>-3且…2,

X+2HO

故函数/*）的定义域为（T-2）5-2,”）.

故选：B.

5.（2023春・福建）图象中，最有可能是），=log2X的图象是（）

【答案】C

【详解】函数y=10g2X的定义域为（0，内），因此函数1y=10g2.x的图象总在），轴右侧，选项ABD不满足，C

满足.

6.(2025•广东)已知函数〃6=皆"六°,若"TH，则小)的值是()

k

11

A.一2B,-1C.-D.£

【答案】D

【详解】〃=/(2)=馆2=-1,/(«)=/(-1)=2'=1

1UIV/4

故选：D.

7.（2022•北京）函数/0）=bg2*-3）的定义域为（）

A.(3,+QO)B.(0,+8)C.(f3)D.(-oo,0)

【答案】A

【详解】由x-3>0,得x>3.

故选:A

【答案】A

【详解】由于函数y=ig（x+D的图象可由函数y=igx的图象左移一个单位而得到，函数），=出工的图象与工

轴的交点是。，0）,

故函数N=lg*+1）的图象与X轴的交点是（0,0），即函数y=|lg（"D|的图象与X轴的公共点是（0,0）,显然四

个选项只有A选项满足.

故选:A.

9.（2022秋•浙江）若10g式2:l）7<log式22+3/1）对任意xe（O,”）恒成立，则4的取值范围是（）

A.（^,+°o）B.（°，：）C.（：,+8）D.（0,：）

【答案】A

xXxXX

【详解】ilog2(2-1)-x<log2(z-2+3A),log2(2-1)-log22<log2(2-2+32),所以

logr<log(/l2XI3/1),因为函数y=logiX在(0,+M)上单调递增，所以

222

二二<(2,+3〃n%在(0,y)上恒成立,令/=2'(r1),则一三在(1,+oo)上恒成立，令

22•(2+3)+

V-I=[V=---------?---------<—।1-=-

)一《+3)一(一)+，_+5,则(1)+2+5-2JZ二+59,当且仅当"3,即广晦3时，

t-\1V/-1

取等号，所以

故选：A

10.(2022・湖南)函数曲线y=log“x+l恒过定点()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1/)D.(1,0)

【答案】C

【详解】因为对数函数y=log.工恒过点。，0),

所以函数曲线y=iog“x+i恒过点(1.1).

故选：C

11.(2021•贵州)函数y=log?*+l)的图象经过()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(2,0)

【答案】C

x+I=1,fx=0,

【详解】解方程./得<A.

[y=log2(A+l)[y=0

所以函数),=log2(x+l)的图象过定点(0,0).

故选：C.

12.(2021秋•贵州)函数)，=1娱炉的图象大致()

【答案】A

【详解】因为3>1,根据对数函数的图象可得A正确.

故选:A.

13.(2021秋•青海)函数/(x)=hix+"G的定义域为()

A.(f,4)B.(―⑷C.[0,4]D.(0,4]

【答案】D

【详解】由题意得［—co,解得°<X"，所以定义域为(。，4］.

故选：D

14.(多选)(2022春•浙江)若函数“力=111卜2-6+1)在区间［2,”)上单调递增，则下列实数可以作为

。值的是()

5

A.4B.-C.2D.0

2

【答案】CD

【洋解】设晨灯二9_奴+1,要，更/3=1|］,_公+1)在区间［2,+00)上单调递增，

则需g(力在［2,-Foo)上单调递增，且g(x)>0在［2,+oo)上恒成立，

£<25

・•・・2—，解得：，则选项中可以作为。的值的是2和0.

g⑵=5-2〃>0」

故选：CD.

15.(2022•山西)已知函数/("=噫(/+4),若〃3)=1,则“=.

【答案】-7

【详解】详解：根据题意有〃3)=侬2(9+。)=1，可得9+。=2,所以。二一7,故答案是-7.

16.(2022春・浙江)已知函数/(X)是定义在卜2,2］上的奇函数，当工£口2］时，/(^)=x-log.(x+«)则

”-〃)=---------------

【答案】-2

【详解】因为函数/(X)是定义在［-2,2］上的奇函数，

所以/(0)=_1%4=寸(-0)=1。4〃，即1叫，=0,解得ul.

222

所以/(-a)=/(-D=-/⑴=-(1Tog।2)=一(1+1)=-2

2

故答案为：-2

1V-

17.(2021春•福建)函数/(x)=hr；—是__________(填写"奇”或"偶")函数.

1-X

【答案】奇

【详解】^>0=>(l+x)(l-x)>0,解得即/(x)定义域关于原点对称.

I-X

/(-X)=InF=-In==-/(X),即函数/(X)为奇函数.

l+X1-X

故答案为：市

18.(2021秋•河南)函数/(x)=log2x+x(xe[l，4])的值域是.

【答案】[1,6]

【详解】因为函数)，=10g2X和)'=X在(。，+8)上都是增函数，

所以/(x)=log2X+1在(0,y)上是增函数，所以=/(4)=log24+4=6,f(x)min=log21+1=1,

函数值域为[L6].

故答案为：[1,6].

19.(2021秋・广东)已知函数=・J设/(一2)=〃，则/'(〃)=______.

log2x,x>0

【答案】-2

[详解]a=f(-2)=2~2=^,

故答案为：-2

r4-1

20.(2023春・新疆)已知函数。x)=log2—r.

x-1

⑴求/(X)的定义域；

⑵判断函数的奇偶性.

【答案】(I)(YO,-I)5I，”)

(2"("为奇函数.

【详解】(1)对于函数f(x),有二■>(),可得(x+l)(x-l)>0,解得工<一1或x>l,

x—1

所以，函数/(力的定义域为(y,T)u(l,y).

(2)函数/(x)的定义域为(YO,T)D(1,”)，

/(--V)=log2—==>og2土I=Tog?=•=一/(x)，故函数/(x)为奇函数.

-X-1X+1X—1

21.(2021秋•福建)已知四个函数：/(x)=x+L力(x)==l,人(x)=ln(GTi+q,Z(x)=x2+4.

入e+1

⑴从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；

⑵以上四个中，是否满足其图象与宜线，=3有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数,

并证明；若不存在，说明理由.

【答案】(1)答案见解析；

⑵存在A(%)=In(4Tli+q满足条件，理由见解析.

【详解】⑴止力*战…+)-工3且定义域为｛和皿工⑶为奇函数;

人㈠卜一]制]一=e/]="⑺且定义域为R'A外为奇函数,

八(t)=In(y](-x)2+\—x)=ln(彳京；)=/(内+幻=气⑺且定义域为R，A⑺为奇函数;

〃r)=(—)2+4=d+4=力(x)且定义域为R,f4(x)为偶函数.

(2)对于工(幻：当x>0时，£*)在(0,1)上递减，(l,+oo)上递增且最小值/⑴=2,而当x<0时函数值

恒为负数，故其与、=3有两个公共点，不合题设；

对于人。)：6a)==！=1--2—，易知人")在R上递增且值域为(TD,故其与丁=3没有公共点，不合

e+1e+1

题设；

对于人(外：根据对数型复合函数的单调性知：人。)在R上递增且值域为(9,+8),故其与，=3有且仅有一

个公共点，符合题设；

对于A(x)：/；(X)=X2+4>4,改其与y=3没有公共点，不合题设；

综上，存在符合要求的函数A(x)=ln卜户后+人).

22.(2021・湖北)关于函数〃x)=xln(l+x)有以下三个结论：

(1)/("是偶函数；

(2)“X)在[0,+8)上是增函数；

C)/(x)有两个零点.试分别判断这三个结论是否正确，并说明理由.

【答案】(1)错误；(2)正确；(3)错误；理由解析.

【详解】(1)由1+X>()，解得K>-1,

所以函数的定义域为｛xU>-l｝,不关于原点对称，

所以/(X)不是偶函数；

(2)因为r(x)=ln(l+x)+±20,在[0,y)上成立，

所以/(x)在py)上是增函数，故正确；

(3)令/(x)=Wn(l+x)=。，则x=0或ln(l+x)=O,解得工=0,

所以/(同有一个零点，故错误.

考点五：指数对数比较大小

1.(2025•河北)已知々=2如,b=0.502,c=logos0.2,则()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

\0-2

【详解】由已知〃=2知，Z,=0.5°=^l=24

v指数函数/（力=2'在R上单调递增，且值域为（0,+8）,

：.0</（-0.2）</（-0.1）</（0）,0<2-02<2-4）,<2°=1,即0"<”1

又.•・对数函数g（x）=log05x在区间（0,y）单调递减，

g（0.2）>g（0.5）,即logos0.2>log。$0.5=1,即c>l.

综上所述，b.c的大小关系为

故选：C.

2.（2025"山西）设a=1.7°3,^=log43.1,c=log073,则a,b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【详解】解：因为y=17在R上聿调递增，且0.3>0,

所以1.7°3>1.7°=1，即21,

因为.y=log4i在。+8）上单调递漕，且1<3.1<4,

所以log』I<log43.1<log44,即Ovbvl,

因为。=logo.7」在（。，+°0）上单调递减,且3>1,

所以logo73vlog。71=。，即c<0,

所以a>〃>c,

故选：A

3.（2025•江苏）已知4=10833，匕=1。832,，=10823,则（）

A.a<b<cB.h<a<c

C.h<c<aD.c<b<a

【答案】A

【详解】a=log,log3l=0；0<log3\<b=log32<log33=1；c=log23>log22=1,

所以a<Z?<c.

故选：A

4.（2023春•湖南）设a=log32,^=21,《=3：，则（）

A.a>b>cR.n>ohC../，>「>〃D.c>b>a

【答案】D

【详解】由寻函数的性质得由对数函数性质得=

即C>/，>4，

故选：D

5.（2023春•新疆）若〃=1叫2，"=""1叫2,则以/”的大小关系为（）

3

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【详解】因为0=log31<〃=log32<log33=l,〃=J5>l,

c=log.2<log.1=0

33

所以

故选：C.

6.（2025•云南）已知a=log20.3,b=2°\c=4°2,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【详解】函数丁=1。比］在（0，收）上单调递增，则。=唾20-3<1吗1=。，

0342

函数y=2'在R上单调递增，2°3>0,/?=2-<2°-=4°-=C,即0<6<C,

所以4<Z?<C、.

故选：A

1f1\3.

7.（2022•山西）设a=log2铲方七卜c=3小则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

2

【详解】Vlog2-<log,I=0<^-I=-<l<x/3=3,:.a<b<c.

故选：B.

5

8.（2022春•浙江）«=5°-,/7=0.5\c=log055,则〃也。的大小关系是（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】C

55

【详解】解：«=50>5°=1,/7=0.5<0.50=1,c=log055<log051=0.

:.c<b<a,

故选:C

9.（2022秋•福建）已知。=1。834,/?=10832,。=1082；测。也。的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

a

【详解】=1og34>I,0</?=log32<1,c=log2^=-log23<0,

/.a>b>c；

故选：D.

10.（2021春•河北）已知a=ln］，b=lgg,c=log0,\,则（）

333

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【详解】因为ln3>lne=l,

所以a=ln!=Tn3〈-l；

3

因为0=lg1<lg3vlgl0=l,则一lv—lg3v0,

又/>=lg：=—lg3,所以一1<〃<0；

Wf=log031>log03l=0,

所以

故选:B.

11.（2021秋•吉林）已知。=log?2,b=log42,c=log52,贝］（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>h>c

【答案】D

【详解】解：如下图，作函数y=iog2%y=iog4x，y=iogsx的图象

故选：D.

12.（2021春•福建）己知。=3°\》=9；，c=loS30-2»则。、〃、。的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<hD.c<b<a

【答案】B

【详解】因为］。<。=，=〃，因此，

=34=35<3c=log30.2<log31=0rc<a<h.

故选：B.

（秋•福建）已知则小。的大小关系是（）

13.2021,^=41，”2；，b,

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【详解】由题设，一，乂在定义域上递增，

〃=2b=2,c=2i，y=2'

a<c<b,

故选：C.

（秋•广东）已知〃=3则的大小关系是