辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年度第一学期期末考试试卷

九年数学

第一部分选择题

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的.请将正

确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内.

1.在平面直角坐标系中，点A（l,-3）与点3关于原点成中心对称，则点3的坐标为（）

A.（-1,-3）B.（-1,3）C.（L-3）D.（1,3）

2.用配方法解方程寸-8工=-1，变形后的结果正确的是（）

A.（x+4『=l5B.（x+4『=17C.（x-4）2=15D.（x-4）2=17

3.图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若。为A,的中点，=则NA。。

的度数为（）

4.已知反比例函数y=之，则下列描述不正确的是（）

X

A.图象必经过点（一-3）B.图象位于第一、第三象限

C.当xvO时，丁随x的增大而减小D.当x>l时，）>3

5.某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在•个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个.将

球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白

球的个数为（）

摸球次数〃摸到黑球的次数小摸到黑球的频率丝

n

50280.56

100610.61

150930.62

2001240.62

2501450.58

3001890.63

5003000.60

A.7B.8C.10D.12

6.已知关于％的一元二次方程〃浸-4x+2=0有两个实数根，则机的取值范围是（）

A.〃?<2且〃?#0B.，〃与2

C.，〃42且〃?¥0D.m22且/〃W0

7.如图，VA8C内接于（。4。是的直径,,若NB=25。，则NC4。的度数是（）

B

A.65°B.70°C,.75°D.80°

8.二次函数y=，+/u—c的图象如右图所示，反比例函数y二@与正比例函数），=hx在同一坐标系内的大致图象

X

是（）

*

。,二

9.如图，在RIZXA8C中，ZACfi=90°,ZA=30°,AC=2后，将YABC绕点C旋转得到.DEC,当点。恰好落

在直线AA上时，A。的长为（）

A.3GB.4GC.26+2D.6

2

10.如图，以正六边形A8COE尸的顶点A为圆心,AC的长为半径画孤，得到CE，连接A。，AE,若CE的长为士乃,

3

n25/3

33

第二部分非选择题

二、填空题（共6题，每题3分，共15分）

H.如果加是方程丁+3工一4=0的一个根，贝b〃2+3〃?=.

12.当时，二次函数），=f-2x+3的最小值为6,则〃的值为.

13.如图，A8是GQ的直径，过点。的切线与A8的延长线相交于点C,且NC=3NA,则NC的度数为一。.

14.如图，ZAC8的顶点C在量角器的外周边上，射线C4,C8与量角器的交点A和3对应的刻度分别是40和150,

则NAC8的度数为

C

13.如图，矩形八以刀的边A4与）涮平行，顶点〃的坐标为（1,〃?），。（5,,〃十2）,反比例函数1y="（x>0）的图象

X

同时经过点A与点C,则k的值为.

三、解答题（共8题，共75分）

16.解方程.

（I）X2-2A-I5=0:

⑵（x-3『=2（3-x）.

17.如图，在平面直角坐标系工3,中，一次函数，=2x+4的图象与y轴交于点儿，与反比例函数），=&代=0）在第

X

一象限内的图象交于点8,且点B的纵坐标为6.过点A作AC〃x对l交反比例函数），=4（2工0）的图象于点C,连

X

接BC.

（1）求反比例函数的表达式;

（2）求VA8C的面积.

18.瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用.图2为其

平面示意图，4,。为。。上的两点，连接AC,AC//1（桌面），。。的半径。4=26cm,AB,CD分别与直线/垂

直于4,。两点，A/?=CD=3cm,AC=20cm,过点。作OE_L/于点E,交AC于点F,求圆心。到桌面/的距离

OE.

即图2

19.某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份调杳问卷，并在该小区随机调查了50人,

并将部分调查数据制成如下两个统计图.请根据统计图问答问题：

调查问卷

年龄岁；具体地址：

问题1：您乘坐免费公交车吗（）

A.从不坐B.偶尔坐C.经常坐

问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价（）

A.满意B.不太满意

②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满

意”的概率为;

（2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效

的解决乘坐免费公交车的方案.求恰好抽到20岁~55岁这个范围内的居民的概率.

20.为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建•个面积为30平方米的快递投放点.如图是

其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形A8co且一边靠墙，这堵墙长10米，在垂直于墙的两边

分别开设“进口”和“出口”两道L5米宽的门.准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投

放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米.请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边A3和

3C的长.

21.如图，在。。中，AB为弦，C。为直径，且48_LCO于点E,连接AC,过点8作8尸1AC于点b与CO相

交于点G,连接8Q.

c

(1)求证：E是线段OG的中点.

(2)若AB=8,OG=1,求0。的半径.

22.在VA8C中，CA=CB,。为A8的中点.将工CD4以点。为中心顺时针方向旋转，点A,。的对应点分别为

(1)如图1,当时，判断四边形AQBE的形状，并说明理由;

⑵如图2,当点A恰好落在AC边上时，

①猜想线段跖，4七的数最关系，并说明理由；

②若AC=10,A8=8,请直接写出线段4A的长度.

23.(U如图1,点8是线段CQ上的一点，AC1I3C,ABVBE,ED上BD,垂足分别为C,B,D；AB=BE.求

证：ACB^BDE；

(2)如图2,点八(-5,〃)在反比例函数y=3图像上，连接。4,将04绕点。逆时针旋转90到0B,若反比例函数

-X

y=K经过点3.

X

①求点A的坐标，

②求反比例函数y=A的解析式；

X

(3)如图3,抛物线)，=/+41-5与x轴交于A8两点(点4在点B的左侧)，与丁轴交于C点，已知点Q(0,T),

连接42,抛物线上是否存在点P,使得NPAQ=45,若存在，求出点P的横坐标.

解：•・•点A（l「3）与点8关于原点成中心对称,

，点B的坐标为（-1,3）.

故选:B.

2.C

解：:方程x?—8x=—1,

・••配方需加0=16于两边，

得％2-8工+16=-1+16,

即（1）2=5

・••变形后结果为（x-4『=15.

故选：C.

3.A

解：为A8的中点，

，AD=BDt

ZAOD=ZBOD=-ZAO8=5（尸.

2

故选：A.

4.D

解：A、〈I，k=3>0,

x

・••当工=一1时，），二-3,图象经过点（―1,一3）,

・・・A正确；

B、.A:=3>0>

•••图象位于第一、第三象限，

AB正确;

c、・••在每个象限内，y随x增大而减小，

当工<（）时（第三象限），y随x增大而减小，

，c正确；

D、当工>1时，例如x=2,y=15<3,故y<3,

・・・D错误.

故选：D.

5.B

解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6,

二袋中三球的个数为20-20x0.6=20-12=8（个）,

故选:B.

6.C

解：•・•方程尔2-44+2=0有两个实数根，

/.A=（-4尸一4x〃7x2=16-8〃7之0,且H0,

UP16-8/w>0,解得〃？W2,

mW2且机工0.

故选：C.

7.A

解：连接C。，

•・•A。是0。的直径，

・•・NACD=90。，

•・•/O=/8=25。，

在Rt/CO中，

VzfC4D+ZD=90°,

J^C4D=90°-25o=65°,

故选：A.

8.B

解；Yy=皿2]/a।。的图象开口向下,

av0,

对称轴在y轴的左侧,

••・反比例函数y=g在第二、四象限，正比例函数），=法在第二、四象限,

X

故选：B.

9.D

解：VABC绕点C旋转得到DEC,

CA=CD,

vZA=30°,ZL4CB=9O°,

•••N/WC=N3CD=30。，

又；AC=2B

在RtA48C中，

生小3。。=正，

AC3

BD=BC=—x2y/3=2,

3

AC_75

----=cos30n°o=—,

AB2

•••AB=2g+二=4,

2

AD=AB+BD=4+2=6.

故选：D.

10.D

解：设正六边形ABO"的边长为M

/.AB=BC=x,AABC=ZBAF=(6-2)xl8°=120°,

6

*/ZABC+ZBAC+/BCA=180°,

・•.NBAC=1(180°-ZL4BC)=^x(180°-120°)=30°,

过8作_LAC于"

22

在中，AH=yjAB2-BH2=—x,

2

，AC=y/3x,

同理可证，ZE4F=30°,

/.ZCAE=ABAF-ABAC-ZEAF=120°-30°-30°=6()°,

2

••・CE的长为彳乃，

.60/r\/3x2

••-------------=—7T»

1803

解得尸舅I,

3

正六边形的边长为毡.

3

故选：D.

11.4

解D是方程x2+3x-4=0的一个根,

.•.当x=〃?时，有病+3/»-4=0,

ni2+3m=4.

故答案为:4.

12.-I

可知二次函数y=Y-2x+3开口向上，当x=l时，)，取得最小值为2.

令)'=6,得方程一2x+3=6，解得人=3或人=一1.

由于当〃时最小值为6,因此〃=-1.

故答案为：—1

13.54

解：如图，连接。。,

D

•••CO为。的切线，

：.ODLCD,

，ZODC=90°,

•・•成）所对的圆心角为ND。"，圆周角为/RAO,

，ZB0D=2ZA,

VZC=3ZA,在即ODC中，ZBO£）+ZC=90°,

・•・2/4+3/4=90。，

・•・ZA=180,

/.ZC=3zSA=18°x3=54°,

故答案为：54.

14.125°

解•：连接点A、B与量角器圆心，如下图所示：

・•・ZAO/?=150o-40°=110°,

•・•点A、C、〃三点共圆，

优弧A3所对圆心角为360°-ZAOB=250°,

故优弧A8所对圆周角48=芋250°=125。,

故答案为：125。.

解：•・•矩形A8CZ）的边A8与），轴平行，顶点8的坐标为（口〃），。（5/#2）,

/.A（l,/n+2）,C（5,m）,

•・.反比例函数k＞0)的图象同时经过点A与点C,

/.&=5〃2=1X(/〃+2),

解得昨;，

s

・•・A=二C.

乙

故答案为：

16.(1)%=-3,x2=5

(2)%=3,x?=1

(1)解：X2-2X-15=0

(x+3)(x-5)=O

，x+3=0或工一5二(),

解得玉=-3,x2=5；

(2)解：-3)2=2(37)

(X-3)2+2(X-3)=0

(x-3)(x-3+2)=0

.・・x-3=0或x-l=0,

解得％=3,x2=l.

17.⑴y=9

x

尾

(1)解：把丁=6代入，=2x+4,得K=1,

二.8(1,6),

把8(1,6)代入＞，=：,得々=6,

所以反比例函数的表达式为)，=9；

x

(2)解：■一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点4

••・当x=0时，＞,=4,

.••点4的坐标为(0,4),

AC〃/轴，

•••点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是4,

•••点C在反比例函数y=9的图象上，

X

3

二当)，=4时，解得x=1,

AC=~,

2

如图，过8作BDJLAC于/),贝I」=-乂?=2,

]133

:.S=-/4C-fiD=-x-x2=-.

A4B。C2222

18.27cm

VAC///,OEAJ,A3,CO分别垂直于点B,D,

:、OF'AC、所=A8=CO=3cm.

;AC=20cm,

AF=CF=—AC=10cm.

2

在RI.AOF中，根据勾股定理得OF=JAO2-A尸=24，

，OE=OF+EF=24+3=27(cm).

19.(l)©30,10；②

说

(1)解：①55岁以上的有50x60%=30(人)，

1-60%-30%=10%,

772=10»

故答案为：30,10：

②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为岩Y=三,

4+3+2315

故答案为：*13

(2)解：不满意的人有(3-2)+(23—20)=4(人)，

设20岁~55岁这个范围内居民为55岁以上的三位居民分别为4,层，层,

根据题意，列表格如卜.：

AB、B2

A(4，A)(%A)(四,A)

Bi(A8J(B®(鸟，线)

当(ABJ(4鸣)

4(A闯(4,员)3W)

或画树状图如下：

由表格可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，

其中恰好选20岁~55岁这个范围内居民的有6种情况，即(A8J,(A区),(A3J,(缥A),(%A),(四㈤,

・••恰好抽到20岁~55岁这个范围内的居民的概率=提=!.

122

20.AB长6米，8C长5米.

解：设44长为％米，则8c=(14+1.5+1.5—2"米，

根据题意得：A(14+1.5+1.5-2A)=30,

解得：芭=2.5,x2=6,

当AB=2.5时,BC=12>10(不符合题意，舍掉)，

当A8=6时，BC=5<10,

答：这个快递投放点的边AB长6米，BC长5米.

21.(1)见解析

13

(2)O的半径为j

(1)正明：ABLCD.BFJ.AC,

/CFG=ZGEB=/DEB.

.NCGF=NBGE,

4C=4GBE.

;A。=AO，

/.NC-NDBE,

:.NGBE=NDBE.

/GER-NDEB

VIBE=BE,

/GBE=NDBE

.工BG哙BDE(ASA),

/.ED=EG，

是线段OG的中点.

(2)解：如图，连接。A.

设。A=r,则0G=r+l.

由(1),知E。=EG,

OE=-----.

2

AB1CD,

OE2+AE2=OA2,艮I」(号)+42=/,

解得厂=£(负值已舍去)，

13

:.O的半径为三.

22.(I)四边形AQBE是菱形，理由见解析

⑵①席二人石，理由见解析；②与

(1)解：四边形4。8石为菱形，理由如下:

VAG〃AB,

=^\DA,

根据旋转的性质可得=/A，A。=4。,

CA=CB,

4=44=幺94,

EB,

AC〃八笈,

・•・四边形人。8七为平行四边形，

。为八B的中点，

AD=DB=A,D,

・•・平行四边形4。4石为菱形；

(2)解：®BE=A,E,理由如下:

如图，连接8G，

根据旋转可得NA%=ZCDC,,DC=DC,,

-CA=CB,。为AB的中点，

:./CDA=/CDB=900,

ZCDA-NAD4,=NCDB-ZCDC),即幺DC=ZBDC,

根据(1)中可得从。=。6=4。，

A08BDC{(SAS),

:.A.C=BC}t必CD=NBCQ,

CA=CB,。为A5的中点，

ZACD=ZDCB=NAG。，

NAQ+Z.DCB=/BCQ+NA£D,即ZAtCE=ZBC.F,

QZCEA,=REB,

.二。场且工仍(AAS),

:./\E=BE；

②如图，过点。作OMUAC于点M,

.'.CD=X!AC2-AD2=2V21，

4wk工门八4-ACM。ADCD

根据二角形面积公式可得一--=---,

八小ADCD4历

MD=-----------=--------，

AC5

根据勾股定理可得AM=JAD-MD?=I,

QDA=DA,,DM!AAit

A4,=2AM=y.

23.(I)证明见解析；(2)①8(1,-5),0y=--；(3)存在，g或

(1)正明：vACA-BC,AB1BE,

,ZACB=ZABE=90°,

*/NC48+/C8A=90。，

ZABC+NDBE=90。.

4CAB=/DBE,

又•••ZAC8=N8DE=90。，AB=BE，

・••ACB^BDE(AAS).

(2)解：①•••点4(-5,〃)在反比例函数y=*上，

X

a=—=—1,

—5

工点A坐标为(一5,T),

过点A作4c_Lx轴交x轴于点C,过点“作轴交y轴于点。，如下图所示:

・•・"00=403=90°,

•••ZCOA+ZAOD=90°,

ZAOD\NDOB=9()。.

，NC0A=/D0B,

又•二400=47X)=90°,0A=0B,

・•._ACg班)0(AAS),

：・0C=0D,AC=BD,

丁点4坐标为(-5,-1),

A0C=5,