2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 平面向量的数量积及应用

第3讲平面向量的数量积及应用eq\a\vs4\al()1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\x(\s\up1(01))∠AOB叫做a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是eq\x(\s\up1(02))0≤θ≤πeq\x(\s\up1(03))θ＝0或θ＝π⇔a∥b，eq\x(\s\up1(04))θ＝eq\f(π,2)⇔a⊥b2.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量eq\x(\s\up1(05))|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝eq\x(\s\up1(06))|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为eq\x(\s\up1(07))0．3．投影与投影向量设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))(如图)，则称上述变换为向量a向向量beq\x(\s\up1(08))投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的eq\x(\s\up1(09))投影向量．4．向量数量积的运算律交换律a·b＝eq\x(\s\up1(10))b·a分配律(a＋b)·c＝eq\x(\s\up1(11))a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝eq\x(\s\up1(12))a·(λb)5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\x(\s\up1(13))eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0eq\x(\s\up1(15))x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(（xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)）（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)）)1．数量积的运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)．3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝eq\r(a2).4．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)．1．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值为()A．20 B．－20C．20eq\r(3) D．－20eq\r(3)答案：B解析：由题意知〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝120°，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.2．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a·b＝|a||b|知cos〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，a与b同向，可推出a∥b，反之，由a∥b推不出a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．3．(人教A必修第二册6.3.5练习T3改编)已知向量a＝(0，2)，b＝(2eq\r(3)，x)，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则x＝()A．－2 B．2C．1 D．－1答案：B解析：由题意，得coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2x,2\r(12＋x2))＝eq\f(1,2)，所以x>0，且2x＝eq\r(x2＋12)，解得x＝2.故选B.4．(人教A必修第二册习题6.2T11改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a＋2b|＝eq\r(5)，则a·b＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：A解析：由题设，|a＋2b|＝eq\r(5)，得|a|2＋4a·b＋4|b|2＝5，代入|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，得a·b＝－2.故选A.5．(人教A必修第二册复习参考题6T8改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，当λ＝________时，λa＋b与b垂直．答案：－2解析：因为λa＋b＝λ(1，2)＋(－1，1)＝(λ－1，2λ＋1)，且λa＋b与b垂直，所以(λa＋b)·b＝(λ－1)·(－1)＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.考向一平面向量数量积的运算(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝()A．2 B．1C．0 D．－1答案：B解析：∵a＝(0，1)，b＝(1，0)，∴a－b＝(－1，1)，∴a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.故选B.(2)(2025·江淮十校模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为()A.eq\f(1,2)b B．－eq\f(1,2)bC．－eq\f(3,2)b D.eq\f(3,2)b答案：B解析：∵|b|＝2|a|，a与b的夹角为60°，∴a·b＝|a||b|·cos60°＝|a|×2|a|×eq\f(1,2)＝|a|2，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|2－4|a|2＝－2|a|2，∴2a－b在b上的投影向量为eq\f(（2a－b）·b,|b|)×eq\f(b,|b|)＝eq\f(－2|a|2,2|a|)×eq\f(b,2|a|)＝－eq\f(1,2)b.故选B.(3)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))()A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关答案：A解析：解法一：由题意可设eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up6(→))，∴所求式＝[xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))2＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))①.又在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，∴cos∠BAC＝eq\f(32＋32－42,2×3×3)＝eq\f(1,9)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×3×eq\f(1,9)＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＝9，代入①式化简得，所求式＝9x＋(1－x)×9＋1＝10.故选A.解法二：取线段BC的中点D，连接AD，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴AD＝eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))\s\up12(2))＝eq\r(5)，于是eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝2eq\r(5)|eq\o(AP,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉，结合图形可知，|eq\o(AP,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))为定值10.故选A.解法三：如图，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，C(4，0)，A(2，eq\r(5))，设P(t，0)，t∈[0，4]，于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(t－2，－eq\r(5))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－eq\r(5))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－eq\r(5))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(t－2，－eq\r(5))·(0，－2eq\r(5))＝10.故选A.(4)(2025·云南保山模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范围为________．答案：[0，16]解析：取CD的中点E，连接PE，如图所示，∴PE的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(AD,2)，AE))，即[2，2eq\r(5)]，又由eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→)))＝eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\f(\o(CD,\s\up6(→))2,4)＝eq\o(PE,\s\up6(→))2－4，∴eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))∈[0，16]．求两个向量的数量积的三种方法1.设向量a与b夹角的余弦值为eq\f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝()A．1 B．2C．11 D．14答案：C解析：设a与b的夹角为θ，因为a与b夹角的余弦值为eq\f(1,3)，即cosθ＝eq\f(1,3)，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cosθ＝1×3×eq\f(1,3)＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11.故选C.2．正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A.eq\r(5) B．3C．2eq\r(5) D．5答案：B解析：解法一：以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，可知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＝－1＋4＝3.故选B.解法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1，2)，所以eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝－1＋4＝3.故选B.解法三：由题意可得，ED＝EC＝eq\r(5)，CD＝2，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝eq\f(ED2＋EC2－CD2,2ED·EC)＝eq\f(5＋5－4,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(3,5)，所以eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝|eq\o(EC,\s\up6(→))||eq\o(ED,\s\up6(→))|cos∠DEC＝eq\r(5)×eq\r(5)×eq\f(3,5)＝3.故选B.3．(2025·河北省级期末联考)在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC的中点，点P在△ABC所在的平面内，且满足|DP|＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))的最大值为________．答案：2eq\r(3)＋3解析：如图，建立平面直角坐标系，可得A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－3，eq\r(3))＝3x＋3－eq\r(3)y，又因为|DP|＝1，所以x2＋y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ，则3x＋3－eq\r(3)y＝3cosθ－eq\r(3)sinθ＋3＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＋3，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))的最大值为2eq\r(3)＋3.考向二平面向量数量积的性质角度1平面向量的垂直(1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b答案：D解析：由已知可得，a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,2)＋2×1＝eq\f(5,2)≠0，不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×eq\f(1,2)＋1＝2≠0，不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq\f(1,2)－2×1＝－eq\f(3,2)≠0，不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×eq\f(1,2)－1＝0，符合题意．故选D.(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：D解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.故选D.(3)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\f(m,n)＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C．6 D．4答案：A解析：由题意，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3×2×cos60°＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－meq\o(OA,\s\up6(→))2＋neq\o(OB,\s\up6(→))2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,6).故选A.有关平面向量垂直的两类题型(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题：(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值主要是根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求出参数．1.(多选)(2025·湖北武汉调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是()A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直答案：AB解析：因为a，b，c是三个非零向量，对于A，|a＋b|＝|a－b|两边平方，得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，且|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，因为a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，故C错误；对于D，因为[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)·(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误．故选AB.2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，若(a＋b)⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．2 B．2eq\r(3)C．4 D.eq\f(9,2)答案：C解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∵(a＋b)⊥(a－λb)，∴(a＋b)·(a－λb)＝a2－λb2＝0，∵|a|＝2，|b|＝1，∴4－λ＝0，解得λ＝4.故选C.角度2平面向量的模(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1答案：B解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝eq\f(\r(2),2).故选B.求平面向量的模的两种方法在边长为4的等边三角形ABC中，已知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，点P在线段CD上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝________．答案：eq\r(7)解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∵D，P，C三点共线，∴m＋eq\f(3,4)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∵△ABC为边长为4的等边三角形，∴eq\o(AP,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1＋4＋eq\f(1,4)×4×4×eq\f(1,2)＝7，∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(7).角度3平面向量的夹角(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6答案：C解析：因为c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，所以eq\f(9＋3t＋16,5|c|)＝eq\f(3＋t,|c|)，解得t＝5.故选C.(2)(2025·江苏苏州模拟)若向量a＝(1，1)，b＝(－2，x)，且a与a＋b的夹角为钝角，则x的可能取值为()A．1 B．0C．－2 D．－1答案：D解析：因为a＋b＝(－1，1＋x)，又a与a＋b的夹角为钝角，所以a·(a＋b)<0且a与a＋b不共线，当a与a＋b共线时，－1×1－1×(1＋x)＝0，则x＝－2，此时两向量反向共线，由a·(a＋b)<0，得－1×1＋1×(1＋x)<0，解得x<0，所以x<0且x≠－2.故选D.求平面向量的夹角的方法已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝()A.eq\f(1,17) B.eq\f(\r(17),17)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案：B解析：因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|a－b|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝eq\f(2,\r(34)×\r(2))＝eq\f(\r(17),17).故选B.考向三平面向量的实际应用(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情境(如图)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A．|F1|的最小值为eq\f(1,2)|G|B．θ的取值范围为[0，π]C．当θ＝eq\f(π,2)时，|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|D．当θ＝eq\f(2π,3)时，|F1|＝|G|答案：ACD解析：因为|G|＝|F1＋F2|为定值，且|F1|＝|F2|，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cosθ＝2|F1|2(1＋cosθ)，解得|F1|2＝eq\f(|G|2,2（1＋cosθ）)，又θ∈[0，π)，所以|F1|的最小值为eq\f(1,2)|G|，故A正确，B不正确；当θ＝eq\f(π,2)时，|F1|2＝eq\f(|G|2,2)，所以|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|，故C正确；当θ＝eq\f(2π,3)时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确．故选ACD.用向量方法解决实际问题的步骤如图，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N．一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，则力F和摩擦力f所做的功分别为______J，______J．(g＝10N/kg)答案：500eq\r(3)－22解析：设木块的位移为s，则力F所做的功为F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．如图，将力F分解，它在竖直方向上的分力为F1，|F1|＝|F|·sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)．设木块的重力为G，则摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G＋F1)|＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)，因此f所做的功为f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．课时作业一、单项选择题1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝()A．－30 B．30C．－100 D．100答案：D解析：由已知，得a与b共线，则－2x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2，6)＋(1，－3)＝(－5，15)，因此a·(3a＋b)＝(－2，6)·(－5，15)＝100.故选D.2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则()A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件D．“x＝－1＋eq\r(3)”是“a∥b”的充分条件答案：C解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±eq\r(3)，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋eq\r(3)时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C.3．(2025·甘肃张掖模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若(λa＋b)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝0 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝－1 D．λμ＝0答案：A解析：根据题意，a⊥b，所以a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋μb)，所以(λa＋b)·(a＋μb)＝0，即λa2＋(1＋λμ)a·b＋μb2＝0，因为|a|＝|b|＝1，所以λ＋μ＝0.故选A.4．若|a|＝|a－b|＝1，且a与a－b的夹角为60°，则|a＋b|＝()A.eq\r(7) B.eq\r(3)C．7 D．3答案：B解析：因为a·(a－b)＝|a|2－a·b＝1－a·b，且a·(a－b)＝|a||a－b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故1－a·b＝eq\f(1,2)，解得a·b＝eq\f(1,2)，又|a－b|＝1，两边平方，得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，即1－1＋|b|2＝1，解得|b|＝1，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋1＋1＝3，故|a＋b|＝eq\r(3).故选B.5．(2025·广东广州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝()A.eq\f(\r(2),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(\r(5),10) D.eq\f(\r(2),2)答案：D解析：因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以a＝(2，1)，a－b＝(1，3)，所以cos〈a－b，a〉＝eq\f(（a－b）·a,|a－b||a|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).故选D.6.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ＝()A．－eq\f(\r(21),5) B．－eq\f(2,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案：B解析：由题意，知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|·cosθ＋veq\o\al(2,2)＝0，即10×4cosθ＋42＝0，所以cosθ＝－eq\f(2,5).7.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝eq\f(π,4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．－2eq\r(2) B．2eq\r(2)C．0 D．－1答案：C解析：eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0＋|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(FA,\s\up6(→))|coseq\f(π,4)＋|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AN,\s\up6(→))|·coseq\f(3π,4)＋0＝eq\r(2)－eq\r(2)＝0.故选C.8．(2025·山东济南模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是靠近点B的三等分点，E是边BC上的动点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),7)，\f(10,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),7)，\f(7,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(7,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(10,3)))答案：D解析：设eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角为θ，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|cosθ，且|AE|·cosθ是eq\o(AE,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影向量的模．如图，过点A作BC的垂线，垂足为F.由向量的投影可知，当点E与点B重合时，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))取得最大值，为|eq\o(FB,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|，当点E与点C重合时，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))取得最小值，为－|eq\o(FC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|.由S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·sin120°＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，cos∠BAC＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,\a\vs4\al(2|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|))＝－eq\f(1,2)，得|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),7).因为D是靠近点B的三等分点，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(7),3)，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|2－|\o(AF,\s\up6(→))|2))＝eq\f(5\r(7),7)，从而eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的最大值|eq\o(FB,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(5\r(7),7)×eq\f(2\r(7),3)＝eq\f(10,3).|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|－|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(7),7)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的最小值－|eq\o(FC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|＝－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(2\r(7),3)＝－eq\f(4,3).故选D.二、多项选择题9．(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则()A．a·b＝10B．向量a与b的夹角为eq\f(3π,4)C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\r(7)D．向量c＝(－6，2)与a垂直答案：BD解析：对于A，∵a＝(1，3)，b＝(2，－4)，∴a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，故A错误；对于B，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－10,\r(10)×\r(20))＝－eq\f(\r(2),2)，又0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与b的夹角为eq\f(3π,4)，故B正确；对于C，∵a＋eq\f(1,2)b＝(1，3)＋eq\f(1,2)(2，－4)＝(2，1)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故C错误；对于D，∵c·a＝－6×1＋2×3＝0，∴c⊥a，故D正确．故选BD.10．(2025·江苏泰州模拟)定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题正确的是()A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4B．在正三角形ABC中，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AC,\s\up6(→))|·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|3)＝eq\f(3,2)C．若|a×b|＝eq\r(3)，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为12D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2eq\r(3)答案：ABD解析：对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|sin∠BAD＝4，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，所以A正确；对于B，设正三角形ABC的边BC的中点为E，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AC,\s\up6(→))|·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin60°·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2·eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|3)＝eq\f(\r(3)|\o(BC,\s\up6(→))|2|\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|3)＝eq\f(\r(3)|\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2)|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2)，所以B正确；对于C，因为|a×b|＝eq\r(3)，a·b＝1，所以|a|·|b|sin〈a，b〉＝eq\r(3)，|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以tan〈a，b〉＝eq\r(3)，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，所以|a||b|＝2，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2≥2eq\r(4|a|2·|b|2)＋4＝12，当且仅当|a|＝2|b|＝2时，等号成立，所以|a＋2b|的最小值为2eq\r(3)，所以C错误；对于D，若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则当|a|＝eq\r(2)，〈a，b〉＝eq\f(π,4)，|c|＝4，〈b，c〉＝eq\f(π,6)时，〈a，c〉＝eq\f(π,6)＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，sineq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,6)coseq\f(π,4)＋coseq\f(π,6)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，此时|a×c|＝|a||c|sin〈a，c〉＝4eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝2＋2eq\r(3)，所以D正确．故选ABD.11．已知16个边长为2的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－20B.eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(5,19)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(7,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(13,12)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量的模为2eq\r(7)答案：BC解析：因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形．以该图形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－5，0)，B(3，2eq\r(3))，C(－1，－2eq\r(3))，D(4，－eq\r(3))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8，2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，－2eq\r(3))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(9，－eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－4，－4eq\r(3))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－36＋12＝－24，eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(32－12,64＋12)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,19)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量的模为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|))))＝eq\f(36＋6,\r(16＋12))＝3eq\r(7)，所以A，D错误，B正确；因为eq\f(7,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(13,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(56＋52,12)，\f(14\r(3)－26\r(3),12)))＝(9，－eq\r(3))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以C正确．三、填空题12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．答案：－eq\f(9,2)解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(9,2).13．(2025·山东潍坊联考)已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(3)|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))·a＝0，则a与b的夹角为________．答案：eq\f(π,6)解析：设a与b的夹角为θ，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))·a＝0，所以a·b＝eq\f(1,2)|a|2＝eq\f(3,2)|b|2，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2)|b|2×eq\f(1,\r(3)|b|2)＝eq\f(\r(3),2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).14.(2025·山东青岛模拟)如图，函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知点A，D为f(x)的零点，点B，C为f(x)的极值点，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，则函数f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(5π,6)))解析：由题图可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))，又T＝eq\f(2π,ω)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(π,ω)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(π,2ω)，\r(3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(π,2ω)，－\r(3)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)，\r(3)))，