2026年高考数学二轮复习专题19 圆锥曲线（椭圆）综合大题（题型）（天津）（原卷版）

专题19圆锥曲线（椭圆）综合大题目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01求圆锥曲线的标准方程题型02求圆锥曲线的轨迹方程题型03圆锥曲线中的定点问题题型04圆锥曲线中的定值问题题型05圆锥曲线中的最值及范围问题题型06圆锥曲线中的定直线问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01求圆锥曲线的标准方程【例1-1】（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程.【例1-2】（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．(1)求椭圆的方程；(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．椭圆的标准方程焦点在轴上：，焦点在轴上：双曲线的标准方程焦点在轴上：，焦点在轴上：抛物线的标准方程焦点位置轴正半轴轴负半轴轴正半轴轴负半轴标准方程【变式1-1】（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【变式1-2】（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.【变式1-3】（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2．(1)求椭圆C方程．(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围．题型02求圆锥曲线的轨迹方程【例2-1】（2024·天津和平·一模）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N.(1)求曲线的方程；(2)若以线段为直径的圆经过点.①求证：直线过定点，并求出的坐标；②求三角形面积的最大值.【例2-2】（2025·天津·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.(1)求动点的轨迹方程；(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.求轨迹方程的5种常用方法

1直接法:直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

2定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3相关点法:用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标x0、y0所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知)

4参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找【变式2-1】（2025·天津滨海新·三模）已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点．(1)说明曲线的形状，并写出其标准方程；(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)．三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是－．(Ⅰ)求点M的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AM方程为，直线l方程为x＝2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D．若△APD面积为2，求m的值．【变式2-3】已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点．(1)求的方程；(2)当时，求四边形的面积；(3)若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．题型03圆锥曲线中的定点问题【例3-1】（2025·天津·二模）已知A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上.若定义向量的运算：（是向量的夹角），且（为坐标原点）.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交椭圆于另一点，且，求直线的方程.【例3-2】（2024·天津·模拟预测）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，.①求证：直线过轴上的定点；②求的面积的最大值.过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【变式3-1】（2024·天津河北·一模）设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.【变式3-2】（2024·天津·一模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)若为直线上一动点，且直线，分别与椭圆交于，两点（异于，两点），证明：直线恒过一定点.【变式3-3】已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE恒过x轴上的定点P.题型04圆锥曲线中的定值问题【例4-1】（2026·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值.【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．(1)求椭圆的方程．(2)设直线的斜率分别为，且直线过定点．①设和的面积分别为，求的最大值；②证明为定值，并求出该定值．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．【变式4-1】（2026·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由.【变式4-2】（2026·天津西青·月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：.【变式4-3】（2026·天津·调研）已知椭圆的半长轴长为2，离心率为，过点的直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆的左顶点，求的值；(3)已知点，求的最大值．题型05圆锥曲线中的最值及范围问题【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，当直线、的倾斜角互补时，直线的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.(3)求面积的最大值.【例5-2】（2026·天津·调研）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值.圆锥曲线中的范围与最值问题，展现了圆锥曲线与三角函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的紧密联系。几何转化代数法:如果题目的条件和结论明显地展现了几何特征和意义，那么可以考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决问题。代数法:当题目给出的条件和结论的几何特征不明显时，可以建立目标函数，进而求解这个函数的最值（或值域）。常用方法包括：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等。在应用这些方法时，特别需要注意自变量的取值范围。【变式5-1】（2026·天津河北·调研）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线的斜率为0，求的值和的取值范围.【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）已知椭圆过点，离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为．①证明：直线过定点；②求四边形面积的最小值．题型06圆锥曲线中的定直线问题【例6-1】（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【例6-2】（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．(1)设定点法：通过设定特定点的轨迹，利用已知的点轨迹信息，消去其中的参数，进而导出轨迹方程。(2)待定系数法：首先设定包含未知参数的直线方程，然后运用待定系数法来求解这些系数。(3)验证法：选取特殊点的位置来求解直线方程，随后对一般情况下的位置进行验证。【变式6-1】（2024·天津·二模）椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，过点作的平行线，与交于点．判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程．【变式6-3】（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.2．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围．3．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）.4．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．(1)求椭圆离心率；(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．5．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点．（i）求面积的取值范围；（ii