一元一次方程特殊解压轴的三种考法（解析版）

专题07一元一次方程特殊解压轴的三种考法

类型一、整数解问题

例.已知关于X的一元一次方程x-与竺二与-1的解是奇数，则符合条件的所有整数a

62

的值有（）

A.3个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】首先解一元一次方程求出x=£，因为方程的根是奇数，故令x=J-=2k+l,

3+a3+a

（k为整数），贝1］。=-3+3，然后取k值使得。取整数即可得出结果.

【详解】解：去分母：6A-（3-av）=3（x+3）-6,

去括号：6x-3+ar=3x+9-6,

移项合并同类项：（3+a）工=6,

系数化为1："=/—，

3+a

回方程解是奇数，令x=J-=22+i,a为整数），

刖取整数，

同〃=±1或-2或0,

当〃=0时，。=3；当人=-1时，a=-9；当A=1时，a=T：当左=-2时，a=-5,

回符合条件的a的值有4个，

故选：B.

【点睛】本题考查解一元一次方程，根据解的特点求参数的值.正确求出方程的解，再令解

等于奇数，求出。的值是解本题的思路.

【变式训练1】已知A为非负整数，且关于k的方程2（工-2）=与+4的解为正整数，则女的

所有可能取值的和为（）

A.12B.13C.14D.-12

【答案】C

【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出女的值即可.

【详解】解：2&-2）号+4,

方程去分母得：6*-2)=辰+12

方程去括号得：6x-12=Ax+12,

移项合并得：(6-攵卜二24,

解得：X=二24，

6-k

由x为正整数，2为非负整数，

得至以=5,4,3,2,0,

05+4+3+2+0=14,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤.

【变式训练2】若关于/的一元一次方程与=；+。(l+12)的解是负整数，则符合条件的所

326

有整数A的和为()

A.-5B.-4C.-2D.0

【答案】B

【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解关于4的方程，再

根据解为负整数，即可求解.

【详解】解：与=汜"+12)

326

去分母，2米=3x+x+12

移项，2米一3x-x=12

合并同类项,(24-4)%=12

12

系数化为I，x=——,且2A-4H0,即女工2,

2攵一4

1?

团解是负整数，团户药<0’且为整数，

回2"4<0,12与兼-4是倍数关系，且左为整数,

1212

回当欠=1时，x=—~---=-6,符号条件;

2左一42x1-4

121?

当k=0时，x=——-=----=-3,符号条件；

2k-42x0-4

1212

=2符号条件;

当左二一1时,'-2^-4-2x(-l)-4

_12_12_3

当&=一2时,A-2々一4-2x(-2)-4~~2不符号条件;

12126

当出=一3时,A-2/1-4-2x(-3)-4--5不符号条件;

1212

当k=T时，x=符号条件;

2女一42x(-4)-4

当A=-5时，-於7=2X(W符号条件；

13整数次的值为1,0,TT,01+0+(-1)+(-4)=-4,故选：B.

【点睛】本题主要考查方程的解求参数，掌握解一元一次方程的方法，检验参数的值是否符

号题意是解题的关犍.

【变式训练3】已知关于x的方程依=5-x的解是负整数，那么整数左的所有取值之和为()

A.4B.0C.-4D.-8

【答案】D

【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为工=7',结合原方程的解是负翼k为

整数，可得出”的值，再将其相加即可得出结论.

【详解】0Aiv=5-x

(a(z+i)x=5,

当％=-1时，原方程无解:

当人工一1时，x=——.

女+1

回原方程的解是负整数，且女为整数，

团2+1=-1或2+1=-5

以=-2或-6,

因整数k的所有取值之和为一2-6=-8.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数%的值是解题的

关键.

类型二、含绝对值问题

例.已知方程土+。=回X-1*一6).

333

⑴若方程的解是-9,那么。的值是多少？

(2)当。取何值时，方程无实数解？

【答案】⑴"T或。=2；(2)〃=-2

【分析】(1)当方程的解为9时，将x=9代入可得关于〃的方程，解出即可得出。的值；

(2)将原方程整理为标准的•元•次方程，根据•元一次方程必+〃=c,根据m=0,■〃工()

时，方程无解，列式求解即可.

【详解】(1)解：将x=-9代入可得：-3+〃=-3|〃|+5,

当时，-3+。=一3«+5,解得。=2.

当“V。时，-3+a=M+5,解得a=T,

故可得方程的解是-9,加么a=-4或。=2.

(2)整理方程得：上抖,x=2-a,

当匕詈=0,2-。工0,方程无解，

解得：〃=-2,即当〃=-2时，方程无实数解.

【点睛】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程，解答本题

需要掌握根的个数与一次项系数、常数项的关系.

【变式训练1】已知|。一"=2,|2b一1|=1,且--a,求a+b.

【答案】。或-1

【分析】根据绝对值的定义得到〃力的值，代入代数式即可得到结论.

【详解】解：0|a-l|=2,|2^-1|=1

团a-1=±2,2b—1=±1

解得：。=3或-1,b=l或0

^\\a-b\=b-a

助”，

当。=3时不符合题意

当a=・l,Z?=l或0时，〃+/,=()或-1

回a+8=0或-1

【点睛】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，掌握绝对值定义是解题的关键.

【变式训练2】方程学一华=1的解是______.

48

【答案】±4

【分析】解一元一次方程，准确利用绝对值的性质分类讨论即可；

【详解】当天20时，-一手=1,得x=4；

48

当xv0时，-----~~-=1,得x=T.

48

故答案是±4.

【点睛】本题主要考查了求解一元一次方程，准确利用绝对•值的性质是解题的关键.

【变式训练3】满足方程|2|2工-4|-3|=2工-1的所有解的和为多少？

【答案】8

【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号,得到两

个一兀一次方程,求出方程的根，即可得到结果.

【详解】解：①当2x-4、。时，

方程化为|4.E-U|=2X-I,

即4x-ll=2x-l或4尤-11=1-2r,

解得x=5或x=2；

②当2x・4<0时，

方程化为|5-甸=21,

BP5-4x=Zv-lE^5-4x=l-Zv,

解得X=1或x=2(舍去),

故方程1212A4|-3卜24一1的所有解的和为5+2+1=8.

【点睛】本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程,由于带有绝对值符号，必须对题目进行

讨论.

类型三、整体代入法解方程

例.若关于x的一元一次方程1,门4=几门〃的解为x=-3,则关于y的一元一次方程

m

,()，-2)+4=〃()，-2)+。的解为()

A.>'=3B.y=lC.y=-3>D.y=-1

【答案】D

13

【分析】将工二一3代入关于x的一元一次方程中上x+4=m+a,得到-3+4=-3〃+*然

intn

后和关于y的一元一次方程《(y-2)+4=〃(k2)+〃对比即可求出)，的值.

【详解】解：,关于x的一元一次方程=的解为x=-3,

m

31

二•一新+4=-3〃+。和关于)，的一元一次方程蔡(y-2)+4=〃(y-2)+a对比，

可得：尸2=-3,

解得：y=-L

故选：D.

【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两个

一元一次方程的对应关系是解决此题的关键.

【变式训练1】已知关于X的i元一次方程20231-3=©+”的解为x=6,则关于)，的一元

一次方程2023(1-)，)+3=4(1-)，)-3b的解为()

A.)'=-5B.y=-7C.y=5D.y=7

【答案】D

【分析】先把所求方程变形为2023()，-1)-3=4()，-1)+38，设)，-1=〃，则

2023m-3=4m+3/?,根据题意、可得关于/〃的一元一次方程2023〃?-3=4/”+3b的解为m=6,

则可求出y=7,由此即可得到答案.

【详解】解：E2023(1-j)+3=4(l-y)-3^,

回2023()，-1)-3=4(丁-1)+36,

设丁-1=切，则2023/〃-3=4〃?+幼，

团关于x的一元一次方程2023x—3=4x+3b的解为x=6,

团关于，〃的一元一次方fV2023/??-3=4m+3b的解为，〃=6,

0y-1=/7?=6,

团y=7,

团于y的一元一次方程2023(1—y)+3=4(1—)，)—3%的解为y=7,

故选D.

【点睛】木题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为

2023(丁一1)-3=4(丁-1)+3。是解题的关键.

【变式训练2】已知关于％的一元一次方程品+5=20I9x+〃?的解为x=2018,那么关于丁

的一元一次方程益+5=20]9(5_y)+，〃的解为.

【答案】y=-2013

【分析】在方程益十5=2019(5-)，)十，〃中，令K—5一1可得苏十5=2019)十，〃，由题意

可得工=5-)，=2018,即可求解.

【详解】解：在方程|^+5=2019(5-y)+机中，令x=5-y,

Y

可得一^―+5=2019x+/〃，

2019

由题意可得，方程品+5=2019x+m的解为x=2018

则x=5-y=2018

解得y=-2013

故答案为：y=-2013

【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代

换的思想是解题的关键.

课后训练

1.如果关于X的方程(〃z-2)x=8无解，那么机的取值范围是()

A.m=-2B.“7工一2C.m>-2D.in<-2

【答案】A

【分析】只有当”的系数为0时关于x的方程(初+2)x=8无解，据此求解即可.

【详解】①关于x的方程(m+2)1=8无解，

团〃z+2=0,解得〃?=—2,

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键.

2.已知关于大的方程收=9-1有正整数解，则整数女的最大值为.

【答案】8

【分析】先求出方程的解，根据已知得出4+1=9或3或1,求出即可.

9

【详解】解：解方程依二9一1得：工=3，

同关于x的方程h=9-x有正整数解，氏为整数，

团攵+1=9或3或1,

解得：女二8或2或0,

瞅的最大值是8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于女的方程是解此题的关键.

3.若关于x的方程工+『二方有无数个解.贝卜必的值为.

【答案】1

【分析】方程移项合并，令x系数等于0,求出。的值，即可得到结果.

【详解】不+胃=力整理得=6+

团X+甘=b有无数个解，

01+-=0,"=0,

33

解得a=-3,b=,

团a/?=1,

故答案为：1.

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

4.若关于x的方程1月=奴+1只有一个负根，则。的取值范围是

【答案】a」

【分析】分别确定x为正，x为负时〃的取值，然后即可确定。的范围.

【详解】解：当x>0时，方程是：x=ax+\

解得：工=占，根据题意得：1一〃>°，

解得：a<1,此时有正根，

则时有负根，

当x<0时，-x=or+l,

解得：x=,根据题意1+a>0,

解得：a>-\,

综上所述;a1时，方程闺=⑪+1只有一个负根.

故答案是：a..1.

【点睛】本题主要考查了绝对值方程的解法，正确去掠绝对值符号，是解题的关键.

5.已知关于x的一元一次方程/x+4=2x+b?的解为x=2,那么关于y的一元一次方程

需(y+l)+4=2(y+l)+b：的解为y=—.

/AJ1D

【答案】1

【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x,据此即可求

解.

【详解】由题意得y+l=2,

解得y=L

故答案为：1.

【点睛】此题考查解一元一次方程，根据题中的已知条件得到两个方程的关系：第二个方程

中的y