河南省信阳市罗山县2025-2026学年高二年级上册11月期中教学质量检测数学试题（解析版）

河南省信阳市罗山县2025-2026学年高二上学期

11月期中教学质量检测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知直线/过A(2,2j5),8(4,0)两点，则直线/的倾斜角为()

A.4BiCD・史

6336

【答案】C

【解析】依题意，直线/的斜率(=2.一0=一6,所以直线/的倾斜角为0.

2-43

故选：C.

2.某学校有四位教师A,B,C,D，原分别任教于匹个班级1,2,3,4.现进行岗位调

整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师A被分配到班级4的概率是()

1132

A.-B.-C.-D.一

4389

【答案】B

【解析】若每位教师不能继续任教原班级，依据教师情况去分配班级情况，

不改变教师的顺序，则有如下情况，(2,1,4,3),(2,4』,3),(2,3,4,1),

(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1),

共9种情况，符合条件的有3种，设教师A被分配到班级4的概率为产，

由古典概型公式可得尸=3=2，故B正确

93

故选：B.

3.若方程d+y2-2"1V+4y+"广一5二0表示圆，则用的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(-00,-1)C.D.R

【答案】D

【解析】因为该方程表示圆,所以(-2㈤2+42-4(/-5)=36>0,

所以〃7£R.

故选：D.

4.下列可使非零向量2，5,之构成空间的一个基底的条件是()

A.a+c=2bB.ab=bc=ca=0

c.同=W=F|=iD.4+5+2=0

【答案】B

【解析】由空间基底的定义可知只有非零向量忑不共面时才能构成空间中的一组基底.

对于A：因为4+之=25，所以非零向量刁、5、之共面，故不能作为一组基底，故A错

误；

对于B：因为联〃=〃.c=c・，i=0，所以。工B、B_LC、C_L2，

所以非零向量乙、B、2不共面，可构成空间的一组基底，故B正确；

对于C：令白=（1,0,0）、=（0,1,0）c=；,4,0,满足同=W=同=1,

但是2=_1万+也行，所以々、6、2共面，故不能作为一组基底，故c错误；

22

对于D：因为@+B+Z=0,所以&=—5-入所以力、5、工共面，故不能作为一组基

底，故D错误；

故选：B.

5已知直线4:(/?!+l)x+y+2加-3=0,6：2x+相>+—2=0,若/,///2,则m=()

A.1B.-2C.2D.1或一2

【答案】B

【解析】由题意得4:(m+1)x+y+2m—3=0,l2:2x+my+m-2=0,

加(〃2+1)-2=0

因为“〃一所以彳解得加=一2.

~[(m+l)i>-2)-2(2/n-3)^0

故选：B.

6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,两人

各射击一次.甲、乙两人射击互不影响，则恰有1人中杷的概率为（）

A.0.72B.0.26C.0.18D.0.98

【答案】B

【解析】记甲中靶事件4乙中靶为事件以

则P(4)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.9,P画=0.1

甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况,

则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率如下，

为尸(A)•P(耳)+P(B)-P(A)=0.8x0.14-0.9x0.2=0.26.

故选：B.

7.直线Gx+y+a-6=0与圆C:（x-l『+（），-2『=9相交于M,N两点，且

ZA^C7V=12O°,则实数a的值为（）

A.1B.5C.-1或5D.I或一5

【答案】D

【解析】如图，作出符合题意的图形，

由题意得圆C的圆心C（l，2）,半径r=3,

3

由ZMC7V=120°,得圆心C到直线底:+>+4-6=。的距离为d=rcos60°=-,

X

|G1+2+4-6|3邑2=3,解得a=l或。=一5,故D正确.

则d二J——.即

7（V3）2+I2222

故选：D

8.已知空间向量加=。。0）,05=（0.1.0）,。e=（0,0,1）,向量炉三x两+），加+z元，其

H4-+-+z=l.贝日丽|的最小值为（）

3211

A.-B.C.1D.2

721

【答案】A

【解析】设赤=3函=（3,0,0b砺=2砺=（0,2,0）,

因为2+^+z=l,所以。户=X3X+），O8+ZOC=23D+2^+Z0?,

3232

所以REC,尸四点共面，当OP_L平面OEC时，|而|有最小值.

可得优=而一瓦=（3,-2,0）,DC=OC-<5Z5=（-3,0,1）,

mDE=3a-2b=0

设平面DEC的一个法向量初=（〃/"）,则・

m-DC=-3a+c=0

取a=2,则b=3,c=6,所以讥=（2,3,6）为平面DEC的一个法向量,

历・0C|6|6

所以。到平面DEC的距离d=।।1=4=2,故A正确.

\m\V497

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题FI要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.某商场举办抽奖转盘活动，转盘被均匀划分为6个扇形区域，分别标有数字1至6,参

与者转动转盘一次，记录指针所指的数字.定义事件Ai.数字为3”，事件6="数字为偶

数“，事件C=”数字小于4”，事件。="数字大于3”，则()

A.A与3互斥B.A与。对立

C.8与。独立D.。与。对立

【答案】AD

【解析】由题意得4={3},B={2,4,6},C={1,2,3},D={4,5,6},

6cD={4,6},则P(8)=L,P(D)=~,P(BD)=~,尸(A)=LF(C)=-,

22362

对于A,由题意得A,B中无公共元素，则A与8互斥，故A正确，

对于B,而P(A)+P(O)='+L=2wl,则A与。不对立，故B错误，

623

对于C,而P(BD)WP(B)xP(D),则8与。不独立，故C错误，

对于D,而P(C)+P(O)=g+g=l,CDO={1,2,3,4,5,6},

且CD中无公共元素，则C与〃对立，故D正确.

故选：AD.

10.下列说法正确的有()

A.若两条直线2x+〃y-5=O与2x-ay+5=0互相垂直，则实数。的值为±2

B.若点(攵力)在第二象限，则直线丁二履+力不经过第三象限

C.过点(一2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+)，=-5

a1

D.已知直线点—"1=0和以N(3.2)为端点的线段相交，则左、或女＜一/

【答案】ABD

【解析】对于A,若两条直线2x+ay—5=0与2x-ay+5=。互相垂直，

则2x2+ax(-a)=0,解得〃=—2或a=2,

可得实数〃的值为±2,故A正确：

对于B,若点（2㈤在第二象限,则攵＜03＞0,

由一次函数性质得直线¥=履+人不经过第三象限，故B正确；

3

对于C,当直线过原点时，直线y=]X经过点（-2,-3）,

3

即直线y二不上也满足题意，选项C错误；

对于D,将直线〃工一丁一％-1=。化为〃0—1）一（＞，+1）=。,

所以直线依-y-A：-l=O恒过定点汽|，-|）,且直线履-y-R-l=。的斜率为3

结合图象，若直线心1=0与线段MV相交,

31

可得％2二或ZW——，故D正确.

22

故选：ABD.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,A的距离之比为定值

九（2。1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xQy中.已知

0（0,0）,A（2,0）,点p（x,y）满足1PAl=夜|尸0|.设点P的轨迹为圆C,下列结论正确

的有（）

A.圆C的方程是（x+2）?+y2=8

B.圆。与圆（八一I），十（），-4）2二8有四条公切线

C.x+y的最小值为-6

D.过点A作直线/，若圆。上恰有三个点到直线/距离为及，则该直线斜率为

【答案】ACD

【解析】对于A,设P（x,y）,由|网=夜|pq,

可得+y?=V2xyjx2+y2，

即（x-2『+），2=2x2+2y2,化简可得（x+2『+y2=8,故A正确；

对于B,圆C圆心到圆（x—If+（y-4）2=8圆心（1,4）的距离为^（1+2）2+42=5，

又因为20+20=46>5且2&-2&=0<5，

故两圆相交，有两条公切线，故B错误；

对于C,由选项A可知：圆。的圆心为（一2,0）,半径r二2夜，

设x+），=z,可知直线x+y-z=O与圆。有公共点，

则上午W«2血，解得-6WzW2,

V2

所以x+y的取值范围为[-6,2],即x+y的最小值为-6,故C正确；

对于D,当直线/斜率为0时，圆。上有四个点到直线/距离为正，不合题意，

设直线/：x=）+2,则由题意。到/的距离等于2&-、历=J5，

即斗二=血，解得/=±«,故斜率直线斜率为！=±立，故D正确.

Vl+r2/7

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线x-y+2=0和直线2x-2y-3=o平行，则这两条平行线之间的距离为.

【答案】述或:及

44

【解析】由题意得直线2工一2），-3;。，即X—），—]=0,

2-（-当

由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为/_2_7>/2.

"一后k丁

故答案为：逑.

4

13.设空间两个单位向量。4=（以〃,0），0月=（0,加,〃）与向量OC=（1,1,1）的夹角都等于

则cosZAOB=.

【答案】

【解析】因为两个单位向量04=(〃?,40),丽=(o,加,〃)与向量反=(1,1,1)的夹角都

等于.•.NAOC=N3OC=1,X|OC|=^,|O4|=|OB|=1,

/.OC-(9X=|oc|-|oX|.cosy=V3xlx1=^,

*22

VOCOA=m+n>=/?7-i-/7=1»

JG.

m+n=—…/、222c3/…1

2，贝1J(m+〃)=nr+n~+2mn=—,所以〃〃？=—,

->2i48

m+n'=\

-0A0B=mn=」，」.cosZAOB=9吃=」,

8\OA\\OB\8

故答案为：J.

8

14.已知圆C:/+〉，2+2]+4），+4=0,圆G：V+y2—4x+2,，+l=0,M,N分别为圆G

和圆。2上的动点，/，为直线/：），=x+2上的动点，则IMPI+IN尸|的最小值为

【答案】2屈一3

【解析】圆。1：9+/+21+4），+4=0,即（式+1『+（）：+2丫=1,

圆心为（一1,一2）,半径火=1

22

圆C2:X+y-4x+2y+1=0,即（x-2）~+（y+1）?=4,

圆心为半径厂=2,

设点（一1,一2）关于直线/:y=x+2对称的点为（。力），

b+2.

---=-1A

则；4+：1,，解得：。一=-4，

b-2a-\_b=1

---=---4-2

22

圆G关于直线/：y=x+2对称的圆为圆c-

其圆心为（7,1）,半径R'=l，

则其方程为（x+4『+（），-1）2=1,

设圆C上的点M'与圆G上点M对称，则有=|尸"|,

原问题可以转化为尸到圆C和圆G上的动点距离之和最小值问题，

如图所示：

此时点P是满足|+1PM，\最小的点，

此时|夕'|+归”|=|。2。1-3=2加一3,

即\MP\+\NP\的最小值为2M-3,

故答案为：2M—3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知V4BC的顶点4（1』），边A3上的中线CM所在直线方程为工+了一3=0,边

4c上的高线所在直线方程为21一），-2二0.求：

（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程.

解：（1）由于8”_LAC.且8”的直线方程为2x一），-2二0,

所以怎〃=2,故左m=一5,又VA8C的顶点4（1』）.

所以AC所在的直线方程为y—l=—即x+2y-3=0,

由于AB边上的中线CM所在的直线方程为x+y-3=0,

x+2y-3=0

联立方程＜x+），-3=。’解得_,故点C（3,0）：

4.**

（2）设点8（八，。，则AB的中点笠L等，

由于点M在直线x+y-3=（）上，

所以竺止+七止-3=0,整理得利+〃一4=0,

22

同时点B在直线2x-y-2=0±,所以2/〃-〃-2=。,

m+7Z-4=0m=2/、

故2〃L〃一2=。’解得即点8(2,2),

2-0

所以kpc==-2,可得)，一0=-2(4-3),

2-3

化简得2工+），-6=0,故直线BC的方程为2x+），­6=0.

16.已知圆C:(x-2)~+(y-l)2=4.

⑴过点P（4,3）向圆。作切线，求切线/的方程;

（2）若。为直线机：工一）+4=0上的动点，过。向圆C作切线，切点为M,求|QM|的

最小值.

解：（1）由题意得（4—2f+（3—l）2>4,则点尸在圆外，故有2条切线,

若切线/的斜率不存在，则切线/的方程为x=4.

若切线/的斜率存在，设切线/的方程为>一3=攵（_¥-4）,即日—y+3—4Z=0.

因为直线/与圆。相切，所以圆心C（2,1）到/的距离为2,

即口左：1：3—44=2,解得A=（）,所以切线/的方程为y=3,

y/k2+\

综上，切线/的方程为x=4或），=3.

（2）如图，作出符合题意的图形，且〃?：x—），+4=。,

|2-1+4|5叵

由题意得圆心C到直线〃1的距离为［、齐二—T—>2可得直线，〃与圆c相离.

A/1+（-«）2

由切线的性质得MC~LMQ,则|QM『二|QC『-4,

则当最小时，有最小值.

..|2-1+4|5《

当QC_Lm时，最小，最小值为，：

1g（-I）?2

故|QM|的最小值为’(举了一4=与

17.如图1,在直角梯形A8CO中，AD//BC,/BAD」,AB=BC=\,AD=2,

2

E是AO的中点，0是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到△4田£的位置，使得平

面A8£_L平面3CDE.如图2.

(2)求直线入由与平面所成角的正弦值.

(1)证明：如图，连接CE,作出符合题意的图形,

IJT

因为AE=—AO=1AD//BC/BAD=-,

22

所以A£=3C=1,可得A3CE为正方形，

所以AC_L应:，所以EB1，AO，EBLCO,

又4OcCO=O,AOCOu平面AQC,所以平面A。。，

又BC//ED,且BC=ED,故四边形8CDE为平行四边形，

所以CD//EB,所以CD_L平面A。。.

(2)解：由题意得4O1BE,OCJ_3E,

因为平面ABE_L平面3CDE,平面48EC平面8CZ)E=BE,AOu平面4出七,

所以40,平面8cOE,又OCu平面8cOE,

所以4O_LOC,以。为原点，

以O及OC,O\的方向分别为X，)'，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，

_V2

>?1--Z]=0

设平面4。。的法向量为吗=（x,y”zj,则＜

4-CD=-s/2xj=0

令X=l,贝U4=I,%=0,故4=(0,1,1),

_—也

设直线43与平面AC。为夹角为凡得到sin。二鼠稠__2__2

\/2xl2

18.已知两个定点A（-IJ）,B（-l,4）,动点”始终满足局=：;.记动点M的轨迹为

Mo2

曲线O.

（1）求曲线。的方程，并说明其形状；

（2）若过点N（0,l）的直线与曲线O交于E,F两点、,求但目的最小值;

⑶过直线x=7上的动点尸（7,p）分别作曲线。的两条切线也，PR（Q,R为切

点）.证明：直线QR过定点，并求该定点坐标.

&+1)2+()，一])2

IMAIi]_

设M(x,y),

(1)解:由画=5'得22

7(x+l)+(y-4)2

化简得丁+），2+2工一3=0,即（x+lY+y2=4,

故曲线。是以（一1,0）为圆心，2为半径的圆.

（2）解:设圆D:（x+l）2+y2=4,

将点%（0』）代入圆。的方程等号左侧，得（0++产=2v4,

故点N（O,1）在圆7）的内部.

设圆心。（一1,0）到直线即的距离为d,所以怛同=2j4-屋.

又N（O,1）,所以4引。叫=0,所以怛耳口=2五,当且仅当DNLEF时

EF取得最小值，

故|明的最小值为2夜.

（3）证明：如图，由题意知，尸。,尸尺与圆相切，Q,A为切点,

则。Q_LPQ,DRLPR,则。,R,P,Q四点共圆，且R,Q在以。P为直径的圆上，

因为。（一1,0）,尸（7,p）,所以OP的中点为（3,[00|=而V，

\乙）

以线段。尸为直径的圆的方程为（工―3『十64+p

~1~

整理得，x2-hy2-6x-py-7=0,①

又Q,K在曲线。:x2+y2+2x-3=0@±,

②一①，得8x+py+4=0,所以直线。R的方程为8x+〃y+