依“法”解决数列新定义（高三备考）教师版

第5题依“法”解决数列新定义(解透一题)

【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11]

(多选题)设数列｛4｝和低｝的项数均为〃，，称为数列俎｝和他｝的距离.记满

1-1

足4+1=*生的所有数列｛q｝构成的集合为C.已知数列｛4｝和｛纥｝为。中的两个元素，

项数均为则下列正确的有()

A.数列135,7和数列2,4,6,8的距离为4

B.若〃?=4p(〃£N)则A4…4=8向…爆

C.若〃7=4〃(〃£N)则为14K机

/=|

D.若A=2,居=3,数列｛A｝和｛0｝的距离小于2017,则,〃的最大值为3456

本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的而离这一新概念来创设问题情境考

察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础,

既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于

新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题

中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推

数列的知识上来，从而解决问题.

,本题给定一个新信息，数列｛〃"｝和｛"｝的距离，要求我们通过认真阅读理解、

思路分析

观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决

问题.对丁选项A,直接套用定义约定验证即可;对丁B选项，题目给出分式递推关系，根

据初始条件和递推公式，计算出前几项，再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题

中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示.从

选项提示来看，需判B选项，要关注｛q｝的前n项的积，证明或反驳加=4p(〃wN)时，

%%…品的取值与初始项无关.对于选项C,由于递推关系没有给出初始项，说明初始项可

以任意，故可以思考反例排出：对于选项D结合选项B归纳的结论套用约定解决.

详细解析

对于A,数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为|1-2|+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4,（提醒:

套用定义约定）A正确:

因此数列｛q｝中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即｛%｝满足4,用二4，/“+2=%，

=1，可以判断B正确；

对于C,举反例，取〃=1,则〃?=4,当入=机+1时，，fldK"?不成

r=Ir=1

立，故c错误：

对于D,由B分析知，若A=2,4=3,则AI〃+I=2,儿”+2=一3,4“.3=-；，4…=!，

B4n川=3,约“,2=—2,%+3=-；，4…=1,力=

5/f=iJ

等入ni760482…

Zl।A-B]=864x-=——<2017,

34553456i

ZlA-^|=ZlA-^|=|2-3|=^=2017,

I-Ir-1J

故满足数列｛4｝和｛纥｝的距离小于2017的〃?的最大值为3456,D正确.

所以，答案为ABD.

■方法总结

本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特

征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的

关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于

—二兽，我们可以深入研究”对于连续函数，若/（天）=%，则称为为/（x）

的不动点.分式函数型〃加=里三的通项公式的求解，构造函数/(x)=4U，并令

/(x)=x，求出/(%)的不动点.若/(x)有2个不动点，则用。川=四詈两端

n

分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式；若/(“只

有I个不动点，则用"七两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项;

若/(X)没有不动点，则在考题中，｛&｝往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和

递推公式《川二猛二f求出前几项找规律即可.本题就对这一性质进行编制考察.

定义”等和(积)数列，周期考察

新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学

问题能力，给出等和数列的概念，类题如下：

【典型例题】定义“等和数列”：在•个数列中，如果每一项与它的后•项的和都为同•个常

数,那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.若数列｛«,｝是等和数列，旦

4=1,公和为3,则这个数列的前〃项和S.的计算公式为

【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分〃为奇数偶数求和即可.

【详细解析】

由％=1,公和为3知。2时1=1，。2"=2,

当〃为偶数时，Sfl=a,+n2+a3+a4++an_,+an=3-=y,

当“23,〃为奇数时，〃-1为偶数，S〃=S“T+4=%3+1=浮，

:，〃为偶数

代入检验知〃二1时也成立，・•・，=<

四二为奇数

2

【举一反三】

1.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么

这个数列叫做等枳数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列｛q｝是等积数列且q=3,

前61项的和为113,则这个数列的公积为()

A.2B.3C.6D.8

【答案】A

【解析]先由题意，记44讨=4（女为常数），得出q+2=。”，即数列也｝是以2为周期的

数列，

9

再由题中条件求出/=5,即可求出公枳.

【详解】由题意,记。”。向=攵（1为常数）,

则/+|"”+2=〃，所以手■之，即凡+2=",,，

atl

所以数列｛凡｝是以2为周期的数列，

又其前61项的和为113,

所以有30（q+g）+4=113,因为4=3,

所以&=g,因此q%]=2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于基础题型.

♦11_____________

整线搭桥考分式递推

形如〃田=±7的分式型递推数列求解通项公式问题，是高考数列试题中的难点.故

c%+d

而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列｛2｝，通过求辅助数列的通项，进而再求

M的通项.显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”.

【典型例题】设4=2,。川=二匚，勿=爪工，〃eN’，则数列也｝的通项公式b,=

%+l/T

2一aa+b

【思路导引】此题给出的递推公式4讨=--属于”<*=±n7"型，试题中给出了“桥”

4+1ca“+d

“=旨¥|，通过这座“桥”，可以进一步求出｛6｝的通项.

【详细解析】

由条件得〃川二=2加且吊=4,所以数列也｝是首项为4,

公比为2的等比数列，则b.=A-2”1=2-.

【举一反三】

2.已知数列｛弓｝中q=2M“+］=(应-1)3.+2),n=1,2,3,

(I)求｛q｝的通项公式；

3/

(II)若数列｛a｝中4=2也讨=黄行,〃=123,…，证明：

我<包《〃4“_3，〃=1,2,3,

【答案】(I)｛%｝的通项公式为。“=夜［(右-1)"+1,〃=1，2,3,…

(H)证明见解析

【分析】(I)利用构造等比数列的方法求解数列｛q｝的通项公式；(II)利用数学归纳法,

证明〃=1和〃=k+1时不等式均成立.

【详解】(I)由题设：-(V2-1)(«„+2)-(>/2-\)(an-V2)+(>/2-1)(2+V5)

=(&-1)(4-75)+0,即qa—正=(0—1)(%-.

所以数列｛%-&｝是首项为2-夜，公比为&-1的等比数列，

・•・勺-0=(2-&卜夜-1尸，即@「尤=与也(&_］严=72(72-1)\

即｛《：｝的通项公式为/=夜［(夜T)"+l，〃=123,....

(H)用数学归纳法证明：

(i)当〃=1时，因应<2,么=4=2,所以

V2<Z?!<«1,结论成立.

(ii)假设当，2=%时，结论成立，即应〈々Yd，&=1，2,3,….

也即0<bk—«44-3—.

当〃=攵+1时,

（3-2&仇+（4-2&）

24+3

一…）…L

2a+3^

又一--<—4—=3-273,

24+32应+3

所以%-贝=（3-2?仍一扬<（3_2a）2血-夜”（&-1），（/7-忘）

2%+3

=&(五-1片=-「⑸

也就是说，当〃=k+l时，结论成立.

根据⑴和(ii)知虚叫陷4“_3，〃=123,・・.

【点睛】1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问

题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(I)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据.

2.在用数学归纳法证明时，第(1)步验算〃=%的〃。不一定为1,而是根据题目要求选择合

适的起始值.第(2)步，证明〃=%+1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不

是数学归纳法.

3.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的根都为同一个常数，那么

这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列｛为｝是公积不为0的等积数

列，且q=3,前7项的和为14.则下列结论正确的是()

2

A.an+2=anB.出=§C.公积为1D.6《+£+2=6

【答案】AB

【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正

误，分别讨论〃为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】设该等积数列的公积为加(机为常数，，〃工0),

根据等积数列的定义可得=或〃向4+2=加，

所以工=1,即%+2=4,故A正确；

41+2

则q=%=%=%=3,

ertllin

又axa2=m,贝I」生=%=q=],

又前7项的和为14,则4x3+3xg=14,解得加=2,即公积为2,

所以故B正确，C错误，

4

当n为奇数时《4+4+2=6,当〃为偶数时氏4,"*2=-»故D错误

故选：AB

4.设正整数〃=4・2°+4・2++4寸2,+4",其中qe{0.1},记

①(〃)=%+，4+•・•+%.贝J()

A.0(2〃)=<y(〃)B.0(2〃-3)=矶〃)+1

C.08〃+5)=<w(4〃+3)D.矶2"-1)=〃

【答案】ACD

【分析】利用”(〃)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正炭.

2k*,

【详解】对于A选项，d〃)=4i+4++4,2n=a0-2'+at-2++ak_1-2+ak-2*,

所以，3(2〃)=g+q++ak=<z?(w),A选项正确；

对于B选项，取〃=2,2n+3=7=1-20+1-2'+1-22,/.^(7)=3,

而2=O20+L*则矶2)=1,即°⑺/02)+1,B选项错误;

+3c234

对于C选项,8阿+5=4"+4"+.­+ar2*+5=1.2+l-2+«0-2+a1-2+-+4”,

所以，0(8〃+5)=2+/+4++&,

23A+20,23k+2

4n+3=4/0-2+al-2+-..4-«r2+3=l-2+l-2+a()-2+a1-2++ak-2t

所以，/(4〃+3)=2+/+4++&,因此，/(8〃+5)=04〃+3),C选项正确；

对于D选项，2〃-1=2°+21+…+2f故"2"-1)=〃，D选项正确.

故选：ACD.

5.定义“等和数列“：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.己知数列乩｝是等和数列，且4=2,

公和为5,那么阳的值为,且这个数列的前21项和的值为.

【答案】352

【分析】由题意得%+4+=5对任意的〃eN♦恒成立，从而可求数列｛凡｝的通项公式，从而

可求4K与S?1.

【详解】根据“等和数列”的定义及公和为5,可得为+，用=5对任意的〃eN恒成立.

2,“为奇数

因为4=2,所以q

r3,〃为偶数.

所以小=3.

所以S2i=10(%+〃3)+4=52.

故答案为352.

6.已知数列｛q｝的首项4=9，/+|二券二’

⑴设求数列俶｝的通项公式；

（2）是否存在互不相等的正整数阳,…,使施,一〃成等差数列，且勺-1,凡-1,%-1

成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

【答案】⑴包=（；）（«GN,）

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据｛qj中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列

是等比数列，进而求解.

（2）先假设存在，利用等差中项性质得到〃z+〃=2s,等比中项性质得到4小+4"=2.4'，再

根据基本不等式发现〃?=〃时等式成立，但题中条件是阳，L〃互不相等，从而得到结论.

4a4

【详解】（1）因为％M=~7，工0，

X+15

所以q产。,

131

取倒得小北+初，

因为4=——七肛

44

1/

所以4=--1。0〃eN1,

凡

所以也｝是9=:的等比数歹J，

所以2=-----1=-x/isN4).

a,4

（2）假设存在，则〃Z+〃=2J,（4一1）（。”-1）=（4一if，

由（1）得=

化简得4"+4"=24，

因为¥+4"N2-1染"”=2・4，当且仅当〃?=〃时等号成立,

又〃js,〃互不相等，

所以4"+4〃>2・4'，即不存在符合条件的加，5，〃.

7.若数列｛4｝和也｝的项数均为川，则将数列｛叫和也｝的距离定义为

⑴求数列I,3,5,6和数列2,3,10,7的距离：

⑵记A为满足递推关系=岩的所有数列｛4｝的集合，数列｛〃｝和｛cn｝为A中的两个

元素，且项数均为切.若4=2,c.=3,数列低｝和｛%｝的距离2性-。氏2024,求/〃的最

大值：

⑶记S是所有7项数列｛q｝（其中4=。或1）的集合，TcS,且7中的任何两

个元素的距离大于或等于3.求证：7中的元素个数小于或等于16.

【答案】⑴7

（2）3469

（3）证明见详解

【分析】(I)由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离;

47

(2)由题意分析可知A中数列项的周期性，可得=与结合周期性求得加的最大值;

/-I3

⑶假设7中的元素个数大于等于17个，设出｛6｝,｛4｝,｛£｝,最终求得力|工-小2和

r=1

火I工-4区2中必有一个成立，与已知矛盾即可得解.

1=1

【详解】(1)由题意可知：数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为1+0+5+J7.

(2)设4=〃，其中〃了。，且〃=±1,

I+凡.I+p1p-1

因为凡+1=•；----,则％—，%=一一，4=—T，%=〃=%，

]一%\-pp〃+]

则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次.

在数列出｝中，a-=2也一=-3也I=eN'；

在数列｛。“｝中,。4卜3=3、4_2=-2,©4J-%=J，&WN";

A+Ik

因为性一q|>o,可知XM-之-q|,

r«l

即项数〃?越大，数列｛%｝和｛5｝的距离越大，

4734684x867[

由ZW-c,l=三得:£I=£1^-I=TX867=2023<2024,

r=lJr=l；=lJ

切

可知：若〃区3468时，2心，一。|<2024；

J=1

346934683468

又因为Z的一q|=Z性一d+区/一