用公式法分解因式 闯关练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

17.2用公式法分解因式闯关练2025-2026学年

初中数学人教版（2024）八年级上册

一、单选题

1.下列各式能用公式法因式分解的是（）.

，2

A.-x2-x)>+y2B.x2+2xy-y2C.x2+xy+y2D.一厂-厂

4''

2.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（）

A.16—+1B.f+2x—1C.X2—A'H--D.a2+2ab-4/72

4

3.对多项式a>-4〃分解因式，正确的选项是（）

A.a(〃/-4)B.6/(/??+2)(/7?-2)C.(m+2a)(m-2a)D.

4.下列能用平方差公式因式分解的是（）

A.厂+1B.x2—2.x+1C.寸+xD.x-\

5.若多项式/+]+,能直接用完全平方公式进行因式分解,则所代表的单项式不可以是（）

a

A.2aB.-2aC.TD•七

6.下列因式分解正确的是（）

A.(x+l)2=x2+2x+\B.2/-8=2(X+2)(X—2)

C.x~—x+2=x(x—1)+2D.X2+2X-1=(A-1)2

7.因式分解d-i8f+81的结果为（)

A.(.r+9)2B.(X2-9)2C.(x+9『(x-D.(X+3)2(X-3)2

8.因式分解：x3-4x=（）

A.x(x2-4)B.x(x+4)(x-4)

C.x(.r+2)(.r-2)D.

9.卜.列算式中，计算结果为幺+x-12的是（)

A.(.r+3)(x-4)B.(x-3)(x-4)

C.(x-3)(x+4)D.(x+3)(x+4)

10.若多项式f+”+〃可因式分解为（x+9）（x-6）,则b的值为()

A•—3B.3C.-54D.54

H.下列算式计算结果为/-工-12的是（）

A.(x+3)(x-4)B.(x-3)(x+4)

C.(x-3)(x-4)D.(x+3)(x+4)

12.下列式子中，属于2/-9+21-1的因式的是()

A.x2B.2xC.2x-lD.2x+l

二、填空题

13.因式分解：a2+2a-3=_.

14.分解因式：Y一4盯+4y2=.

15.分解因式：x2-y2+y-x=

16.因式分解：a2(a-b)+b2(b-a)=.

17.若K是自然数，x+13和x-72都是完全平方数，那么x=.

18.a2+2ab+Z?2-c2=0»a+b+c=5.则a+Z?-c=.

三、解答题

19.把下列各式因式分解：

⑴1+8〃+16:

(2)-Amn-4〃?2-n2；

(3)(〃+时+6(々+彻+9；

(4)(x—l)(x—3)+1.

20.己知岁=4,x+)，=5,求/3)，+2./)，2+93.

21.已知〃为正整数，求证：(4〃+3)2-(2〃+3)2能被24整除.

22.已知4y2+"?)，+9是完全平方式，求〃?的值.

23.已知关于x的多项式M,当M-(2x+l)(2x—l)=(x+l)(x+4)时，完成下列各题.

⑴求多项式M;

(2)①若3m=1,求多项式M的值；

②若x(x+l)=l,求多项式M的值.

24.对于一个正整数N,若N能写成：N=a2+b2-ah(4方为正整数),且。=3&+1为=34-1(其

中k为自然数)，则称N为“幸运整数”.例如：当&=1时，〃=4/=2,则N=12,所以12是“幸运

⑴求三位数中最大的“幸运整数”:

(2)如果两个“幸运整数”的差是72,求这两个“幸运整数”.

25.将--个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如：+cm+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+〃(“?+〃)=(4+〃)(〃?+〃).

⑴分解因式：ab+a+b+\；

(2)若“，"㈤都是正整数且满足必-为-幼+4=8,求2a+》的值；

(3)若“，〃为实数且满足心一。一〃一1=0,整式M="2+3出?+〃2一9〃一7〃，求整式M的最小值。

26.【阅读材料】因式分解：(x+)y+2(x+)，)+l.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,

则原式=A2+2A+1=(A+1)2.

再将“A”还原,原式=(x+y+l)2.

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

【问题解决】

⑴因式分解：(〃一44(/—4a+8)+16；

⑵证明：若〃为正整数，则(2,2+1)(〃+2).(2]+5〃)+1的值一定是某个整数的平方.

参考答案

题号12345678910

答案ACBDDBDCCC

题号1112

答案AC

1.A

【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可.

【详解】解：A、ix2-^+y=(1x-y)2,故本选项正确；

B、/+2》y2一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；

C、/+孙-V中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；

D、-必-卡不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项

的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键.

2.C

【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；

【详解】16/+1不能用完全平方公式，故A不符合题意；

寸+2工-1不能用完全平方公式，故B不符合题意；

A-2-X+^=^V-1J,能用完全平方公式，故C符合题意；

/+2H-4/不能用完全平方公式，故D不符合题意；

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键.

3.B

【分析】本题主要考杳了提公因式法与公式法的综合运用，关键是在分解因式时首先要考虑提取公因

式，再考虑公式法进行分解•，首先提取公因式。，然后再利月平方差进行二次分解.

【详解】解：^w2-4o=a(m2-4)=a(m+2)(/n-2),

故选:B.

4.D

【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点.根据能

够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断

即可.

【详解】解；A、是一与|的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；

B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；

C、两项的符号不相反，不能月平方差公式进行分解，故此选项错误：

D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确：

故选：D.

5.D

【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中

间，进行判断即可.

【详解】解：A、/+l+2a=(a+l＞，不符合题意；

B、a2+1-2«=(«-1)",不符合题意；

C、«2+l+—=f—+J,不符合题意；

4(2J

D、/+]_《，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意；

4

故选D.

6.B

【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法.依据因式分

解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论.

【详解】解：A.(X+1)2=X2+2A+1,属于整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意；

B、2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2),因式分解正确，故选项B符合题意；

C、X2-X+2=X(X-\)+2,右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故选项C不符合题意；

D、x2+2x-l-2x+l=(x-l)2,等式不成立，故选项D不符合题意；

故选:B.

7.D

【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可.

【详解】分解：原式=(犬-9)，="+3)1.3)2,

故选：D.

8.C

【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.

【详解】X3-4X=X(X2-4)=A(X+2)(X-2).

故选：C.

9.C

【分析】本题考查了因式分解，将多项式d+x—即分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足

和为1(一次项系数)、积为-12(常数项)，通过分析确定这两个数为4和-3,从而分解为(x-3)(x+4).

【详解】解：Y+X—12=(X-3)(X+4),

故选：C.

10.C

【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将(x+9(x-6)展开，根据

对应系数相等即可求出答案.

【详解】解：由题意可得：

(,v+9)(x-6)=x2+3.r-54=x2+av+/?

・'•a=3,b=-54,

故答案为：C.

11.A

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键.

运用十字相乘法进行因式分解即可.

【详解】解：X2-X-12=(X+3)(X-4)

故选：A.

12.C

【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项

式.

通过对多项式2丁_/+2工_1进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式.

【详解】2^-X2+2X-1

=(2X3-X2)+(2X-1)

=X2(2X-1)+(2X-1)

=(2X-1)(X2+1)

由此可知24-1是2丁+2x-l的因式，而x2f2x,2x+1都不是它的因式.

故选：C.

13.(«-1)(«+3)

【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

利用十字相乘法分解即可.

【详解】解：4+勿―3=(〃-1)(〃+3),

故答案为:(a-l)(a+3).

14.(x-2.y)2

【分析】本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题的关键是识别式子符合完全平方公式的形

式.

观察式子/-4"+4)，2,看是否符合完全平方公式/-2而+。2=(4-))2的结构，若符合，直接运用

公式分解.

【详解】/一4用，+4),2符合完全平方公式/-2"+从—力尸的形式，可分解为。一23，)2.

故答案为：(x-2y)2.

15.(x-y\x+y-\)

【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公

式分解因式，则可提取公因式X-)',即可分解因式.

【详解】解：x2-y2+y-x

=(x2-y2)-(x-y)

=(x+y)(x-y)-(x-y)

=(x-y)(x+y-l)；

故答案为：(A-JXA+J-I).

16.(a-b)~(ct+b)

【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键.

根据题意，先提取公因式(。-与，再运用平方差公式计算即可.

【详解】解：a2(a-b)+b2(b-a)

(a-b)-b2(a-b)

2

=(<a-b)(a一%

=(rz-/?)(tz-Z?)(tz+Z?)

=(a-b)~(a+b),

故答案为：(〃一/92(。+3.

17.1836或108

【分析】本题考查了平方差公式因式分解的应用，先设/=X+13,b2=x-72(其中如〃是自然数),

a+b=\l[«+/?=85

则一82=85,由于X是自然数，可得｛八<或11，求出〃、〃，进而即可求出x的值.

a-b=5a-b=\

【详解】解：设/=1+13,lr=x-12(其中。、方是自然数)，

贝1」/一从=工+13-(工-72)=85,

/.(c/+Z?)(a-Z?)=85=17x5=85xl,

由—〃，

a+b=17=11

・•・当，1，=5时'解得：

b=6

a+〃=85,,a=43

当…时,解得：

Z?=42

，x=々2-13=432-13=1836或13=1/-13=108,

：・x=1836或108,

故答案为：1836或108.

18.0

【分析】本题考查代数式求值、利用完全平方公式和平方差公式因式分解，熟记公式，利用整体代入

思想求解是解答的关键.

根据完全平方公式以及平方差公式将/+2/+〃一，=0进行因式分解，再整体代入求值即可.

【详解】Va2+2ab+b2-c2=0

A(a+Z?)2-c2=0

(a+b+c)(a+b-c)=0

Va+b+c=5

a+b—c=().

故答案为：0.

19.(1)(〃+4)'

(2)-(〃+2加)2

⑶(a+2〃+3)2

(4)(X-2)2

【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

(1)利用完全平方公式因式分解即可；

(2)利用完全平方公式因式分解即可；

(3)利用完全平方公式因式分解即可；

(4)先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可.

【详解】(1)解：a2+8«+16=(«+4)2；

(2)解：—4nm—4nr—rr——(〃十2〃i/；

(3)解：(a+2Z?)2+6(a+2〃)+9=(a+2/7+3『

(4)解：(X-1)(X-3)+1=X2-4X+4=(X-2)2.

20.100

【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键.

将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解，然后代入求值即可.

【详解】解：小，+2凸,2+亨3

=Ay+2xy+y2)=AJ?(X+y)-=4x52=100.

21.见解析

【分析】本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可.

【详解】证明：(4〃+3尸-("+3)2

=[(4〃+3)+(2〃+3)][(4〃+3)-(2〃+3)]

=(4〃+3+2〃+3)(4〃+3-2〃-3)

=(6〃+6)2〃

•・•〃为正整数,

・••〃和,”I是连续的正整数，

.，・〃和〃+1中一定有一个是偶数，

・・・12〃(〃+1)一定是24的倍数，

・•・(4〃+3尸-(2〃+3)2能被24整除.

22.“2=±12

【分析】利用完全平方公式化笥即可求出〃，的值.

【详解】解：・・・4/+〃*+9是完全平方式，

w=±2x2x3=±12,

•••/〃=±12

【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式.

23.(1)M=5X2+5X+3

(2)03：②8

【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数鼎，因式分解，正确计算是解题的关键.

(1)将M—(2x+l)(2i—l)=(工+l)(x+4)变形为M=(2x+l)(2.・l)+(x+l)(x+4),再利用整式的混

合运算法则计算即可；

(2)①根据零指数累得到3川=3°=1,求出明再代入求值;②利用因式分解将M=5f+5x+3变

形为M=5(/+X)+3,然后把X(X+1)=1化为Y+X=I,再整体代入求值.

【详解】(1)解：•・・M-(2x+l)(2x-l)=(%+l)(x+4),

:.M=(2x+l)(2x-l)+(x+l)(x+4)

=4x2-1+x2+4x+x+4

=5x2+5x+3

(2)解：@V3r+,=3°=1,

/.x+1=0♦

解得：x=-l,

AM=5X2+5X4-3=5X(-1)2+5X(-1)+3=3；

②・.・Mx+l)=l,

•*-X2+X=1,

，M=5x2+5x+3=5(x2+x)+3=5xl+3=8.

24.(1)903；

（2）84和12.

【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键.

（1）根据题意，先求得N=（3Z+l）2+（3Z—l）2-（3Z+l）（3k—l）=9/+3,计算知当Z=IOB寸，

A^=9X102+3=903»当攵=11时，N=9xl『+3=1092，即可得出结果；

（2）由（1）知：“幸运整数”N可表示为“2+3«为自然数），则当A=m，〃时得到两个“幸运整数”

为9疗+3,9/+3,由题意可知:（9m2+3）-（9n2+3）=72,即（〃?+〃）（〃，—〃）=8,根据“〃为自然

数,可得〃2=3,71=1,将其代入计算即可.

【详解】（1）解：N=a2+b2-ah,a=3k+1»b=3k-1,

.•.N=（3攵+1）2+（3"1）2_（3左+1乂31）=9炉+3.

%为自然数，

「•当攵=10时，N=9xl（X）+3=903,

当火=11时，N=9xl2I+3=1092,

.••三位数中最大的“幸运整数”是903；

（2）解：由（1）知：“幸运整数”N可表示为9公+3（k为自然数），

则&=〃?，n时得到两个“幸运整数”为：+39/+3,

由题意：（9//r+3）-（9/r+3）=72.

.•.9勿2-9〃2=72,

/.nv-〃2=8,

/匕〃为自然数，m+n>in-n

in+〃=4f/??+??=8

；（舍去），

解方程组得：

/.m=3,〃=1.

.•.9>+3=84,9*+3=12.

「•这两个“幸运整数”分别为84和12.

25.(l)(«+l)(Z?+l)

(2)23或16

(3)”的最小值是TO

【分析】本题考查/分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行区式分解是

解题的关键.

(1)先分组，再运用提公因式法进行因式分解:

(2)先将。〃一加一2/，-4=0变形为c心一2。一3+4—8=0,即俗一2)(〃-2)=8,然后再解决本题.

(3)先将4。-1一/2-1=0变形为，心="十)十1,再代入加，然后进行变形，得到

M=(a-3)2+S-2)2-IO